桑坤

摘要：解決“草坪面積問(wèn)題”時(shí)，學(xué)生存在不假思索地把四段小路拼起來(lái)的情況。這是因?yàn)楫a(chǎn)生了負(fù)遷移。負(fù)遷移的出現(xiàn)緣于學(xué)生對(duì)既有方法理解的模糊，以及缺乏動(dòng)手實(shí)踐、自主探究的實(shí)質(zhì)性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。對(duì)此，應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷探究過(guò)程，以達(dá)成對(duì)方法的深度理解。具體實(shí)施時(shí)，可借助多元表征，促進(jìn)遷移的“正向”生長(zhǎng);通過(guò)做思共生，促進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的“正向”積累，讓“經(jīng)歷”變成“經(jīng)驗(yàn)”。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);草坪面積問(wèn)題;負(fù)遷移;多元表征;做思共生

一、案例描述：用常規(guī)思路卻出錯(cuò)了

在學(xué)習(xí)五年級(jí)上學(xué)期“多邊形的面積”相關(guān)內(nèi)容后，學(xué)生在練習(xí)中碰到這樣一道題：“如圖1所示（為便于示意，草坪比例有調(diào)整），有一個(gè)長(zhǎng)60米，寬24米的長(zhǎng)方形草坪，王叔叔在草坪中設(shè)計(jì)了兩條寬為2米的小路。這個(gè)草坪的面積是多少平方米？”

學(xué)生通常會(huì)通過(guò)剪、拼，將四塊小草坪拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，從而算出草坪的面積。即長(zhǎng)為60-2=58（米），寬為24-2=22（米），草坪面積為58×22=1276（平方米）。這種方法對(duì)于解決這道題是完全可行的。但這樣做為什么可行？很多教師并未作出詳細(xì)的解釋。當(dāng)把題目中小路的位置進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整（如圖2和下頁(yè)圖3所示）后，學(xué)生會(huì)借助原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，不假思索地把四段小路拼起來(lái)，算出草坪的面積。

但如果繼續(xù)調(diào)整小路的位置（如圖4），還可以用上面的方法去解決嗎？答案是否定的。如果繼續(xù)沿用，算出的草坪面積將是錯(cuò)誤的。

二、案例分析：缺乏本質(zhì)理解，導(dǎo)致負(fù)遷移

新的學(xué)習(xí)往往以原有的學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)， 原有的學(xué)習(xí)經(jīng)歷可能對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生促進(jìn)效果， 也可能產(chǎn)生阻礙作用。后者在心理學(xué)上被稱為“負(fù)遷移”。當(dāng)草坪中的兩條小路分別平行于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬時(shí)，通過(guò)剪、拼，能夠?qū)⑺膲K小草坪拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形;當(dāng)兩條小路中只有一條小路平行于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)或?qū)挄r(shí)，也可以通過(guò)剪、拼，將四塊小草坪拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形。在一系列相關(guān)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程中，“只要草坪中有小路，都可以通過(guò)剪、拼，將四塊小草坪拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形”的認(rèn)知逐漸在學(xué)生的頭腦中形成。因此，在解決變式題目時(shí)，學(xué)生在沒(méi)有真正理解這一內(nèi)容的內(nèi)涵及本質(zhì)的情況下，僅僅根據(jù)自身的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，極易被表面的相似迷惑。這是基于不成熟的數(shù)學(xué)認(rèn)知的不恰當(dāng)?shù)倪w移，即產(chǎn)生了負(fù)遷移。

負(fù)遷移的出現(xiàn)緣于學(xué)生對(duì)既有方法的模糊理解，以及缺乏動(dòng)手實(shí)踐和自主探究的實(shí)質(zhì)性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)題目發(fā)生改變，即草坪中的兩條小路都不平行于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬時(shí)，學(xué)生僅依靠對(duì)類似題目的模糊“經(jīng)歷”，用理解不夠深刻的方法去解決，導(dǎo)致了錯(cuò)誤的發(fā)生。

三、改進(jìn)后的教學(xué)

（一）自主探究，驗(yàn)證猜想

師（出示圖1）像王叔叔一樣，在長(zhǎng)60米，寬24米的長(zhǎng)方形草坪中自主設(shè)計(jì)兩條筆直的小路，小路的寬度還是2米，把你的設(shè)計(jì)畫(huà)出來(lái)。

