廣東省東莞實驗中學(xué)(523120) 薛新建

2016年,“中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”研究成果正式發(fā)布,核心素養(yǎng)被定義為“能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”,隨之制定的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)不僅對高中數(shù)學(xué)課程的課程性質(zhì)與基本理念,課程目標(biāo),課程結(jié)構(gòu)等方面提出高屋建瓴的先進理念,還對課程內(nèi)容,學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)提出具體規(guī)定,并給我們提出了教學(xué)與評價,學(xué)業(yè)水平考試與高考,教材編寫,地方與學(xué)校實施課程標(biāo)準(zhǔn)等各方面的建議.在這些完備的理論支持下,通過課程改革、教學(xué)實踐、教育評價等三條途徑來具體落實

高中數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng).作為高中數(shù)學(xué)教師,我們對后兩條途徑即“教學(xué)實踐”與“教育評價”有最一線的踐行體驗和實施機會,所以我們務(wù)必要更新自己的新課程理念,緊隨新課程標(biāo)準(zhǔn)的指揮棒,用全新視角去開展日常教學(xué)中的每一個教學(xué)案例,也為進一步的課程改革積累豐富的經(jīng)驗.

1 問題情境創(chuàng)設(shè)思路

《標(biāo)準(zhǔn)》在教學(xué)實施五條建議中明確指出,情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì),創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,提出合適的數(shù)學(xué)問題,引發(fā)學(xué)生思考與交流,形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).通過對《標(biāo)準(zhǔn)》仔細梳理,認(rèn)真研讀,我們對問題情境的創(chuàng)設(shè)可以按如下思路展開.

(1)梳理并對重點數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)出現(xiàn)的情境段進行劃分.

(2)對相應(yīng)情境段中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平仔細研究,并確定不同水平的具體指標(biāo).

(3)對情境實施效果要及時反饋評價.對學(xué)生的評價,要注重過程評價和學(xué)習(xí)態(tài)度評價;對教學(xué)效果的評價,既要重視學(xué)生核心素養(yǎng)的達成,也要重視評價的整體性與階段性.

(4)整體關(guān)注情境所處教材位置與后續(xù)補充內(nèi)容,因為這涉及到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的橫向與縱向延伸.

2 具體案例實探分析

下面我們以二分法的引入情境為例,探究一下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下課堂問題情境的設(shè)計.

二分法的引入,無論從現(xiàn)實情境,數(shù)學(xué)情境還是科學(xué)情境都可以找到作為引入情境的例子,生活化的例子如用水杯在裝有一條魚的水桶里舀水抓魚的例子,電工快速檢測電路故障的例子等,故事化的例子如天平秤出十枚銀幣中的假幣的例子,科學(xué)情境如物理中天平秤未知物品重量的例子,高中信息技術(shù)選修教材《算法與程序設(shè)計》中有一種“二分法”查找數(shù)據(jù)的例子.當(dāng)然用的最多的還是“猜價格”游戲.下面我們就以“猜價格”游戲為例創(chuàng)設(shè)問題情境.

“猜價格”游戲規(guī)則:老師先把某件商品的價格寫在一個小紙條上,讓學(xué)生猜該商品的價格,每次猜完后老師都會給出“多了”還是“少了”的提示,說高了的往低猜,說低了的往高猜,不斷調(diào)整,逐步接近,直到猜到商品的價格為止.

2.1 情境涉及核心素養(yǎng)分析

用游戲引入“二分法”,除了激發(fā)學(xué)生進入情境的興趣,最重要還是通過問題設(shè)置逐步引導(dǎo)學(xué)生體驗和培養(yǎng)如下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng):數(shù)據(jù)分析,數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模.

(1)從數(shù)據(jù)分析角度來看,“猜價格”游戲本身就是在分析數(shù)據(jù),學(xué)生在初步猜過幾次價格后,就能把價格鎖定在一個區(qū)間(a,b)內(nèi),通過多次猜測,價格所在區(qū)間會越來越小,所以猜中答案的快慢就取決于我們縮短價格所在區(qū)間的快慢,這就是這個游戲的數(shù)學(xué)本質(zhì).其實二分法的思路正是學(xué)生在尋找高效猜出商品價格的辦法過程中得到的.

