畢金缽

摘要：通過(guò)對(duì)案例分析，引導(dǎo)學(xué)生用自主探究的方法，嘗試去找向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，以提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，探究問(wèn)題的能力，解決問(wèn)題的能力。鍛煉學(xué)生的觀察力，邏輯思維能力，以及總結(jié)能力。

關(guān)鍵詞：課程思政;線性代數(shù);極大線性無(wú)關(guān)組;案例分析

一、引言

向量組研究的一個(gè)主要問(wèn)題就是找極大線性無(wú)關(guān)組。通過(guò)此案例分析，給一個(gè)向量組，引導(dǎo)學(xué)生如何從定義出發(fā)，思考出找極大線性無(wú)關(guān)組的思路，將思政元素貫穿于其中，提高學(xué)生去主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，鍛煉學(xué)生邏輯思維能力。

二、具體教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)容

1.提出問(wèn)題

給出一個(gè)研究對(duì)象向量組，先引導(dǎo)學(xué)生不看課本的情況下，嘗試自己給出極大線性無(wú)關(guān)組的定義。

極大線性無(wú)關(guān)組是什么，為什么討論它？舉例，比如一個(gè)班上人多了以后經(jīng)常會(huì)選出各種班代表，代表在不同場(chǎng)合下可以代表全班同學(xué)的意見(jiàn)。那么就來(lái)引導(dǎo)學(xué)生思考一下，當(dāng)向量組中的向量個(gè)數(shù)很多，甚至還有無(wú)窮多個(gè)向量的情形，這里面能不能選出部分向量組把整個(gè)大的向量組中所有向量全部代表了呢？再來(lái)思考一下，代表能用少的有必要選多的嗎？也就是說(shuō)，我們能不能試著去尋要最精簡(jiǎn)的代表，它們之間互相獨(dú)立，其中每一個(gè)都不能再由別的代表了。而此處的代表在向量組背景之下就是指極大線性無(wú)關(guān)組，互相獨(dú)立就是線性無(wú)關(guān)。由此引導(dǎo)學(xué)生自己給出極大線性無(wú)關(guān)組定義。

在向量組中選出部分向量組滿足以下兩條：此處提問(wèn)學(xué)生是哪兩條？引導(dǎo)學(xué)生回答：

1）線性無(wú)關(guān)

2）所有向量都可以由其線性表示。

再引導(dǎo)學(xué)生思考一下第2條還可以換成另外兩種等價(jià)說(shuō)法：其余向量可由其線性表示或任意個(gè)向量線性相關(guān)。并跟學(xué)生一起證明一下為什么可以替換。然后再?gòu)?qiáng)調(diào)一下第2個(gè)條件的3種等價(jià)說(shuō)法可以根據(jù)具體情況靈活選擇來(lái)用。

此時(shí)拋出問(wèn)題給學(xué)生：如何找一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組？這個(gè)定義能不能解決問(wèn)題？

2.思考問(wèn)題

如何找一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組？從定義出發(fā)來(lái)分析，先把兩種情況排除掉。一種是向量組里向量全是零向量，問(wèn)學(xué)生有沒(méi)有極大線性無(wú)關(guān)組，學(xué)生就會(huì)回答沒(méi)有。一種是整個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)，問(wèn)學(xué)生有沒(méi)有極大線性無(wú)關(guān)組，學(xué)生回答有，再問(wèn)是誰(shuí)，學(xué)生回答是向量組本身。

再來(lái)看一般情況，給一個(gè)向量組判斷出線性相關(guān)且不全為零向量，那么它的極大線性無(wú)關(guān)組怎么找？

由于向量組中至少有一個(gè)是非零向量，設(shè)，那么一個(gè)非零向量就線性無(wú)關(guān)，其余向量中任意拿出一個(gè)跟放一起發(fā)現(xiàn)線性相關(guān)，問(wèn)學(xué)生這個(gè)時(shí)候結(jié)論是什么？學(xué)生回就是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。再問(wèn)學(xué)生，如果剩下的向量中有一個(gè)跟放一起線性無(wú)關(guān)，那么能出結(jié)果么，學(xué)生說(shuō)不行，再接著找。那就再假設(shè)線性無(wú)關(guān)，剩下的向量中任意拿出一個(gè)跟放一起發(fā)現(xiàn)線性相關(guān)，問(wèn)學(xué)生這個(gè)時(shí)候結(jié)論是什么？學(xué)生回就是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。再問(wèn)學(xué)生，如果剩下的向量中有一個(gè)跟放一起線性無(wú)關(guān)，那么能出結(jié)果么，學(xué)生說(shuō)不行，再接著找。按此思路一直做下去，最終會(huì)找出極大線性無(wú)關(guān)組。此時(shí)問(wèn)學(xué)生這樣逐個(gè)去試麻煩不麻煩，學(xué)生自然說(shuō)麻煩。那么有沒(méi)有好用的方式，讓步驟變得簡(jiǎn)單利落呢？