（學(xué)生完成設(shè)計(jì)。）

師剛剛老師拍了一些同學(xué)的作品，（出示學(xué)生作品）你們能幫老師分分類嗎？同桌交流，互相說(shuō)一說(shuō)你的分類方法和理由。

（學(xué)生交流匯報(bào)。）

生可以分成三類，第一類和原題一樣，兩條小路分別平行于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

師是的，我們可以分成三類。第一類是兩條分別平行的。（板書(shū)：兩條分別平行）那第二類呢？

生只有一條小路平行于長(zhǎng)方形的邊。

師是的，只有一條小路平行于長(zhǎng)方形的邊，這條小路平行于長(zhǎng)或者平行于寬。我們記作只有一條平行。（板書(shū)：只有一條平行）那第三類呢？

生兩條小路都不平行于長(zhǎng)方形的邊。

師我們記作兩條都不平行（板書(shū)：兩條都不平行）。第一類兩條分別平行的情況，之前已經(jīng)通過(guò)動(dòng)畫(huà)進(jìn)行了驗(yàn)證。接下來(lái)，我們重點(diǎn)研究第二類和第三類。先來(lái)看第二類，（出示圖5、圖6）這些草坪去掉兩條小路后，剩余部分都能拼成一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？

生能。

生不能。

師看來(lái)大家有爭(zhēng)議，口說(shuō)無(wú)憑，讓我們一起來(lái)驗(yàn)證，請(qǐng)大家完成學(xué)習(xí)單的第一部分?；顒?dòng)要求為：（1）打開(kāi)1號(hào)文件夾，同桌兩人合作選擇一種方案剪一剪、拼一拼，注意保留完整的小路;（2）把剪好的四塊“草坪”貼在各自的磁鐵板上，動(dòng)手操作，檢驗(yàn)是否能夠拼成長(zhǎng)方形;（3）在小組中交流作品，記錄你的發(fā)現(xiàn)，準(zhǔn)備匯報(bào)，貼磁鐵板匯報(bào)時(shí)注意先還原再演示。我們可以這樣匯報(bào)：“我選擇的是方案（），通過(guò)操作我發(fā)現(xiàn)，（能、不能）拼成長(zhǎng)方形。”

（學(xué)生完成操作活動(dòng)，指定小組匯報(bào)。）

師通過(guò)剛才的操作，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一條小路平行于長(zhǎng)方形的邊時(shí)，確實(shí)能通過(guò)剪、拼得到一個(gè)新的長(zhǎng)方形。那同學(xué)們想過(guò)沒(méi)有，為什么第二類情況下，去掉小路后剩余的四塊“草坪”還可以拼成長(zhǎng)方形？

（學(xué)生回答。）

師（出示圖7）只有一條小路平行于長(zhǎng)方形的邊時(shí)，兩條小路可以看成由三個(gè)平行四邊形和兩個(gè)梯形組成，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，所以去掉小路后剩余的四塊“草坪”可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。

師剛剛我們已經(jīng)驗(yàn)證了前兩類，（出示圖8、圖9）那第三類我們是不是可以不用驗(yàn)證直接下結(jié)論了？

生不能。

師該怎么辦？

生繼續(xù)驗(yàn)證。

師我們繼續(xù)來(lái)動(dòng)手驗(yàn)證。請(qǐng)打開(kāi)2號(hào)文件夾，按照相同的活動(dòng)要求完成第三類的驗(yàn)證。

（學(xué)生完成動(dòng)手操作驗(yàn)證活動(dòng)。）

生當(dāng)兩條小路都不平行于長(zhǎng)方形的邊時(shí)，不能拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。

師為什么第三類不可以通過(guò)剪、拼，將剩余部分拼成長(zhǎng)方形呢？

（學(xué)生回答。）

師（小結(jié)驗(yàn)證方法，如圖10所示）當(dāng)兩條小路都不平行于長(zhǎng)方形的邊時(shí)，這兩條小路可以看作是由四個(gè)梯形和一個(gè)平行四邊形共同組成的。當(dāng)把四塊“草坪”拼在一起時(shí)，實(shí)質(zhì)上就是將梯形的兩個(gè)底拼接，但由于梯形的兩底不相等，在外邊沿對(duì)齊的情況下，就形成了中間部分還空出一塊的結(jié)果。這說(shuō)明，當(dāng)兩條小路都不平行于長(zhǎng)方形的邊時(shí)，四塊“草坪”無(wú)法轉(zhuǎn)化成一個(gè)完整的長(zhǎng)方形。

（二）自主建構(gòu)，思維進(jìn)階

師同學(xué)們，當(dāng)我們遇到新的問(wèn)題并且有一些想法時(shí)，我們要做的就是大膽地去驗(yàn)證這些猜想。通過(guò)剛才的驗(yàn)證，你知道了什么？

