尋友利 劉永東

摘? 要：在課堂教學(xué)中，如何帶領(lǐng)學(xué)生高效突破教學(xué)難點，達到引導(dǎo)學(xué)生進行深度學(xué)習(xí)的目的值得探究. 根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情設(shè)計一系列“母子問題串”是一種值得嘗試的教學(xué)策略. 在設(shè)計問題串之前，需要教師精讀教材、精準定標、精當設(shè)計.

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí);問題串;平方差公式

一、寫在前面

如果說問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心臟，那么“問題串”就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的強心劑. 基于問題解決的學(xué)習(xí)過程，可以促進學(xué)生積極思考、主動學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和數(shù)學(xué)交流能力. 而深度學(xué)習(xí)是追求有效遷移的高投入學(xué)習(xí)，它注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和批判性思維. 問題串的解決注重獨立思考并交流遷移，它能激發(fā)、促進、支持并達成深度學(xué)習(xí). 這是因為：在解決問題時，學(xué)生之間不斷交流和自我反思，需要通過整合信息、深度思考，以理解知識點并能將其融會貫通;而學(xué)生思維發(fā)生碰撞交流使得思路拓寬，又為知識體系的建構(gòu)與發(fā)展提供支持;交流需要提出質(zhì)疑，調(diào)整理解，優(yōu)化解決方式，進而遷移，可以達成深度學(xué)習(xí).

因此，教師可根據(jù)知識的結(jié)構(gòu)和特點，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，設(shè)置好問題，特別是設(shè)置指向深度學(xué)習(xí)的問題串以達成有效教學(xué). 對此，以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊第十四章“整式的乘法與因式分解”的“平方差公式”教學(xué)為例，就問題串的設(shè)計與實施進行探析，與同行共研.

二、問題串從何而來？如何設(shè)置？

設(shè)計好問題串，需要理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生，還需要理解技術(shù). 理解乃好問題之始，對教師而言，在已經(jīng)理解學(xué)生的前提下，備課更需要理解課程標準、理解教材，這需要精讀其內(nèi)涵，才能準確定標、精當設(shè)計.

首先，是理解課程標準，方能精準確定教學(xué)目標. 本課的教學(xué)目標有兩個：一是理解平方差公式（以下簡稱“公式”）;二是在探索公式的過程中，感悟從具體到抽象的研究問題的方法. 對此，筆者這樣理解：一是公式從何而來？如何用？這里需要學(xué)生感受由多項式乘法到公式的從一般到特殊的過程，并能根據(jù)多項式的乘法法則推導(dǎo)出公式，進而理解公式的基本結(jié)構(gòu)和特征，會用數(shù)學(xué)符號表示公式，能用文字語言描述公式，在用字母表示具體的數(shù)、單項式、多項式時能正確地運用公式進行計算;二是在驗證公式的過程中，如何增強感知數(shù)形結(jié)合思想？如何增強由具體到抽象的過程體驗？為此，在利用幾何圖形面積驗證公式過程時，需要了解驗證公式的具體方法及驗證方法的合理性.

其次，是理解教學(xué)內(nèi)容，這反映在精讀教材. 為什么學(xué)？知識處于什么地位？學(xué)習(xí)后對學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和能力提升有何幫助？等等，需要帶著這些問題去精讀教材. 本課前學(xué)生學(xué)習(xí)了整式的乘法，掌握了單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、多項式乘以多項式的運算法則，而公式是一類特殊的多項式乘以多項式運算，可以通過觀察、比較、抽象概括出一般形式，通過符號推理概括出公式，并用符號和文字語言表述. 一方面，感受從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想;另一方面，簡化運算，并為后續(xù)學(xué)習(xí)其他公式做鋪墊和類比.

最后，是理解學(xué)生的認知水平. 公式中的a，b可以是具體的數(shù)字、單項式、多項式等，情況比較復(fù)雜，學(xué)生識別時，找準其代表的數(shù)或字母或代數(shù)式是難點，可以通過以退為進達成分解難點的目的，進而有效突破難點.

基于以上理解，可以將達成教學(xué)目標的具體內(nèi)容和難點運用問題串形式讓學(xué)生思考和交流，即母問題和子問題形式. 先設(shè)置三個母問題與之對應(yīng)，即平方差公式產(chǎn)生的背景是什么？如何驗證平方差公式？平方差公式的特點是什么？在具體教學(xué)中，用一些子問題來開展教學(xué)，子問題是圍繞母問題設(shè)置的，目的是分解難度，分解較為復(fù)雜的知識點，即“以退為進”. 值得注意的是，問題串的設(shè)置可先預(yù)設(shè)，但需要根據(jù)課堂實際情況和學(xué)生的反映靈活調(diào)整.

