◇ 山東 趙延敏

歸納推理是由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理,是由部分到整體、由特殊到一般的推理．歸納推理在數(shù)學(xué)結(jié)論、數(shù)學(xué)問(wèn)題證明思路的發(fā)現(xiàn)、科學(xué)發(fā)明等方面都起著非常重要的作用．本文結(jié)合常見(jiàn)的歸納推理問(wèn)題,進(jìn)行實(shí)例剖析,以供大家學(xué)習(xí)與參考．

1 與數(shù)字有關(guān)的歸納推理

例1正整數(shù)按圖1的規(guī)律進(jìn)行排列,則上起第2019行、左起第2020列的數(shù)為( )．

A．20192

B．20202

D．2019×2020

圖1

解析經(jīng)觀察可得圖示正整數(shù)的排列特點(diǎn):

①第1 列的每個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù),并且恰好等于它所在行數(shù)的平方,即第n 行的第1個(gè)數(shù)為n2;

②第1行第n 個(gè)數(shù)為(n－1)2＋1;

③第n 行從第1個(gè)數(shù)至第n 個(gè)數(shù)依次遞減1;

④第n 列從第1個(gè)數(shù)至第n 個(gè)數(shù)依次遞增1．

綜上,上起第2019行、左起第2020列的數(shù),應(yīng)是第2020列的第2019個(gè)數(shù),即[(2020－1)2＋1]＋2018＝2019×2020,故選D．

蛋白質(zhì)是構(gòu)成生物組織的重要成分。人體各器官、 組織和體液、肌肉、血液、皮膚、毛發(fā)、骨骼等都由蛋白質(zhì)組成。足月兒體內(nèi)的蛋白質(zhì)含量平均在400～500克。通常整個(gè)妊娠期蛋白質(zhì)需增加910克左右，隨著孕周的增加蛋白質(zhì)的吸收利用也會(huì)增加，所以一般建議在常規(guī)飲食量的基礎(chǔ)之上孕早期每天增加5克，孕中期每天可以增加15克，孕晚期每天可以增加25克。

點(diǎn)評(píng)與數(shù)字有關(guān)的歸納推理問(wèn)題,求解的關(guān)鍵就是對(duì)相關(guān)數(shù)字的規(guī)律加以認(rèn)真觀察,找出相應(yīng)的規(guī)律,特別是項(xiàng)數(shù)、開(kāi)始值與結(jié)束值等特殊位置的數(shù)字之間的聯(lián)系,進(jìn)而正確歸納與應(yīng)用．

2 與等式有關(guān)的歸納推理

例2已知函數(shù)列{fn(x)}滿(mǎn)足

觀察可得

根據(jù)以上事實(shí),由歸納推理可得,當(dāng)n∈N?時(shí),fn(x)的表達(dá)式為_(kāi)____．

解析根據(jù)題意可知,對(duì)應(yīng)函數(shù)列{fn(x)}中各項(xiàng)的關(guān)系式,分子都是x,分母均為二次根式,其中常數(shù)均為1,對(duì)應(yīng)分別加上x(chóng)2的1倍、2倍、3倍…則可知fn(x)的分母中對(duì)應(yīng)分別加上x(chóng)2的n倍,即

點(diǎn)評(píng)與等式有關(guān)的歸納推理問(wèn)題,需要認(rèn)真觀察每個(gè)等式,找出等式左、右兩邊所對(duì)應(yīng)的規(guī)律,注意符號(hào)、系數(shù)、次數(shù)等特征,進(jìn)而加以歸納,巧妙破解相應(yīng)的等式問(wèn)題．

3 與不等式有關(guān)的歸納推理

例3已知函數(shù)(n∈N?),經(jīng)計(jì)算得結(jié)合歸納推理,當(dāng)n≥2 時(shí),有_____．

觀察f(n)中n 的規(guī)律為2k(k＝1,2,…),不等式右側(cè)為所以f(2n)＞

點(diǎn)評(píng)與不等式有關(guān)的歸納推理問(wèn)題,需要認(rèn)真觀察每個(gè)不等式,找出對(duì)應(yīng)的規(guī)律,注意對(duì)應(yīng)不等號(hào)的方向、符號(hào)、系數(shù)、次數(shù)等特征,進(jìn)而加以歸納,巧妙破解相應(yīng)的不等式問(wèn)題．

4 與圖形有關(guān)的歸納推理

例4如圖2,這是由花盆擺成的圖案,根據(jù)圖中花盆擺放的規(guī)律,第n 個(gè)圖形中的花盆數(shù)an＝_____．

圖2

解析觀察可知每個(gè)圖案中間一行的花盆數(shù)為1,3,5,…,則第n 個(gè)圖案中間一行的花盆數(shù)為2n－1,往上一側(cè)花盆數(shù)依次是2n－2,2n－3,…,它們的和為往下一側(cè)(含中間一行)花盆數(shù)為所以

點(diǎn)評(píng)與圖形有關(guān)的歸納推理問(wèn)題,求解的關(guān)鍵是逐個(gè)觀察對(duì)應(yīng)圖形之間的特征,從小到大觀察其變化規(guī)律,進(jìn)而確定圖形之間的演變過(guò)程,找出變化規(guī)律與內(nèi)在聯(lián)系,進(jìn)而合理歸納與解決．

5 與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的歸納推理

例5我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無(wú)所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程,比如在中“…”即代表無(wú)限次重復(fù),但原式卻是一個(gè)定值x,這可通過(guò)方程確定x＝2,則

解析設(shè)即x2－x－1＝0,解得不合條件(舍去),所以故選C．

點(diǎn)評(píng)解決與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的歸納推理問(wèn)題,關(guān)鍵要建立起合適的數(shù)學(xué)模型,借助數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行分析與歸納．其基本思維模式為發(fā)現(xiàn)共性、檢驗(yàn)、得結(jié)論．

在高考中,歸納推理的考查背景越來(lái)越豐富多彩,成為高考中的一大亮點(diǎn),也是知識(shí)交會(huì)與能力綜合的一大戰(zhàn)場(chǎng),考查的關(guān)鍵是歸納能力、探究能力和創(chuàng)新意識(shí)等的應(yīng)用．