◇ 山東 史紅勇

1 公式法求和

利用常用求和公式求和是數(shù)列求和的基本方法．

例1設(shè){an}是公差不為0的等差數(shù)列,a1＝2,且a1,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}的前n 項(xiàng)和Sn＝( )．

解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d,因?yàn)閍1＝2,則a3＝2＋2d,a6＝2＋5d．又因?yàn)閍1,a3,a6成等比數(shù)列,所以＝a1·a6,即(2＋2d)2＝2(2＋5d),整理得2d2－d＝0．因?yàn)閐≠0,所以所以

故選A．

2 錯(cuò)位相減法求和

將錯(cuò)位相減法用于數(shù)列求和,常見于求一個(gè)等差數(shù)列{an}和一個(gè)等比數(shù)列{bn}的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的數(shù)列{an·bn}的前n 項(xiàng)和．

例2已知{an}為等差數(shù)列,前n 項(xiàng)和為Sn(n∈N?),{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2＋b3＝12,b3＝a4－2a1,S11＝11b4．

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列{a2nb2n－1}的前n 項(xiàng)和(n∈N?)．

解析(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q．由b2＋b3＝12,得b1(q＋q2)＝12,而b1＝2,所以q2＋q－6＝0．又因?yàn)閝＞0,解得q＝2,所以bn＝2n．又因?yàn)閎3＝a4－2a1,S11＝11b4,則

聯(lián)立①②,解得a1＝1,d＝3,由此可得an＝3n－2．所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n．

(2)設(shè)數(shù)列{a2nb2n－1}的前n 項(xiàng)和為Tn,由a2n＝6n－2,b2n－1＝2×4n－1,得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n,故

③－④,得

3 倒序相加法求和

若首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性則可考慮運(yùn)用倒序相加法求和．

例3設(shè)則S＝_____．

解析因?yàn)樗?/p>

①＋②,得

4 裂項(xiàng)相消法求和

如果數(shù)列{an}的每一項(xiàng)均可拆成兩項(xiàng)之差,并在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)可以相互抵消,只剩首尾若干少數(shù)項(xiàng),那么求{an}前n 項(xiàng)和可用裂項(xiàng)相消法．

例4已知等差數(shù)列{an}滿足(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋…＋(an＋an＋1)＝2n(n＋1)．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)求{bn}的前n 項(xiàng)和Sn．

解析(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,當(dāng)n＝1時(shí),a1＋a2＝4,當(dāng)n＝2 時(shí),a1＋a2＋a2＋a3＝12,則4a2＝12,a2＝3,所以a1＝1,d＝a2－a1＝2,所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1．

(2)由(1)可得

所以

5 分組法求和

如果數(shù)列{an}的各項(xiàng)均可寫成一些易求和的特殊數(shù)列的和或差,則可以把數(shù)列的每一項(xiàng)分解成兩項(xiàng)或多項(xiàng),或者把數(shù)列的項(xiàng)重新組合,使其轉(zhuǎn)化成兩個(gè)或多個(gè)等比數(shù)列(或等差數(shù)列)的和．

例5等差數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且滿足a1＝3,b1＝1,b2＋S2＝10,a5－2b2＝a3．

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

解析(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列{bn}的公比為q．由b2＋S2＝10,a5－2b2＝a3,得

綜上,an＝3＋2(n－1)＝2n＋1,bn＝2n－1．

(2)由a1＝3,an＝2n＋1,得Sn＝n(n＋2),