三、問題串走向何方？如何實施？

陶行知先生說：“發(fā)明千千萬，起點是一問.”問題乃真思辨之源，對于母問題，需要通過一個個子問題組成的問題串去達成，這些子問題應(yīng)該是有價值的、能激起學(xué)生思維劇烈活動的問題，進而在交流中引導(dǎo)學(xué)生解決問題. 有效的子問題猶如一石激起千層浪，讓學(xué)生沉浸、頓悟，并從中感受思考的樂趣，逐步提升思維能力和數(shù)學(xué)表達能力. 因此，問題串是圍繞母問題而設(shè)置的，是有組織、有關(guān)聯(lián)的問題的集合，或由淺入深、或并列相關(guān)、或?qū)訉舆f進. 用以下的環(huán)節(jié)實施說明問題串的應(yīng)用.

例如，為將本課知識與生活實際問題相結(jié)合，在引入環(huán)節(jié)圍繞公式產(chǎn)生的背景，設(shè)置兩個子問題. 一方面，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識與實際生活的緊密聯(lián)系;另一方面，做好學(xué)習(xí)鋪墊.

子問題1：小明周末去菜市場買水果，發(fā)現(xiàn)蘋果降價，4.2元 / 斤，他挑了幾個，稱重共3.8斤，他正想拿出計算器算一下總價，沒想到水果店老板馬上說出了答案，你們知道老板運算這么快的秘訣是什么嗎？

以生活中的實際問題作為課堂引入，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性. 學(xué)生可以根據(jù)自己的實際水平直接計算，教師讓使用了簡便運算方法的同學(xué)上臺講解解題思路，并追問同學(xué)們，簡便在何處？

子問題2：在子問題1的基礎(chǔ)上，你能快速得出

99 × 101的值嗎？10.2 × 9.8呢？試試看.

子問題3：分別計算多項式[x+1x-1]，[x-2 ·][x+2]，[2x+52x-5]，結(jié)合以下三個問題思考，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

（1）試觀察這幾個多項式與多項式相乘的乘法式子中，兩個因式有什么特點？與前面的問題中的數(shù)字相乘有無相通之處？

（2）兩個因式的積又有什么特點？

（3）為什么具備這些特點的兩個二項式相乘，積會是二項式？

小組討論交流，通過智慧碰撞和補充后進行表達，具體實錄如下.

生1：三個多項式的乘法都是兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差，本來他們的乘積應(yīng)該有四項，但是有兩項互為相反數(shù)抵消了，所以最終的乘積只有兩項，前面問題中的數(shù)字相乘其實是字母相乘的特殊情況.

生2：我發(fā)現(xiàn)乘積中剩下的兩項恰好可以寫成平方式，中間還是減號相連.

生3：我還發(fā)現(xiàn)結(jié)果恰好是前面一項的平方減去后面一項的平方.

生4：我覺得生3說得不夠準確，因為加法有交換律. 他說前面一項和后面一項其實是可以互換的. 例如，[x+1x-1]可以寫成[1+xx-1]，這時生3說的前面一項的平方減去后面一項的平方就不夠準確了，應(yīng)該說成減法中的前面一項的平方減去后面一項的平方才準確.

生5：我覺得生1說得也不夠全面，不一定是兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差，也可以是字母、代數(shù)式.

至此，學(xué)生通過質(zhì)疑，形成了一定的共識，教師在給予肯定和鼓勵后繼續(xù)提出子問題.

子問題4：你能用文字和數(shù)學(xué)語言描述你得出的規(guī)律嗎？并能用你所學(xué)的知識證明這個規(guī)律是否正確嗎？

生6：兩個數(shù)（或式）的和與這兩個數(shù)（或式）的差的乘積等于這兩個數(shù)（或式）的平方差. 用數(shù)學(xué)符號表示為[a+ba-b=a2-b2].

生7：我們可以通過多項式乘以多項式的運算法則計算左邊的代數(shù)式得出的結(jié)果與等式右邊結(jié)果一致完成證明過程.

從特殊到一般，由數(shù)字到字母，圍繞母問題“公式的特點是什么？如何驗證？”設(shè)置子問題展開探究，讓學(xué)生歸納公式的結(jié)構(gòu)形式和特點，感受知識產(chǎn)生的依據(jù)，強化符號意識，提升學(xué)生抽象概括和數(shù)學(xué)表達的能力.

