湖南省懷化市鐵路第一中學(418000) 高 用

1 引言

聽了一節(jié)“函數(shù)的單調(diào)性”的新授課,引發(fā)了我對數(shù)學課堂教學中提問這一環(huán)節(jié)的深入思考.

案例師:(用多媒體投影給出了某一天某地氣溫隨時間變化的圖象,略)請同學們觀察圖象,說出氣溫在哪些時間段內(nèi)是逐步升高的或逐步下降的?

學生看圖之后議論紛紛.

師:什么叫做“隨時間的增大氣溫逐步升高”?

生1 若有所悟,但又不好表達,似乎只能重復“隨時間的增大氣溫逐步升高”的說法.

師:生1 同學,請你說說怎樣用數(shù)學語言來刻畫“隨時間的增大氣溫逐步升高”的意思?

生1:如果用t表示時間,f(t)表示氣溫,則“時間增大”可用式子t1＜t2刻畫;“氣溫逐步升高”就是t1和t2兩個時刻所對應(yīng)的氣溫f(t1)和f(t2)滿足f(t1)＜f(t2).

師:你抓住了怎樣刻畫“時間增大”和怎樣刻畫“氣溫逐步升高”的關(guān)鍵,因而說得十分中肯.但根據(jù)數(shù)學語言的嚴謹性要求,什么叫做:“隨著”?怎樣刻畫“時間段內(nèi)”?這些均是要在描述中表達清楚的.請大家先看看下面的問題:

(1)對于任意的t1,t2∈[4,6]時,當t1＜t2時,是否都有f(t1)＜f(t2)呢?

(2)如果在(a,b)內(nèi)取無數(shù)個值,使得t1＜t2＜···＜tn＜···時,有f(t1)＜f(t2)＜···＜f(tn)＜···,能否得到在區(qū)間(a,b)上函數(shù)具有“隨著t的增大對應(yīng)函數(shù)值f(t)也增大”這一特征呢?請舉例說明.

學生若有所悟,議論紛紛,生2 舉手發(fā)言.

生2:我似乎知道“隨著”和“時間段內(nèi)”的意思了.單調(diào)遞增函數(shù)表現(xiàn)的是一個變化過程,這個過程和相應(yīng)的自變量的區(qū)間有關(guān).

師:很好!你能給出單調(diào)增函數(shù)的概念嗎?

學生閱讀教材,相互討論,提煉出單調(diào)增函數(shù)的概念.

師:確實很棒!你能類比單調(diào)增函數(shù)的概念,給出單調(diào)減函數(shù)的概念嗎?

······

點評案例中的“問題串”很有特色,具體可概括為兩個方面:一是能有效的促進學生思考,激發(fā)求知欲望,并及時反饋教學信息;二是能促進師生在課堂中的良性互動.案例中提問設(shè)計總的框架是不錯的,能引導學生從具體到抽象地認識單調(diào)函數(shù)的基本規(guī)律,“問”出了課堂的閃光點、概念的生長點,實現(xiàn)教學難點的突破.

但回頭細細一想,案例中的提問似乎存在著不少問題.

(1)有些設(shè)問過于生硬,比如“什么叫做‘隨時間的增大氣溫逐步升高’?”這樣的問題,學生除了重復表述外,確實不知道該如何回答.

(2)提問不能只求正確答案,排斥求異思維.案例設(shè)計的問題,教師在其提問后只是要求學生按照他事先設(shè)計好的思路去回答,這樣忽視了學生自覺、主動、真實、深層次地參與認知的過程.

(3)教師提問單調(diào)增函數(shù)概念后要求學生閱讀教材在回答問題,這種提問不過是要求學生將基本內(nèi)容進行一遍復述,沒有思維的深度參與,甚至學生的思維受到了提問的綁架.綜上所述,案例中的提問似乎缺少了一些“自然”的東西!

數(shù)學課堂教學中,提問是數(shù)學教學活動的重要組成部分,也是啟發(fā)式教學的重要手段.數(shù)學課堂教學的自然提問并不是師生之間一般意義下的簡單對話,它有著深刻地內(nèi)涵.從學生角度看,提問必須具有可接受性、障礙性和探究性;從教師角度看,提問必須有可控性、針對性和目的性;從教學知識角度看,提問必須有可再生性、開放性和啟發(fā)性.