經(jīng)過多次游戲,學(xué)生會發(fā)現(xiàn),“猜中點”效率最高,有了“猜中點”的經(jīng)驗,在解決函數(shù)零點問題時,二分法取中值也就水到渠成了.在這里,學(xué)生能夠在游戲情境中積極參與其中,并能在高低的反饋中順利完成游戲,其實就可以達到數(shù)據(jù)分析水平一的要求.如果在游戲中能發(fā)現(xiàn)“猜中點”的規(guī)律,就可以達到數(shù)據(jù)分析水平二的要求.

(2)從數(shù)學(xué)抽象角度來看,“猜測價格”和“實際價格”這兩個量的大小關(guān)系一直左右著游戲的走向,從“高”“低”的變化中蘊含著這兩個量之間的不等關(guān)系(需要繼續(xù)猜)和等量關(guān)系(游戲結(jié)束).學(xué)生能夠從這個角度刻畫兩個量的數(shù)學(xué)關(guān)系,即可認(rèn)為學(xué)生能夠在熟悉的情境中直接抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則,能夠模仿學(xué)過的數(shù)學(xué)方法去解釋和解決簡單問題,即達到數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平一的要求;把這兩個量的等量關(guān)系列出來那就是:“猜測價格”=“實際價格”,再賦予參數(shù)就可得到方程:x=P.那么這個“猜價格”游戲其實就是變?yōu)椤安路匠痰母钡挠螒蚶?至此學(xué)生也就具備了方程的思想,按照“能夠提煉出解決一類問題的數(shù)學(xué)方法,理解其中的數(shù)學(xué)思想”,學(xué)生即可達到數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平二的要求.

(3)從數(shù)學(xué)建模角度來看,前述思考中其實已經(jīng)建立了方程與不等式的模型,但是這兩個模型使用起來并不方便,因此我們還可以進一步考慮用其他數(shù)學(xué)模型來刻畫這個問題.由于學(xué)生剛剛學(xué)過“方程f(x)=0 有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y=f(x)有零點”這個知識,所以方程的根的問題就轉(zhuǎn)化成了函數(shù)零點的問題,與前述方程x=P相應(yīng)的函數(shù)f(x)=x－P便進入我們的視野.方程問題,函數(shù)解決,這就是函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想.在這里學(xué)生能想到用函數(shù)工具去解釋和解決這個實際問題,可以認(rèn)為學(xué)生能夠了解建模的意義,體會蘊含的數(shù)學(xué)思想,感悟數(shù)學(xué)表達對數(shù)學(xué)建模的重要性,即可認(rèn)為達到數(shù)學(xué)建模水平一的要求.下面我們要做的就是引導(dǎo)學(xué)生去思考如何快速高效地搜索出它的零點的問題.通過思考解決函數(shù)零點的問題,最后再回到游戲中去解釋游戲的過程和技巧,學(xué)生更加能體會數(shù)學(xué)在生活中的強大作用.在這里學(xué)生能夠選擇合適的數(shù)學(xué)模型表達所要解決的數(shù)學(xué)問題,能夠根據(jù)問題的實際意義檢驗結(jié)果,完善模型,解決問題,即可認(rèn)為達到數(shù)學(xué)建模水平二的要求.

2.2 以“問題串”呈現(xiàn)情境

首先介紹游戲規(guī)則,并積極邀請學(xué)生參與活動,讓學(xué)生在旁邊記錄猜測過程,并把其中一組猜測過程呈現(xiàn)到黑板上.

(1)問題串1

問1.1:剛才的“比賽”真的是精彩紛呈啊!下面我們就慢下來仔細思考一下:“猜價格”游戲有沒有技巧可言?(問題設(shè)計意圖:把學(xué)生的興趣點從游戲引向其數(shù)學(xué)本質(zhì))

問1.2:我們把黑板上同學(xué)猜測的過程回顧一下,該同學(xué)每次猜測有沒有收獲?收獲是什么?(問題設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注區(qū)間變化)

問1.3:我們關(guān)注一下正確答案所在區(qū)間(在黑板上寫出這些區(qū)間來),觀察這些區(qū)間,大家有什么發(fā)現(xiàn)嗎?(問題設(shè)計意圖:區(qū)間長度越短意味著越接近正確答案;區(qū)間都有子集關(guān)系,而且是大區(qū)間套小區(qū)間,正確答案所在區(qū)間長度逐層遞減)

