趙云平

【摘要】不定方程是數(shù)論中一個(gè)古老的分支，也是數(shù)論中一個(gè)重要的研究課題，它有著悠久的歷史與豐富的內(nèi)容.所謂不定方程是指解的范圍為整數(shù)、正整數(shù)、有理數(shù)等的方程或方程組，其未知數(shù)的個(gè)數(shù)通常多于方程的個(gè)數(shù).例如，2x+y=5就是一個(gè)不定方程，它沒(méi)有確定的解，它有無(wú)數(shù)多解.本文從各定理出發(fā)，詳細(xì)探討了定理的實(shí)質(zhì)，并通過(guò)例題加以說(shuō)明二元一次不定方程有無(wú)整數(shù)解及求出整數(shù)解的過(guò)程.

【關(guān)鍵詞】不定方程;二元一次不定方程;找解;求解

引 言

所謂二元一次不定方程的一般形式是ax+by=c，其中a，b，c是整數(shù).當(dāng)然，在求解時(shí)x，y也是整數(shù)，如果x，y不要求是整數(shù)，那么它的解一般都會(huì)有無(wú)窮多個(gè)，除非a和b其中有一個(gè)為零，且要求ab≠0，也就是a，b都不是0.注意：這個(gè)a，b里邊如果有一個(gè)是0，那就不是不定方程了;如果a，b都是0，就要求c也是0，這個(gè)解就是所有的整數(shù)對(duì)，所以，研究a，b都不是0的情況.如果ab≠0，對(duì)二元一次不定方程解的研究就與研究線性方程組、常微分方程的解法非常類似，如線性方程組ax=b的通解就是ax=0的通解，+ax=b的特解;要求常微分方程ay″+by′+cy=f（x）的解，也是先令f（x）=0，先求出通解，再加上等于f（x）的一個(gè)特解.遵照同樣的方法，要找到二元一次不定方程所有的解，就是要找ax+by=c的特解和ax+by=0的通解.下面我們先來(lái)認(rèn)識(shí)相關(guān)定理.

一、二元一次不定方程求解的相關(guān)定理

定理1[1]：設(shè)二元一次不定方程ax+by=c ① （其中a，b，c是整數(shù)，且ab≠0）有一整數(shù)解x=x0，y=y0 ;設(shè)（a，b）=d，a=a1d，b=b1d，則①的一切解可以表示成

x=x0-b1t，y=y0+a1t. ②

其中t∈Z.

證明：先證②是①的解.由x=x0，y=y0是①式的解，有ax0+by0=c.將②式代入①式，得

a（x0-b1t）+b（y0+a1t）=ax0-ab1t+by0+ba1t，

又a=a1d，b=b1d，代入上式，得

a（x0-b1t）+b（y0+a1t）=ax0-a1db1t+by0+b1da1t=ax0+by0=c.

所以②是①的解.

下面證①的解為②的形式.由ax+by=c，ax0+by0=c，兩式相減，得a（x-x0）+b（y-y0）=0，把a(bǔ)=a1d，b=b1d代入，a1d（x-x0）+b1d（y-y0）=0a1（x-x0）=-b1（y-y0）， ③所以a1|b1（y-y0），因?yàn)閍1，b1互質(zhì)，所以a1|y-y0y-y0=a1ty=y0+a1t代入③式，a1（x-x0）=-b1a1t，因?yàn)閍b≠0，所以a1，b1≠0，有x-x0=-b1tx=x0-b1t，所以①的解為②的形式.

這個(gè)解的過(guò)程，首先要找到ax+by=0的通解，設(shè)（a，b）=d，a=a1d，b=b1d，寫成a1dx+b1dy=0，約去最大公因數(shù)d，a1x=-b1ya1|b1y，因?yàn)椋╝1，b1）=1，所以a1|yy=a1t，代回a1x=-b1ya1x=-b1a1tx=-b1t;然后找到ax+by=c的一個(gè)特解.ax+by=0的通解的形式已經(jīng)給出來(lái)了：x=-b1t，y=a1t，剩下只需找x0，y0這個(gè)特解，所以目的就是找ax+by=c的特解，如果能從方程中直接看出這個(gè)特解來(lái)，那么ax+by=c的通解就很容易寫出來(lái)，如方程6x-9y=-3，容易看出它的一個(gè)特解x0=1，y0=1.因?yàn)椋?，9）=3，a=6=a1d=2×3，b=9=b1d=3×3，通解是x=x0-b1t=1-3t，y=y0+a1t=1+2t.但是，不是所有的ax+by=c都能且容易看出特解，怎樣才能找到它的特解？這個(gè)特解到底存不存在呢？肯定的是這個(gè)特解有時(shí)候是不一定存在的.比如，方程2x+8y=1，它的特解明顯是不存在的，因?yàn)?x和8y都是偶數(shù)，加起來(lái)也是偶數(shù)，而方程右邊是奇數(shù)，偶數(shù)等于奇數(shù)是不可能的，所以這個(gè)方程的特解不存在.于是，關(guān)鍵是討論對(duì)于①這種形式的方程什么時(shí)候有解，有解的話怎么求？

定理2[1]：①式有整數(shù)解，當(dāng)且僅當(dāng)（a，b）|c.