四、問題串如何交流？

在運用公式計算的示例講解中，除了教材例題[3x+23x-2]和[b+2a2a-b]外，還可以根據(jù)學(xué)生的實際情況提供變式[-x+2y-x-2y]和[-x+2y ·][x-2y]，以促使學(xué)生進一步熟悉公式的結(jié)構(gòu)特點. 通過巡視課堂，觀察解題情況，收集典型錯誤，針對母問題“平方差公式的特點是什么？”靈活設(shè)置子問題串促進師生、生生之間的交流.

子問題5：試找出每一個能使用平方差公式計算的式子中，相對應(yīng)的a，b分別是什么？

子問題6：兩個變式的區(qū)別在哪里？為什么前者能使用平方差公式，而后者不行？

子問題7：你能對后一個變式[-x+2yx-2y]進行改編，使其計算能使用平方差公式嗎？說說你的改編依據(jù).

要讓學(xué)生交流起來，就必須把教學(xué)節(jié)奏放慢，讓學(xué)生多觀察、多思考、多類比. 變式要求學(xué)生熟悉公式的結(jié)構(gòu)特點，還需要根據(jù)代數(shù)式的運算法則進行相應(yīng)變形，識別出公式中的a，b分別是什么. 課堂中主要出現(xiàn)以下幾種做法：一是直接利用多項式乘以多項式計算，結(jié)果正確;二是直接套用公式計算，導(dǎo)致后一個變式出錯;三是認真分析每個式子的結(jié)構(gòu)特點，采用適合的計算方法得到正確答案. 可見，學(xué)生之間存在較大差異，學(xué)習(xí)主動性也各有不同，一些學(xué)生覺得用舊知識能算對就可以了，對新知識缺乏深入理解;一些學(xué)生對新知識一知半解，直接套用，知其然而不知其所以然;一些學(xué)生對新知識掌握到位，會識別辨析，在發(fā)現(xiàn)不能使用公式時，退回到以前所學(xué)的知識解決問題，注重知識的產(chǎn)生過程. 對此，筆者針對變式展開討論和辨析，在辨析中突破難點和解決母問題，并通過適時歸納和反思深度解讀公式.

以子問題7為例：

生8：改為[x+2yx-2y]，這時a = x，b = 2y.

生9：改為[-x+2y-x-2y]，這時a = -x，b = 2y.

生10：改為[x-2y-x-2y]，這時a = -2y，b = x.

生11：改為[-x+2yx+2y]，這時a = 2y，b = x.

這個子問題教學(xué)，讓不同層次的學(xué)生都能在自己的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)有所獲. 學(xué)困生會辨析同學(xué)寫出的變式是否正確;中等生能寫出其中一兩個答案，在聆聽不同答案的過程中歸納分類依據(jù)，做到不重不漏;優(yōu)等生嘗試寫出所有答案，對公式有更深層次的理解，且在寫的過程中感受分類討論的數(shù)學(xué)思想，可謂一舉兩得. 這是一個開放性問題，學(xué)生改編就是一種深度學(xué)習(xí)，說出改編依據(jù)更是要求對公式有深層的理解，而子問題串的設(shè)置是層層遞進、由淺入深的. 基于這個環(huán)節(jié)的教學(xué)，教師創(chuàng)設(shè)接龍活動，讓學(xué)生進行公式辨析.

接龍活動：請一位同學(xué)任意說出一個多項式，另一位同學(xué)找出一個多項式與它相乘，要求能使用平方差公式，并指出與公式相對應(yīng)的a，b分別是什么？

生8：我出[3x-2y].

生9：我找[3x+2y]與它相乘，[3x-2y][3x+2y]=[3x2-2y2]，其中a = 3x，b = 2y.

師：還有其他的多項式嗎？

生10：我找[-3x-2y]與它相乘，[-3x-2y · 3x-][2y=-2y2-3x2]，其中a = -2y，b = 3x.

緊接著進行第二、三輪，根據(jù)學(xué)生的接龍情況，教師適時提出子問題串.

子問題8：生9和生10找的式子與生8給出的式子之間有何關(guān)系？

子問題9：對于[-x-y]，找[x+y]可行嗎？若行，指出與公式相對應(yīng)的a，b分別是什么;若不行，說明理由.