生至少有一條小路平行于長(zhǎng)方形的邊時(shí)，可以拼成長(zhǎng)方形;兩條都不平行時(shí)，就不能拼成長(zhǎng)方形。

師說(shuō)得真好！同學(xué)們，剛剛我們先有了猜想，然后又對(duì)猜想進(jìn)行了驗(yàn)證，最后我們得出了結(jié)論。猜想有可能是正確的，也有可能是錯(cuò)誤的。正確與否，需要進(jìn)行驗(yàn)證，我們要用科學(xué)的態(tài)度來(lái)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，正如荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所說(shuō)：“真正的數(shù)學(xué)家常常憑借數(shù)學(xué)的直覺(jué)思維作出各種猜想，然后加以證實(shí)?！逼鋵?shí)你們每個(gè)人都是小小數(shù)學(xué)家，只要你們勇于探究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)更多數(shù)學(xué)中的學(xué)問(wèn)。

四、相關(guān)思考：“正向”，才能讓“經(jīng)歷”變成“經(jīng)驗(yàn)”

（一）借助多元表征，促進(jìn)遷移的“正向”生長(zhǎng)

研究表明，在教學(xué)較難理解的內(nèi)容時(shí)，可以通過(guò)多元表征減輕學(xué)生理解知識(shí)的負(fù)荷。要讓學(xué)生真正地將對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解內(nèi)化于心，并且能夠重新建構(gòu)對(duì)知識(shí)的認(rèn)知，不僅要豐富知識(shí)的不同表征形式，而且要在不同的表征形式間建立聯(lián)系，從而真正地豐富對(duì)知識(shí)的理解。如果將定義描述為“骨架”，不同表征便是“血肉”，它們之間有了聯(lián)系，就能真正達(dá)成理解，也就有了“靈魂”，正遷移在此過(guò)程中自然發(fā)生。

在探究草坪中的小路（情境）的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，學(xué)生可以借助原有的知識(shí)，知道可以把四塊小草坪拼起來(lái)，完成自我建構(gòu)。在表達(dá)時(shí)，通過(guò)畫(huà)圖（圖像）將自己的想法展示給其他同學(xué)，在合作交流（語(yǔ)言）的過(guò)程中，達(dá)成共識(shí)。接下來(lái)，進(jìn)一步合作交流，明確有三種不同的情況，繼而通過(guò)對(duì)三種情況的分類探究，發(fā)現(xiàn)橫豎都不平行的情況是無(wú)解的。在回顧反思中，對(duì)這幾種情況進(jìn)行知識(shí)的重新建構(gòu)，明確“至少有一條小路平行于長(zhǎng)方形的邊時(shí)，可以拼成長(zhǎng)方形;兩條都不平行時(shí)，就不能拼成長(zhǎng)方形”。通過(guò)情境、圖表、語(yǔ)言等多元表征，學(xué)生在探究性的活動(dòng)中，把對(duì)難點(diǎn)的理解暴露出來(lái)，進(jìn)而通過(guò)經(jīng)歷嘗試、猜想、驗(yàn)證、再猜想、再驗(yàn)證、歸納等過(guò)程，探究出知識(shí)的本質(zhì)，削弱負(fù)遷移對(duì)學(xué)生的固有影響，促進(jìn)遷移的正向生長(zhǎng)。

（二）通過(guò)做思共生，促進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的“正向”積累

教育家蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：“兒童的智慧在他的指尖上?！眲?dòng)手操作是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要途徑和基本方法。但“做”不是目的，“做思共生”才是動(dòng)手操作活動(dòng)的旨?xì)w。

改進(jìn)后的《草坪面積問(wèn)題》一課，精心設(shè)計(jì)了3次動(dòng)手操作活動(dòng)。在這3次動(dòng)手操作活動(dòng)中，教師通過(guò)安排合理的學(xué)習(xí)材料，組織合理的學(xué)習(xí)活動(dòng)，給學(xué)生充足的自主探究時(shí)間，促使學(xué)生積累研究活動(dòng)的直接經(jīng)驗(yàn)，帶著這樣的經(jīng)驗(yàn)走入小組，分享收獲、解釋發(fā)現(xiàn)和方法、闡明觀點(diǎn)、經(jīng)歷修正和完善，在達(dá)成學(xué)習(xí)共同體的構(gòu)建過(guò)程中，不斷提升自我學(xué)習(xí)力。在深入探究的過(guò)程中，動(dòng)手操作和深度思考讓“經(jīng)歷”變成“經(jīng)驗(yàn)”。

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