證明：“充分性”已知①式有整數(shù)解x=x0，y=y0，有ax0+by0=c，設(shè)d=（a，b），則d|a，d|b，于是d|ax0+by0，即d|c.

“必要性”仍設(shè)d=（a，b），a=a1d，b=b1d，由d|cc=c1d，則ax+by=ca1dx+b1dy=c1da1x+b1y=c1.

由（a1，b1）=1，存在整數(shù)s，t，使得a1s+b1t=1a1sc1+b1tc1=c1，a1x+b1y=c1有解，x=sc1，y=tc1，也是①的解.

這個(gè)定理給了一個(gè)①式有整數(shù)解的充要條件，可是知道它有解，這個(gè)解怎么找到呢？實(shí)際上定理2的證明過(guò)程給出了一個(gè)找解的辦法.先找出a1s+b1t=1的解x=s，y=t，給式子兩邊乘上c1，a1sc1+b1tc1=c1的解為x=sc1，y=tc1.因?yàn)閍1x+b1y=c1與ax+by=c等價(jià)，所以它們同解.所以問(wèn)題的焦點(diǎn)就歸結(jié)為求a1s+b1t=1的解x，y，前提是（a1，b1）=1，x，y都乘上c1，ax+by=c的解就出來(lái)了.

定理3[2]：若a，b是任意兩個(gè)正整數(shù)，則

Qka-Pkb=（-1）k-1rk，k=1，2，…，n.

其中P0=1，P1=q1，Pk=qkPk-1+Pk-2，Q0=0，Q1=1，Qk=qkQk-1+Qk-2，其中k=1，2，…，n.

現(xiàn)取a1，b1，取k=n，知d=rn，

Qna1-Pnb1=（-1）n-1d，兩邊同乘（-1）n-1，（-1）n-1Qna1-（-1）n-1Pnb1=d（-1）n-1Qna1+（-1）nPnb1=d，取s=（-1）n-1Qn，t=（-1）nPn，則a1s+b1t=d=1.可以利用這個(gè)辦法來(lái)找s和t，這里邊要找到s和t，需要把Qn，Pn，n算出來(lái).由定理3知，Qn，Pn有相同的遞推關(guān)系，根據(jù)遞推關(guān)系，所有的Q，P都能夠求出來(lái)，而且這個(gè)qk是帶余除法里的不完全商，所以帶余除法也得把它寫出來(lái).首先q0是沒(méi)有的，是從q1開(kāi)始，可以根據(jù)帶余除法把所有的q給找到.當(dāng)n不是太大，計(jì)算不是特別困難.最后用x=（-1）n-1Qn，y=（-1）nPn這個(gè)表達(dá)式就可以把這個(gè)解給找出來(lái)了.

二、例 析

例1 求25x+15y=100的一切整數(shù)解.

解 ∵25，15=5，5|100，故方程有解.把方程變形為5x+3y=20，先求5x+3y=1的解，此處a=5，b=3，（a，b）=1，用輾轉(zhuǎn)相除法：5=3×1+2，3=2×1+1，

故n=2，q1=1，q2=1，列表如下：

因此，5x+3y=1的一個(gè)解是x=（-1）2-1Q2=-2，y=（-1）2P2=2，5x+3y=20的一個(gè)解為x=-2×20=-40，y=2×20=40.由定理1知，原方程的一切解可以表示成x=-40-3t，y=40+5t，t∈Z.

例2 求不定方程4x+6y=86的解.

解 ∵（4，6）=2，2|86，故方程有解.把方程變形為2x+3y=43，先求2x+3y=1的解，用輾轉(zhuǎn)相除法要求a>b>0，（a，b）=1，這里做一個(gè)顛倒，若3x+2y=1的解為（x0，y0），則2x+3y=1的解為（y0，x0）.

3=2×1+1，故n=1，q1=1，列表如下：

則x=（-1）1-1Q1=1，y=（-1）1P1=-1，于是2x+3y=1的特解為x=-1，y=1，2x+3y=43的特解為x=-1×43=-43，y=1×43=43，所以不定方程4x+6y=86的通解為x=-43-3t，y=43+2t，t∈Z.

例3 求306x-360y=630的一切整數(shù)解.

解 ∵（306，360）=18，18|630，故方程有解.把方程變形為17x-20y=35，先求17x-20y=1的解，若20x+17y=1的解為（x0，y0），則17x-20y=1的解為（y0，-x0）.

用輾轉(zhuǎn)相除法：20=17×1+3，

17=3×5+2，3=2×1+1，

故n=3，q1=1，q2=5，q3=1，列表如下：

20x+17y=1的一個(gè)解為x=（-1）3-1Q3=6，y=（-1）3P3=-7，則17x-20y=1的一個(gè)解為x=-7，y=-6，17x-20y=35的一個(gè)解為x=-7×35，y=-6×35.由定理1知，方程306x-360y=630的一切解可以表示成x=-7×35+20t，y=-6×35+17t，t∈Z.

三、結(jié) 論

從理論和實(shí)踐的角度去認(rèn)識(shí)二元一次不定方程，為學(xué)生學(xué)好二元一次不定方程的解法奠定了基礎(chǔ)，文章只涉及求解二元一次不定方程的常用方法——輾轉(zhuǎn)相除法，還有其他多種方法有待共同探討.

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