3.解決問(wèn)題

用一個(gè)具體例子來(lái)分析如何快速找向量組的極大線性無(wú)關(guān)組。

給出一個(gè)向量組找出它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。

跟學(xué)生一起分析問(wèn)題：要判斷向量組的線性相關(guān)性，需要對(duì)向量組求秩，每個(gè)部分向量組都分別求秩太麻煩了，也多做功，為了快速簡(jiǎn)單方便，可以把5個(gè)向量直接放在一起對(duì)構(gòu)成的矩陣求秩。如果用到其中幾個(gè)向量的秩，只需把其余向量遮住即可。

解：寫出向量組構(gòu)成的矩陣，再用初等行變換化為行階梯形矩陣

問(wèn)學(xué)生的線性相關(guān)性，學(xué)生就會(huì)回答線性無(wú)關(guān)。問(wèn)為什么，引導(dǎo)學(xué)生一起分析因?yàn)闃?gòu)成的矩陣秩為3與向量組里向量個(gè)數(shù)3相同。再問(wèn)學(xué)生，其余向量跟放一起的線性相關(guān)性？與答都線性相關(guān)。問(wèn)學(xué)生原因，引導(dǎo)學(xué)生一起分析因?yàn)閮蓚€(gè)向量組構(gòu)成的矩陣秩都為3比向量組里向量個(gè)數(shù)4小，所以線性相關(guān)。此時(shí)問(wèn)學(xué)生結(jié)論是什么？學(xué)生答就是向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。

再問(wèn)學(xué)生是不是極大線性無(wú)關(guān)組，學(xué)生回答是，所以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：第一個(gè)結(jié)論：極大線性無(wú)關(guān)組不唯一。引導(dǎo)學(xué)生按數(shù)學(xué)邏輯思維，不唯一舉反例即可。此例題即可做為一個(gè)反例。再引導(dǎo)學(xué)生，數(shù)學(xué)上當(dāng)遇到結(jié)論不唯一的時(shí)候，為了避免討論問(wèn)題時(shí)每個(gè)人的選擇不一樣，可以定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。通常會(huì)選行階梯中非零行的第一個(gè)非零元所在的列對(duì)應(yīng)的向量組作為一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。極大線性無(wú)關(guān)組可以不唯一，但本例中不同極大線性無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)都一樣是3，問(wèn)學(xué)生這是偶然的么？學(xué)生都會(huì)說(shuō)，必然。由此引導(dǎo)學(xué)生猜想一個(gè)結(jié)論：不同極大線性無(wú)關(guān)組中所含向量個(gè)數(shù)相同。再跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)，按數(shù)學(xué)的邏輯思維來(lái)說(shuō)，一個(gè)例子有的結(jié)論不能代表一般的向量組都有這個(gè)結(jié)論，猜想必須給出嚴(yán)格的理論證明。再問(wèn)學(xué)生極大線性無(wú)關(guān)組中所含向量個(gè)數(shù)是幾？學(xué)生答3，矩陣的秩是幾？學(xué)生也答是3。這兩個(gè)數(shù)相等是偶然的么？學(xué)生又會(huì)答是必然的。由此再引導(dǎo)學(xué)生猜想一個(gè)結(jié)論：極大線性無(wú)關(guān)組中所含向量個(gè)數(shù)與向量組構(gòu)成的矩陣的秩相同。按數(shù)學(xué)的邏輯思維來(lái)說(shuō)，這個(gè)猜想也必須給出嚴(yán)格的理論證明。后續(xù)內(nèi)容再跟學(xué)生一起把這兩個(gè)結(jié)論證出來(lái)。

由此例題得出3個(gè)結(jié)論，既可以很好培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)問(wèn)題的能力，也可以很好的鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，不唯一可以舉反例說(shuō)明，猜想一般有的結(jié)論就必須要給出理論證明。有部分同學(xué)在證明一般有的結(jié)論時(shí)，習(xí)慣舉一個(gè)例子來(lái)證，這個(gè)想法本身邏輯上就有問(wèn)題，借此再?gòu)?qiáng)調(diào)一下。

三、小結(jié)

向量組的極大線性無(wú)關(guān)組在線性代數(shù)后續(xù)內(nèi)容中應(yīng)用廣泛，因此須引導(dǎo)學(xué)生掌握什么是極大線性無(wú)關(guān)組，找極大線性無(wú)關(guān)組的方法。從開(kāi)始提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生一起思考問(wèn)題，解決問(wèn)題，最后歸納總結(jié)問(wèn)題。整個(gè)課堂學(xué)習(xí)過(guò)程中，將思政思想貫穿其中，培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立思考的能力，鍛煉了邏輯思維能力，讓學(xué)生體會(huì)邏輯思考的樂(lè)趣，提高獨(dú)立思考問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，幫助培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)觀和不斷鉆研的精神觀。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，《工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第六版》，高等教育出版社，2013.

[2]胡覺(jué)亮，《線性代數(shù)》，高等教育出版社，2013.