子問題10：請大家從自己理解的角度說說平方差公式除了文字表述和數(shù)學(xué)符號表示外，還可以從哪些角度解讀？（小組討論.）

辨析環(huán)節(jié)是對應(yīng)用環(huán)節(jié)的補充和延續(xù)思考，辨析歸納平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，甄別其使用范圍：子問題9給了學(xué)生一個思考的方向，注意觀察兩個相乘的代數(shù)式之間的關(guān)系，子問題10是在學(xué)生理解子問題9的基礎(chǔ)上，按照自己對公式不同角度的理解，借助小組的力量，完成歸納，進而從更多角度解讀公式. 下面呈現(xiàn)一個小組的互動情況.

成員1：說實話，我覺得挺暈的，感覺只背公式?jīng)]有用，要看里面有沒有兩個相同的數(shù)或者式子，而且還一定要是一加一減的形式才行，我能識別出能不能用公式，但是給出一個式子，讓我找全與它匹配能用平方差公式的式子，我還是沒把握.

成員2：我覺得符號比較簡單的我會，符號復(fù)雜了我就有點沒把握，加減號和正負號弄在一起有點暈.

成員3：我覺得成員2說的內(nèi)容給了我啟發(fā)，其實，加減號本來和正負號就是相通的呀！所有的減號都可以寫成加號的形式，這么說來，我覺得這個公式還可以這樣理解：公式左邊[a+ba-b]也可看成[a+b ·][a+-b]，可以進一步解讀為一對相同數(shù)（或代數(shù)式）和一對相反數(shù)（或代數(shù)式）相加，把它們的和相乘，等號右邊即是相同數(shù)（或代數(shù)式）的平方減去相反數(shù)（或代數(shù)式）的平方. 這樣，我們看能不能使用公式，只要看相乘的兩個式子里面是不是有一同（相同的數(shù)或式子）一反（互為相反數(shù)的數(shù)或式子），這樣就排除減號的干擾了，大家覺得如何？

成員齊呼：很有道理！這樣更容易理解. 用這個方法找匹配的式子就簡單多了，只要找一同一反就好啦！

基于這一小組成員的歸納，筆者給予表揚和肯定，鼓勵學(xué)生多角度理解公式，邀請小組成員代表發(fā)表看法，學(xué)生傾聽并找到了自己最容易理解和接受的方法. 筆者繼續(xù)追問：你能找出一個含a，b，c的多項式，使它與[a+b-c]相乘能使用平方差公式嗎？你能找出多少個？這個問題對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力提出了較高要求. 一方面，要求學(xué)生對公式結(jié)構(gòu)非常了解;另一方面，考查了學(xué)生分類思想，引導(dǎo)學(xué)生的思維提升到更高層次，凸顯了學(xué)生的主體地位，體現(xiàn)了以生為本，也體現(xiàn)了問題串在教學(xué)中的重要作用.

除此之外，在運用幾何圖形面積證明公式的拓展環(huán)節(jié)，為更好地培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，以及感受逆向思維的妙處，適時提出三個子問題引導(dǎo)學(xué)生思考，以完善學(xué)生的知識體系.

子問題11：大家還記得教材推導(dǎo)[a+bm+n=][am+an+bm+bn]是如何操作的嗎？

子問題12：根據(jù)平方差公式特點，你覺得該如何構(gòu)造相應(yīng)的幾何圖形進行驗證，并談?wù)勀愕囊罁?jù)？

子問題13：根據(jù)同學(xué)們的構(gòu)圖方法，你覺得哪種方法更方便快捷？為什么？

利用子問題11，引導(dǎo)學(xué)生回歸教材，感受利用幾何圖形表示多項式乘以多項式的直觀性. 在子問題12中，讓同學(xué)們以小組為單位，討論構(gòu)圖方法和依據(jù)，以培養(yǎng)學(xué)生的建模能力. 子問題13通過不同答案的展示，讓學(xué)生分享如何想到從公式的右邊a2 - b2入手，讓學(xué)生感受逆向思維的妙處.

由圖1，得S陰 = a2 - b2;由圖2，得[S陰=a+ba-b.]所以[a+ba-b=a2-b2.]

由圖形面積也可證明平方差公式，并直觀表示.

最后，在總結(jié)環(huán)節(jié)中，根據(jù)母問題設(shè)置子問題串引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納. 例如，公式產(chǎn)生的背景是什么？如何證明公式成立，有哪些方法？公式的特點是什么？不滿足這些特點時應(yīng)該如何進行計算？學(xué)習(xí)中感