帶著對數(shù)學課堂教學自然提問的一些的思考,我在實際教學中進行了實踐探究.

2 實踐1:從學生熟悉的思維情境出發(fā)設(shè)問

在“平面與平面垂直的判定”中,通過自然的課堂提問,幫助學生架起思維的“梯子”,促使思維不斷上“臺階”,逐步向未知領(lǐng)域探索,激發(fā)學生的學習興趣,激活學生的思維.下面是其中的一個片段:

師:請同學們觀察教室墻面與地面所在的兩個平面,看看它們有什么關(guān)系?

生:我感覺是垂直關(guān)系.

師:你的感覺沒有錯,能說出為什么是垂直嗎?以前見過類似的問題嗎?

生:直線和平面垂直的判定問題.

師:當時是怎么處理的?

生:尋找直線與平面垂直的條件.

師:平面與平面垂直的條件是什么呢?你能否從分析直線與平面垂直的判定定理的條件和結(jié)論入手,獲得關(guān)于判定平面與平面垂直的有益啟示呢?

生:直線與平面垂直是通過直線與直線垂直判定的,由此可知,平面與平面垂直的條件應(yīng)該是直線與平面垂直.

師:直線與平面垂直的含義是什么呢?上述思維過程中蘊含著怎么樣的數(shù)學思想?

生:定義是“一條直線垂直于平面內(nèi)所有直線”;判定是“一條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線”.從定義到判定體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想.

點評該案例找中課堂提問的設(shè)置首先讓學生“動”起來,這也是師生進行良性互動的前提.這里的設(shè)問,從學生熟悉的思維情境引領(lǐng)學生思維逐步向未知的領(lǐng)域探索,激發(fā)學生的學習興趣,可以說這樣的提問是很自然的.

3 實踐2:從學生熟悉的思維情境出發(fā)設(shè)問

二次函數(shù)中最大、最小值,尤其是含參數(shù)的二次函數(shù)最值的求解,學生普遍感到困難,為此我設(shè)計了如下的“問題串”:

問題1:求出下列函數(shù)在x ∈[0,3]時的最值:

(1)y=(x－1)2+1;

(2)y=(x+1)2+1;

(3)y=(x－4)2+1.

問題2:求函數(shù)y=x2－2ax+a2+2,x ∈[0,3]的最小值.

問題3:求函數(shù)y=x2－2x+2,x ∈[t,t+1]的最小值.

問題4:求函數(shù)y=sin2x－2 sinx+2 的最值.

問題5:求函數(shù)y=sin2x－2asinx+2 的最值.

點評上述設(shè)計層層遞進,每解決一個問題就適時指出解決這類問題的要點,并引導學生進入更高層次的問題的探究過程.這種“問題串”式設(shè)問,不但通過問題引路使學生掌握了相關(guān)問題的解決方法,而且可以通過對比認知從結(jié)構(gòu)上認識了各個問題的區(qū)別和相互聯(lián)系,大大調(diào)動了學生學習的積極性和高效性,提高了學生的問題意識和思維靈活度.

4 實踐3:解題教學中的自然提問

解題教學過程就是一個不斷地提問和解決問題的過程.當學生對問題出現(xiàn)無法回答、答錯或“跑題”時,教師應(yīng)再次提問,即追問.實時、自然而有效的追問,可以促使學生進一步深入思考,“問”出問題的根源和探索的過程方法,乃至問題的數(shù)學本質(zhì),從而提升解題教學的效能.

題目已知函數(shù)x ∈[0,1],函數(shù)g(x)=x3－3k2x+5k,x∈[0,1].若對任意x1∈[0,1],總存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求實數(shù)k的取值范圍.

師:“任意”和“存在”是數(shù)學上很重要的兩個概念,你是如何理解的?

生:“任意”是全稱量詞,表示所有、一切;“存在”是存在量詞,表示有一個或者一些.

師:很好!如果本題改為“若對任意x1∈[0,1],總存在唯一的x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立”怎么理解呢?

生:“唯一存在”和“存在”不一樣.我們知道f(x)=的值域是[－1,0],如果設(shè)函數(shù)y=g(x)在[0,1]上的值域為A,那么不僅[－1,0]?A,且y=g(x)在[0,1]上還要單調(diào).

