董慧

【摘要】教學(xué)“簡單的冪函數(shù)”一課時，教師通過合理的設(shè)計在教學(xué)中融入信息技術(shù)，進(jìn)行教學(xué)實踐，結(jié)果表明：借助信息技術(shù)進(jìn)行課堂教學(xué)，可以更好地幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系;依托信息技術(shù)進(jìn)行課后探究，可以拓展學(xué)生的思維深度.信息技術(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)的全方位深度融合，不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、自主學(xué)習(xí)能力和知識構(gòu)建能力，還能培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力、歸納能力、探究能力、協(xié)作能力和軟件使用能力.

【關(guān)鍵詞】冪函數(shù);信息技術(shù);教學(xué)實踐;核心素養(yǎng)

【基金項目】安徽省教育信息技術(shù)研究課題——信息技術(shù)環(huán)境下的高中數(shù)學(xué)深度教學(xué)實踐研究（AH2019167）;安徽省教育信息技術(shù)研究課題——基于“互聯(lián)網(wǎng)+”利用數(shù)學(xué)文化開展立德樹人教育研究（AH2020149）.

2012年3月13日，教育部發(fā)布的《教育信息化十年發(fā)展規(guī)劃（2011～2020年）》（以下簡稱《規(guī)劃》）提出“面向未來，育人為本;應(yīng)用驅(qū)動，共建共享;統(tǒng)籌規(guī)劃，分類推進(jìn);深度融合，引領(lǐng)創(chuàng)新”的工作方針.《規(guī)劃》強(qiáng)調(diào)要加強(qiáng)現(xiàn)代信息技術(shù)與教育的全面深度融合，以信息化引領(lǐng)教育理念和教育模式的創(chuàng)新，充分發(fā)揮教育信息化在教育改革和發(fā)展中的支撐與引領(lǐng)作用[1].

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）也指出高中數(shù)學(xué)提倡獨立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，教師要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的實效性，不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值[2].

《規(guī)劃》和《標(biāo)準(zhǔn)》都對當(dāng)前傳統(tǒng)的課堂教學(xué)提出挑戰(zhàn)，傳統(tǒng)的課堂教學(xué)以教師為中心，比較關(guān)注知識內(nèi)容本身的講授.這種課堂教學(xué)形式已不能完全滿足當(dāng)前學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)展的需要.隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，當(dāng)前課堂教學(xué)對教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”都提出了更高的要求.《標(biāo)準(zhǔn)》要求教師在課堂教學(xué)時要注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.

本文中，筆者充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)，結(jié)合“簡單的冪函數(shù)”教學(xué)內(nèi)容，從課堂教學(xué)和課后探究入手，分析了一個信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的教學(xué)案例，希望為高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中信息技術(shù)的利用提供借鑒.

一、課堂教學(xué)借助信息技術(shù)讓學(xué)生自主探究

建構(gòu)主義理論重視以學(xué)生為中心的教學(xué)模式，強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中激發(fā)學(xué)生的主動學(xué)習(xí)能力[3].利用信息技術(shù)，讓學(xué)生借助教學(xué)軟件對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行自主探究，不斷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，達(dá)成讓學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系這一教學(xué)目的.

下面以“簡單的冪函數(shù)”課堂實錄片段為例說明.

【案例】PPT出示：

1.如果小明購買每千克1元的水果x千克，那么他需要付的錢數(shù)y=x元，這里y是x的函數(shù).

2.若正方形的邊長為x，面積為y，則有y=x2，這里y是x的函數(shù).

3.若正方體的邊長為x，體積為y，則有y=x3，這里y是x的函數(shù).

4.若正方形的面積為x，邊長為y，則有y=x12，這里y是x的函數(shù).

5.若一輛車x 小時行駛了1 km，則該車的平均速度y=1x=x-1 km/h，這里y是x的函數(shù).

師：同學(xué)們，我們觀察剛剛出現(xiàn)的五個函數(shù)，y=x（正比例函數(shù)），y=x2（二次函數(shù)），y=x3，y=x12，y=1x=x-1（反比例函數(shù)），他們的函數(shù)解析式有什么形式特征？都有哪些共同點呢？

生1：指數(shù)為常數(shù).

生2：都是以自變量x為底的冪函數(shù).

生3：系數(shù)都是1.

師：很好，我們還能寫出類似形式的函數(shù)嗎？試一試.

生4：y=x4，y=x-12等等，太多了.

師：那你們能寫出這種類型的函數(shù)的一般形式嗎？大家一邊思考一邊想想我們剛剛發(fā)現(xiàn)的三個共同點.（用PPT呈現(xiàn)三個共同點）

生5：y=xm可以嗎？

師：這里的x，y，m分別代表什么呢？

生5：x是自變量，y是因變量，m是常數(shù).

