陸曠升

[摘 要]在學(xué)習(xí)高中物理的過程中，經(jīng)常遇到一些綜合題，這些綜合題的物理過程比較復(fù)雜，用常規(guī)方法解答很煩瑣，甚至無(wú)法解答。若能巧用“等效法”，問題就會(huì)變得簡(jiǎn)單明了。文章利用“等效法” 分析解答一些常見的題型。

[關(guān)鍵詞]等效法;高中物理;綜合題

[中圖分類號(hào)]? ? G633.7? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）26-0048-03

“等效法”是中學(xué)教學(xué)中常用到的思維方法。等效法的實(shí)質(zhì)，是指在效果相同的情況下，將較為復(fù)雜難以理解的物理過程、物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)換為熟悉的簡(jiǎn)單的物理過程、物理現(xiàn)象，使問題簡(jiǎn)單化，便于理解。等效法在高中物理教學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，比如合力與分力的等效替代關(guān)系，電源的等效，運(yùn)動(dòng)過程的等效，等等，都是根據(jù)等效思想引入的。下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐探討等效法的應(yīng)用。

一、力的等效

力的等效，就是利用了合力與分力具有相同效果的特性，在分析問題時(shí)，利用一個(gè)力替代多個(gè)力，這樣就將較為復(fù)雜的物理模型轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的物理模型，然后再利用熟悉的規(guī)律去列方程求解。

[例1]一個(gè)物體受到[F1]、[F2]……等6個(gè)共點(diǎn)力的作用而處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)把[F1]逐漸減小到零，物體的加速度與速度怎樣變化？如再逐漸將[F1]恢復(fù)，則物體的加速度與速度又將怎樣變化？

解析：題中物體受到6個(gè)大小、方向都不確定的力，且[F1]的大小是在變化的，若要直接求這6個(gè)共點(diǎn)力的合力，顯然是不可能的。但物體受到6個(gè)共點(diǎn)力的作用而處于靜止?fàn)顟B(tài)，則[F1]與其余5個(gè)力的合力等大反向。當(dāng)[F1]逐漸減小到零時(shí)，則合外力逐漸變大，由牛頓第二定律[F=ma]知，加速度[a]逐漸變大，物體做加速度逐漸變大的加速運(yùn)動(dòng)，速度逐漸變大;當(dāng)[F1]逐漸恢復(fù)時(shí)，則物體受到的合外力逐漸變小，加速度也逐漸變小，但物體仍然做加速度逐漸變小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)[F1]恢復(fù)到正常時(shí)，加速度為零，速度達(dá)到最大值。

二、模型的等效

在重力作用下，物體在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)中，“輕繩模型”的受力特點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)規(guī)律、使用范圍，這些學(xué)生都比較熟悉，也很容易理解。但當(dāng)某帶電體在重力、電場(chǎng)力、彈力等力作用下，在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，問題就變得復(fù)雜了，學(xué)生難以解答，要解決此類問題，我們就得把它遷移到我們熟悉的“輕繩模型”中來(lái)，找到等效最高點(diǎn)、等效最低點(diǎn)，以及等效重力加速度，這樣問題就變得容易了。

[例2]如圖1所示，一光滑圓環(huán)軌道固定在豎直平面內(nèi)，與光滑水平面相切于[B] 點(diǎn)，[B]點(diǎn)有小圓孔不影響小球的運(yùn)動(dòng)，圓形軌道半徑為[R]。整個(gè)空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E。一質(zhì)量為[m]的帶正電小球，電量為[q]，從距離[B]點(diǎn)為[R3]處的[A]點(diǎn)以某一初速度沿[AB]方向開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過[B]點(diǎn)后，恰能在軌道上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)（重力加速度為g，[sin37°=0.6，cos37°=0.8]）。求：帶電小球在[A] 點(diǎn)的初速度[v0]。

解析：小球在圓形軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到的重力和電場(chǎng)力均為恒力，軌道對(duì)小球的彈力始終不做功。與“輕繩模型”有很大相似之處。也應(yīng)該用類似的方法求出小球通過“最高點(diǎn)”時(shí)的速度。我們可以把重力和電場(chǎng)力的合力看作“等效重力”，假設(shè)重力和電場(chǎng)力的合力為[F合]，如圖2，且設(shè)[F合]與豎直方向的夾角為[θ]，則[tanθ=Eqmg=34]，即[θ=37°]，由此可得[F合=Eqsin 37°=54mg]。等效重力加速度為[g′=54g]，等效重力反向延長(zhǎng)交圓周于[D]點(diǎn)，[D]點(diǎn)即為等效最高點(diǎn)。根據(jù)“輕繩模型”的結(jié)論可知，要使小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小球在[D]點(diǎn)的速度為[vD≥g′R=5gR4];從[A]點(diǎn)到[D]點(diǎn)由動(dòng)能定理有：[-mgR1+cos37°-qER13+sin37°=12mv2D-12mv20]，解得：[v0=52gR]