師:增加了“唯一”后解法是有區(qū)別的,但區(qū)別還不是很大.如果改為“若對任意x1∈[0,1],總存在x2∈[0,1],使得f(x1)≤g(x2)成立”會怎么樣?

生:由題意可知函數(shù)y=g(x),x ∈[0,1]只要存在函數(shù)值不小于函數(shù)y=f(x),x ∈[0,1]的任意值即可,可轉(zhuǎn)化為y=g(x),x ∈[0,1]的最大值大于或等于y=f(x),x ∈[0,1]的最大值.

師:再來想想“若對任意x1∈[0,1],任意x2∈[0,1],都有f(x1)≤g(x2)成立”又有什么不同呢?

生:這就變成“恒成立問題”了,可轉(zhuǎn)化為y=g(x),x ∈[0,1]的最小值大于或等于y=f(x),x ∈[0,1]的最大值.

5 課堂自然提問策略

5.1 創(chuàng)設(shè)課堂教學情境自然提問

創(chuàng)設(shè)適當?shù)膯栴}情境可以調(diào)度學生的學習積極性和主動性,促使學生的認識從感性階段進入理性階段,思維的靈活性和廣闊性會得到較好的發(fā)展.常用的創(chuàng)設(shè)課堂教學情境的提問策略有:

(1)通過教學與生活相結(jié)合創(chuàng)設(shè)問題情境.例如,“函數(shù)的概念”教學可從實際生活中的具體實例設(shè)置系列問題,以促成對函數(shù)概念的準確理解.

(2)利用趣味性、啟發(fā)性的故事創(chuàng)設(shè)問題情境.如“求等差數(shù)列前項和”時,教學可引入“高斯巧算1+2+···+100的故事”提問,很自然就得到了等差數(shù)列前項和的一般求法,很容易喚起學生情感上的共鳴.

(3)利用多媒體創(chuàng)設(shè)問題情境.如“雙曲線的離心率對開口有什么影響?”通過動靜結(jié)合的教學圖象,給學生帶來一種全新的認知方式.

(4)創(chuàng)設(shè)實驗問題情境.如“如何判斷直線與平面垂直?”引導學生在折紙實驗中獲得體會和結(jié)論,從而逐步形成自主探究式得學習方式.

5.2 深入問題本質(zhì)特征自然提問

在課堂提問中,所提問題要有針對性、啟發(fā)性和探索性.問題應(yīng)當圍繞教學目標精心設(shè)計,設(shè)計的提問能反映知識的發(fā)生和發(fā)展過程,要促使學生深入理解教學內(nèi)容的數(shù)學本質(zhì),切忌“是不是”、“行不行”、“對不對”之類的機械問答.同樣的數(shù)學內(nèi)容,同一層次的問題,提問的側(cè)重常常也會有所不同,因此提問要多方位、多途徑,也可以由多種解答、多種變式.

5.3 根據(jù)學生認知水平自然提問

使每位學生都能得到發(fā)展是現(xiàn)代教育所追求的一個目標,因此教師提問要照顧到全體學生.問題的設(shè)計應(yīng)具有層次性,過于容易的問題,不能激起學生的學習興趣,浪費有限的課堂時間;過于難的問題則會使學生喪失信心,無法保持持久的探索熱情,使得提問失去價值.教師在突破難點時所設(shè)計的問題應(yīng)由易到難、由簡到繁、由表及里,層層遞進,步步深入.通過不同層次的問題,調(diào)動起全體學生的學習興趣,使每個學生都能得到提高.

5.4 尋覓提問合適時機自然提問

課堂提問問什么和什么時候問,是課堂教學自然提問的基本要素.如果教師準備不足,想到什么就問什么,會使課堂教學顯得松散,起不到提問的作用.課堂提問的題目一定要斟酌,要“提”在需要處,“問”在點子上,對重點、難點問題提問時更應(yīng)慎重,要緊緊圍繞著重點、難點提問.對于學生的回答,教師應(yīng)做出及時、明確的反應(yīng),使學生發(fā)現(xiàn)自己的不足,有時還應(yīng)留些許時間讓學生對其回答深入思考,讓學生糾正錯誤思路.當學生解決了一個特殊形式的問題時,可以通過變式追問的方式,引導學生進行方法上的一般化探究,從而發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵所在,得到新的結(jié)論.這樣可以有助于學生深入探討問題思考方向,促進學生養(yǎng)成良好的學習習慣.