師：很好，這就是我們今天要研究的冪函數(shù)，下面給出冪函數(shù)的概念：

如果一個函數(shù)，底數(shù)是自變量，指數(shù)是常量α，即y=xα，這樣的函數(shù)稱為冪函數(shù).

師：接下來通過一道練習(xí)題檢驗同學(xué)們對冪函數(shù)的概念的掌握情況.

練習(xí) 下列函數(shù)中有幾個冪函數(shù)？

（1）y=x2+x;（2）y=3x2;（3）y=2x;（4）y=3x3.

師：下面請同學(xué)們4人一組，用電腦上的幾何畫板軟件，嘗試畫出α取不同數(shù)值時函數(shù)的圖像，并通過圖像總結(jié)冪函數(shù)有哪些特征.

學(xué)生作圖后，分組提交，教師依次展示，驗證分類是否正確.

師：首先我們來看第一組，老師發(fā)現(xiàn)第一組同學(xué)選的α的值都是正的.請來闡述你們得到的性質(zhì)特征.

生6：我們組畫了α分別為12，23，1，54，3，4時的冪函數(shù)圖像，發(fā)現(xiàn)當(dāng)α>0時，冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì)：

（1）函數(shù)圖像都經(jīng)過點（0，0）和（1，1）;

（2）函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù).

師：同學(xué)們還有沒有其他發(fā)現(xiàn)呢？可以從圖像上升的快慢來考慮.

生7：在第一象限內(nèi)，當(dāng)α>1時，圖像上升得比較快;當(dāng)α=1時，就是正比例函數(shù)y=x;當(dāng)0<α<1時，圖像上升得比較慢.

師：補(bǔ)充得很好，現(xiàn)在我們來看看第二組同學(xué)提交的圖像，這組同學(xué)選擇的α值有正有負(fù)，剛剛我們已經(jīng)總結(jié)了α>0時的情況，現(xiàn)在請同學(xué)們來看看當(dāng)α<0時，冪函數(shù)有哪些性質(zhì)？

生8：當(dāng)α<0時，冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì)：

（1）函數(shù)圖像都經(jīng)過點（1，1）;

（2）函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上是減函數(shù);

（3）在第一象限內(nèi)，圖像向上與y軸無限接近，向右與x軸無限接近.

師：大家總結(jié)得很好，我們有沒有漏掉什么呢？

生9：α=0時的情況漏掉了，當(dāng)α=0時，冪函數(shù)就變成了y=x0，此時就是直線y=1.

生10：不對，沒有考慮定義域xx≠0，應(yīng)該是y=1但是不包括點（0，1），它的圖像不是直線.

師：大家從α<0，α=0和α>0三個方面進(jìn)行分類并總結(jié)了冪函數(shù)的性質(zhì)，下面請大家三人一組，一位同學(xué)出題目，第二位同學(xué)畫出函數(shù)的大致圖像，第三位同學(xué)用幾何畫板軟件作圖以檢驗第二位同學(xué)畫得是否正確.畫之前請思考，如何根據(jù)我們剛剛總結(jié)的性質(zhì)畫出大致圖像呢？（用PPT展示剛剛總結(jié)的冪函數(shù)的性質(zhì)）

生11：我畫的是函數(shù)y=x-4的圖像，先根據(jù)α<0時冪函數(shù)的性質(zhì)畫出在第一象限的圖像，因為該函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，進(jìn)而作出函數(shù)的完整圖像.

生12：我畫的是函數(shù)y=x35的圖像，我先是根據(jù)α>0時冪函數(shù)的性質(zhì)畫出在第一象限的圖像，因為該函數(shù)是奇函數(shù)，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，于是根據(jù)對稱性作出完整的函數(shù)圖像.

生13：我畫的是y=x14的函數(shù)圖像，由于該函數(shù)定義域是[0，+∞），且0<14<1，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，該函數(shù)圖像在第一象限緩慢上升.

師：大家完成得很好，現(xiàn)在我們來回憶剛剛的作圖過程，在作圖的時候大家首先是根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)作出函數(shù)在第一象限的圖像，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到完整圖像.

師：下面用一道例題為大家講解冪函數(shù)的實際應(yīng)用.

例題 當(dāng)x∈（0，+∞）時，冪函數(shù)y=（m2+m-1）x-5m-3為減函數(shù)，求實數(shù)m的值.

解 因為函數(shù)y=（m2+m-1）x-5m-3既是冪函數(shù)又是（0，+∞）上的減函數(shù)，

所以m2+m-1=1，-5m-3<0，

解得m=1.

