李寶麟，席 婭

西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，蘭州 730070

我們考慮測(cè)度中立型泛函微分方程

D[N(xt，t)]=f(xt，t)Dg

(1)

的穩(wěn)定性，其中D[N(xt，t)]和Dg(t)是N(xt，t)和g(t)的分布導(dǎo)數(shù)，xt(θ)=x(t+θ)，θ∈[-r，0]，t∈[t0，+∞)，且N是一個(gè)線性的非自治算子．測(cè)度微分方程已經(jīng)被很多學(xué)者研究[1-4]．文獻(xiàn)[5]建立了測(cè)度泛函微分方程的Lyapunov定理．文獻(xiàn)[6]建立了測(cè)度微分方程和時(shí)間尺度上動(dòng)力方程的Lyapunov穩(wěn)定性．文獻(xiàn)[7-9]利用非單調(diào)Lyapunov泛函研究了滯后型方程的穩(wěn)定性．文獻(xiàn)[10]在不利用Lyapunov泛函方法的情況下研究了多變時(shí)滯Volterra型動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性．文獻(xiàn)[11]利用Lyapunov泛函研究了一類潛伏期和傳染病期均傳染的SEIQR流行病模型的穩(wěn)定性．文獻(xiàn)[12]通過(guò)Lyapunov泛函建立了非自治泛函微分方程的漸近穩(wěn)定性定理．文獻(xiàn)[13]運(yùn)用廣義常微分方程的變差穩(wěn)定性和Lyapunov泛函建立了變差脈沖泛函微分方程的穩(wěn)定性定理．

方程(1)的積分形式為

(2)

(3)

(4)

(4)式右邊的積分可以是Riemann-Stieltjes積分、Lebesgue-Stieltjes積分或Kurzweil-Henstock-Stieltjes積分[14]．

1 預(yù)備知識(shí)

(5)

在區(qū)間[α，β]?[t0，+∞)上的解是指： 對(duì)每個(gè)γ，v∈[α，β]，(x(t)，t)∈Ω，t∈[α，β]，有

設(shè)集合O=Bc={x∈G-([t0-r，+∞)，Rn)： ‖x‖≤c，c>0}具有延拓性質(zhì)，且

P={yt：y∈Bc，t∈[t0，+∞)}?G-([-r，0]，Rn)

引入概念[·，·，·]，其中對(duì)于a≤c，有： [a，b，c]=b，b∈[a，c]； [a，b，c]=a，b≤a； [a，b，c]=c，b≥c．對(duì)于每個(gè)y∈Bc，t∈[t0，+∞)，?∈[t0-r，+∞)，定義函數(shù)

F(y，t)(?)=H(y，t)(?)+J(y，t)(?)

(6)

‖F(xiàn)(x，s2)-F(x，s1)‖≤|h(s2)-h(s1)|

及

‖F(xiàn)(x，s2)-F(x，s1)-F(y，s2)+F(y，s1)‖≤‖x-y‖∞|h(s2)-h(s1)|

(7)

2 主要結(jié)果

定義3設(shè)y≡0是測(cè)度中立型泛函微分方程(4)的平凡解，

(8)

(9)

V(t，xψ(t))=U(t，yt(t，ψ))

(10)

則有

(11)

注1給定t≥t0，由

則有‖yt(t，ψ)‖=‖xψ(t)‖．

則由注1，有

(12)

由注1，有

‖ψ‖=‖yt(t，ψ)‖=‖xψ(t)‖=‖z‖≤ρ

則測(cè)度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致穩(wěn)定的．

b(‖xψ(t)‖)=b(‖yt‖)≤U(t，yt(t，ψ))=V(t，xψ(t))

(13)

‖φ‖<δ

(14)

下面證明

(15)

(16)

(17)

由(14)，(17)式，有

(18)

則(15)式成立，即測(cè)度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致穩(wěn)定的．

D+U(t，ψ)≤-Λ(‖ψ‖)t≥t0

(19)

則測(cè)度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致漸近穩(wěn)定的．

又由于‖yt‖=‖xψ(t)‖，則由注1，有

則

(20)

‖φ‖<δ0

(21)

下面證明

(22)

由(21)式，有

由(20)式，定理1證明中的(18)式成立，即(22)式成立．則測(cè)度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致漸近穩(wěn)定的．

其中y(s，t，ψ)是測(cè)度中立型泛函微分方程(4)的解，滿足yt=ψ，ψ∈G-([-r，0]，Rn)．給出一個(gè)初值函數(shù)ψ∈G-([-r，0]，Rn)且t≥t0，由文獻(xiàn)[14]的定理5.2，存在測(cè)度中立型泛函微分方程(4)的唯一解滿足yt=ψ，y(t)=ψ(0)，則D+U(t，y(t))可以改寫(xiě)為D+U(t，ψ(0))．

存在，且滿足U(t-，y(t-))=U(t，y(t))，其中y∈G-([t0-r，+∞)，Rn)．假設(shè)U滿足以下條件：

|U(t，x)-U(t，y)|≤Ka‖x-y‖t∈[t0-r，+∞)，x，y∈Ba

其中Ba={z∈Rn： ‖z‖

則測(cè)度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致穩(wěn)定的．

(23)

(24)

考慮以下兩種情況：

U(t+θ，y(t+θ))

則對(duì)所有足夠小的q>0且q<|θ0|，有

或

及

或

另外，有

存在，且滿足U(t-，y(t-))=U(t，y(t))，其中y∈G-([t0-r，+∞)，Rn)．假設(shè)U滿足定理3中的條件，，，并且存在Hahn class函數(shù)d： R+R+，使得對(duì)測(cè)度中立型泛函微分方程(4)的每個(gè)解y，有

(25)

D+U(t，ψ(0))≤-Λ(|ψ(0)|)

(26)

則測(cè)度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致漸近穩(wěn)定的．

(27)

則由定理3的證明，方程(4)的平凡解y≡0是一致穩(wěn)定的．

(28)

其中d是增函數(shù)．

首先，找出數(shù)T．由函數(shù)p(s)的性質(zhì)，存在數(shù)α>0，使得對(duì)b(η)≤s≤d(ε)，有p(s)-s≥α(注意b(η)≤b(ε)≤d(ε))．設(shè)是正整數(shù)，使得b(η)+α>d(ε)，由于b(η)≤d(ε)，有d-(b(η))≤ε，設(shè)

假設(shè)

(29)

并且有

即

則由(26)式，有

則

運(yùn)用前面的證明方法，有

及