[例3]如圖3所示，一個(gè)擺線長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的帶正電擺球，懸掛在方向水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)中。小球由水平位置A，從靜止開始向下運(yùn)動(dòng)，且到達(dá)豎直位置時(shí)，速度恰好為零。求小球運(yùn)動(dòng)過程中，擺線受到的最大拉力。

分析：小球從A運(yùn)動(dòng)到B，動(dòng)能增量為零。因?yàn)閿[線的拉力不做功，電場(chǎng)力（qE）對(duì)小球做的負(fù)功必定等于重力（mg）對(duì)小球做的正功，即[qEl=mgl]。可見，小球受到的電場(chǎng)力與小球的重力大小相等。小球到達(dá)B后，將在A、B之間來(lái)回振動(dòng)，根據(jù)振動(dòng)的對(duì)稱性，平衡位置（O）位于AB弧的中點(diǎn)。在平衡位置，電場(chǎng)力與重力的合力，如圖4，[F=2mg]，方向與水平方向成45°。將電場(chǎng)與重力場(chǎng)的疊加場(chǎng)等效為另一個(gè)重力場(chǎng)，等效重力加速度方向與水平方向成45°，大小為[g′=Fm=2g]，小球通過平衡位置（即等效最低點(diǎn)）時(shí)，小球速度最大為[vm]，此時(shí)繩的拉力最大。

由動(dòng)能定理有：[Fl1-cos45°=12mv2m]

根據(jù)牛頓第二定律有：[T-F=mv2ml]

所以，繩的最大拉力為：[T=32-2mg]

三、運(yùn)動(dòng)的等效

運(yùn)動(dòng)的等效，是根據(jù)合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)具有獨(dú)立性和等時(shí)性的性質(zhì)，將物體復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)，這樣使分析和解答問題的思路與步驟變得極為簡(jiǎn)捷。例如物體做平拋運(yùn)動(dòng)可等效成：水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，或平行于斜面初速度為[v0cosθ]的勻變速直線運(yùn)動(dòng)和垂直于斜面方向初速度為[v0sinθ]的勻變速直線運(yùn)動(dòng)。若運(yùn)動(dòng)物體受到重力等多個(gè)力作用時(shí)，利用牛頓第二定律分別求出這兩個(gè)方向的加速度，然后利用運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解。

[例4]如圖5，整個(gè)裝置處于水平向左，場(chǎng)強(qiáng)為[E=1.0×104 N/C]的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一質(zhì)量為[m=0.20 kg]，電量為[q=2×10-4 C]的小球，從傾角為[θ=37°]的斜面上以速度[v0=10 m/s]水平拋出，最后落到斜面上。問：拋出后經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間小球離斜面最遠(yuǎn)？此時(shí)小球離斜面的最遠(yuǎn)距離是多少？

解析：此題利用等效法進(jìn)行分析解答，則解答過程比較簡(jiǎn)單。把小球的運(yùn)動(dòng)分解為平行于斜面和垂直于斜面兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)。如圖6，則垂直于斜面方向的初速度為[vy=v0sinθ=10×0.6=6 m/s]。對(duì)小球進(jìn)行受力分析并由牛頓第二定律可求得這個(gè)方向的加速度[ay=mgcosθ-qEsinθm=2 m/s2]，小球在垂直于斜面方向做的是勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度[vy]減到0時(shí)，小球離斜面最遠(yuǎn)。所經(jīng)歷的時(shí)間為[t=vyay=3 s]，并求得此時(shí)小球離斜面的最遠(yuǎn)距離為[h=vy2t=9 m]。

四、過程的等效

在高中物理中，當(dāng)涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上物體間相互作用的問題時(shí)，比如動(dòng)量和能量中的某些題目，由于過程中的“動(dòng)態(tài)”出現(xiàn)反復(fù)交替等現(xiàn)象，導(dǎo)致物體的運(yùn)動(dòng)過程異常復(fù)雜。這類題目，我們無(wú)須逐個(gè)對(duì)過程進(jìn)行分析，只需清楚其運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律，就把整個(gè)過程等效成一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的過程，在把握了起始時(shí)刻和終了時(shí)刻兩個(gè)狀態(tài)后，定性分析，就能求解。