在總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì)特征部分，傳統(tǒng)教學(xué)中，教師直接從熟悉的冪函數(shù)y=xα（α=1，2，3，12，-1）出發(fā)，給出圖像，總結(jié)性質(zhì)，無法讓學(xué)生體會知識形成的過程，導(dǎo)致學(xué)生對冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)認(rèn)識不清，只能選擇死記硬背.本案例中利用信息技術(shù)（幾何畫板軟件），讓學(xué)生自己畫圖、總結(jié)性質(zhì)，既能讓學(xué)生感受信息技術(shù)帶來的直觀體驗，又能培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力、協(xié)作能力和語言表達(dá)能力.同時，學(xué)生親自體驗冪函數(shù)的符號語言與圖像語言之間的相互轉(zhuǎn)化，有利于其數(shù)形結(jié)合思想的形成，也突破了綜合應(yīng)用冪函數(shù)的重點和難點.這些知識儲備都為學(xué)生后續(xù)深入探討冪函數(shù)的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).

二、依托信息技術(shù)開展課后思考，拓寬學(xué)生的思維廣度

學(xué)習(xí)可以理解為原有經(jīng)驗的遷移，只有當(dāng)學(xué)生根據(jù)需要通過已有的知識自主建構(gòu)新知識時，學(xué)習(xí)才會發(fā)生.當(dāng)學(xué)習(xí)者意識到他們本身是學(xué)習(xí)者和思考者時，他們的學(xué)習(xí)過程才是成功的.依托信息技術(shù)開展課后思考，不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，而且可使學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上構(gòu)建新知，拓寬學(xué)生的思維廣度，加深學(xué)生的思維深度，更有利于學(xué)生本身的知識體系和學(xué)習(xí)框架的完善.

下面以“簡單的冪函數(shù)”一課中的課后思考題為例進(jìn)行說明.

【案例】如何根據(jù)α來確定冪函數(shù)的奇偶性呢？以α是有理數(shù)為例（任意有理數(shù)都可以表示成qp的形式，其中p，q∈Z，p，q互素，且p≠0）.

要求：大家將各自的結(jié)論發(fā)到QQ群，共同討論，互相評價.

通過簡單冪函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)熟練掌握如何借助幾何畫板軟件來輔助作圖，進(jìn)而探究冪函數(shù)的性質(zhì)和特征.在鞏固實踐環(huán)節(jié)，學(xué)生通過畫冪函數(shù)的大致圖像，已經(jīng)感受到探究冪函數(shù)奇偶性的重要性.通過課后自主探究，借助幾何畫板軟件和網(wǎng)絡(luò)資源，學(xué)生得到冪函數(shù)y=xα=xqp（p，q∈Z，p，q互素，p≠0）的奇偶性，具體見下表.

借助信息技術(shù)進(jìn)行知識的探究和拓展，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)和軟件使用能力、語言表達(dá)能力、歸納推理能力和交流協(xié)作能力，更重要的是學(xué)生通過自主探究，感受數(shù)學(xué)知識的形成過程，層層遞進(jìn)，拓寬了知識體系，加強(qiáng)了對深層次數(shù)學(xué)知識的理解.

三、信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)相融合，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的[4].

本節(jié)“簡單的冪函數(shù)”的教學(xué)主要從以下幾方面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).首先從熟悉的函數(shù)實例中抽象出冪函數(shù)的概念，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);其次借助幾何畫板等軟件，通過函數(shù)圖像研究冪函數(shù)的性質(zhì)，注重培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象與邏輯推理素養(yǎng);最后運用冪函數(shù)模型來解決簡單的實際問題，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

將信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合，在課堂教學(xué)中借助信息技術(shù)幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系、在課后探究中依托信息技術(shù)拓寬學(xué)生思維廣度.這種在教學(xué)中多方位、多層次地利用信息技術(shù)的教學(xué)模式，不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、知識構(gòu)建的能力，高效完成教學(xué)任務(wù)，還能激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)、歸納、探究、協(xié)作和軟件使用等綜合能力.教師在教學(xué)過程中注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，不僅能提高教學(xué)的實效性，還能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

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[3]溫彭年，賈國英.建構(gòu)主義理論與教學(xué)改革：建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論綜述[J].教育理論與實踐，2002（05）：17-22.

[4]王磊.學(xué)科能力構(gòu)成及其表現(xiàn)研究：基于學(xué)習(xí)理解、應(yīng)用實踐與遷移創(chuàng)新導(dǎo)向的多維整合模型 [J].教育研究，2016（09）：83-92.