[例5]如圖7所示，質(zhì)量為[m=2 kg]的槽A靜止在光滑水平面上，內(nèi)壁間距[L=0.6 m]，槽內(nèi)放有質(zhì)量也為[m=2 kg]的滑塊B（可視為質(zhì)點(diǎn)），B到左端側(cè)壁的距離[d=0.1 m]，槽與滑塊B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)[μ=0.1]?，F(xiàn)給A一個(gè)水平向右的瞬時(shí)沖量[I=8 kg m/s]，槽A與滑塊B發(fā)生碰撞時(shí)，槽A與滑塊B交換速度。（[g=10 m/s2]）求：從槽開始運(yùn)動(dòng)到槽和滑塊B相對(duì)靜止經(jīng)歷的時(shí)間。

解析：分別對(duì)A、B兩物體做多過程的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析比較煩瑣。分析題目所給的條件和要求的問題，題目要求相對(duì)靜止時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間;A獲得一個(gè)水平向右的瞬時(shí)沖量，即以[v0=4 m/s]速度向右運(yùn)動(dòng)，A受到水平向左的摩擦力[f=μmg=2 N]，向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng);B受到水平向右的摩擦力[f=μmg=2 N]，向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，且A、B的加速度大小相等。當(dāng)A、B間的相對(duì)位移等于d時(shí)，A、B發(fā)生第一次碰撞，之后A、B速度發(fā)生交換，A受到的摩擦力變?yōu)橄蛴?，向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng);而B受到的摩擦力變?yōu)橄蜃?，向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)A、B再次發(fā)生碰撞后，速度再次發(fā)生交換，摩擦力的方向也再次改變。依次重復(fù)，直到A、B相對(duì)靜止。過程復(fù)雜，碰撞次數(shù)也不能確定。這個(gè)問題，我們可以等效為物塊B在摩擦力[f=μmg=2 N]的作用下，做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，直至達(dá)到共速時(shí)所用的時(shí)間即為題目所求的時(shí)間。A、B在滑動(dòng)過程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)槽和滑塊B相對(duì)靜止時(shí)速度為v，則[I=2mv]，解得[v=2 m/s]。B的加速度為[μmg=ma]，解得[a=1 m/s2]。由[v=at]，解得[t=2 s]。

五、電源的等效

等效電源在高中物理學(xué)習(xí)中不常用，學(xué)生對(duì)此也常常覺得難掌握。但在一些電學(xué)問題中，比如利用外接法測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)中，對(duì)電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的測(cè)量值進(jìn)行誤差分析時(shí)，利用此法就很便捷。另外，在一些電路中要分析滑動(dòng)變阻器消耗功率的最值問題時(shí)，如果利用常規(guī)方法分析，往往很繁雜。等效電源在解決這類問題時(shí)就變得簡(jiǎn)單了，同時(shí)又能體現(xiàn)物理思想。使用等效電源的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確求出等效電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻。

[例6]如圖8所示，電源電動(dòng)勢(shì)為[E=10 V]，內(nèi)阻為[r=1 Ω]，定值電阻[R1=9 Ω]，[R2=10 Ω]，可變電阻[R3]可在[0～20 Ω]之間變化，求[R3]消耗的最大功率。

解析：此題如果先求電路總電阻，再求通過[R3]的電流或電壓，最后利用[Pm=I2R3]或[Pm=U2R3]討論[R3]消耗的最大功率，顯然這個(gè)思路很繁雜。能否利用結(jié)論分析呢？若電源內(nèi)阻恒定不變，當(dāng)外電阻等于內(nèi)電阻時(shí)，電源的輸出功率最大。由于[R3]不是整個(gè)外電阻，因此不能直接套用上述結(jié)論。如果“把電源與[R1]串聯(lián)后再與[R2]并聯(lián)”看成一個(gè)整體，等效為一個(gè)新的電源。新電源的等效電動(dòng)勢(shì)為[E′=ER2r+R1+R2=5 V]，新電源的等效內(nèi)阻即為電源內(nèi)阻r與[R1]先串聯(lián)再與[R2]并聯(lián)后的總電阻，則[r′=r+R1R2r+R1+R2=5 Ω]。[R3]就變?yōu)檎麄€(gè)外電路，此時(shí)，當(dāng)[R3=r′=5 Ω]時(shí)，[R3]消耗的功率最大[Pm=E′24r′=1.25 W]。

以上是等效法在高中物理中的一些典型應(yīng)用，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，熟練掌握最基本物理模型是關(guān)鍵，在實(shí)際應(yīng)用中遇到復(fù)雜問題時(shí)，抓住問題的實(shí)質(zhì)，靈活運(yùn)用等效法，繁雜的問題也可以迎刃而解。

（責(zé)任編輯 易志毅）