問1.4:對于縮減價格所在區(qū)間,怎么做效率更高一點?(問題設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生通過“猜中點”高效穩(wěn)定地接近正確答案)

通過問題串1,把學(xué)生的思路從游戲引至數(shù)學(xué)本質(zhì)的分析,即對價格所在區(qū)間不斷縮小直至猜到價格為止,而縮小的方式就是猜中點(或靠近中點).問題串的設(shè)置給不同數(shù)據(jù)分析水平同學(xué)提供了展示和提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的機會.

(2)問題串2

問2.1:我們的游戲叫“猜價格”,按照游戲規(guī)則:猜中價格就算贏,“猜中價格”這四個字中有沒有蘊含的數(shù)學(xué)關(guān)系式呢?(問題設(shè)計意圖:引導(dǎo)出現(xiàn)等量關(guān)系:“猜測價格”=“實際價格”)

問2.2:游戲中有沒有其他數(shù)學(xué)關(guān)系呢?(問題設(shè)計意圖:猜不中即有不等關(guān)系:“猜測價格”/=“實際價格”)

問2.3:上述關(guān)系式能否化為數(shù)學(xué)表達式?(問題設(shè)計意圖:“猜測價格”是變量,“實際價格”是常量,我們對其賦予參數(shù),設(shè)猜測價格為變量x,實際價格為定值P,那么這個等量關(guān)系就變?yōu)?方程x=P和不等式x/=P).

問2.4:所以我們的游戲從數(shù)學(xué)的本質(zhì)來看其實就是猜什么?(問題設(shè)計意圖:引導(dǎo)問題的方程本質(zhì))

通過問題串2,逐漸幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)抽象的能力,讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,會用數(shù)學(xué)思維思考世界,會用數(shù)學(xué)語言表達世界,逐漸形成理性思維和科學(xué)精神.

(3)問題串3

問3.1:前述方程和不等式的模型刻畫“猜測價格”與“實際價格”的關(guān)系不免麻煩,有沒有更好的模型來把兩種關(guān)系統(tǒng)一起來?(問題設(shè)計意圖:引導(dǎo)函數(shù)模型f(x)=x－P)

問3.2:游戲中“猜測價格”與“實際價格”的關(guān)系對應(yīng)于函數(shù)的什么關(guān)系式?(問題設(shè)計意圖:把“猜價格”游戲轉(zhuǎn)化成“猜函數(shù)零點”的問題)

問3.3:縮小零點所在區(qū)間的依據(jù)是什么?(問題設(shè)計意圖:引導(dǎo)思路到零點存在性定理)

通過問題串3,逐漸引導(dǎo)學(xué)生建立函數(shù)模型去刻畫問題,并用函數(shù)的眼光去解決問題,對于函數(shù)我們研究的手段就比較多樣化,可以看到游戲中看不到的一些規(guī)律.由此也把課堂引進利用二分法尋找函數(shù)零點(或其近似值)問題,引入情境任務(wù)結(jié)束.

3 問題情境創(chuàng)設(shè)的幾點反思

3.1 關(guān)注后續(xù)知識跟進

“用二分法求方程的近似解”是必修一的內(nèi)容,在后續(xù)數(shù)學(xué)課程中,我們還有機會對這一知識點進行更深入的學(xué)習(xí)和研究,在必修三學(xué)習(xí)了算法后,“二分法”可以用程序框圖表示,進而編程用計算機實現(xiàn)求出近似解;在選修2-2 學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)后,還可以引入牛頓切線法去求解函數(shù)零點的近似值.這些內(nèi)容既是對知識,也是對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的延展和升華,我們一定要把握好后續(xù)教學(xué)的延續(xù)性.

值得一提的是,“問1.3”中的區(qū)間套形式是高等數(shù)學(xué)中閉區(qū)間套定理的初次露面,建議給學(xué)生打好伏筆,至于證明,留待學(xué)生到大學(xué)里繼續(xù)研究.

3.2 關(guān)注情境的立德樹人作用

情境中有多次機會能夠培養(yǎng)學(xué)生的價值觀念和必備品格,例如,“問1.2”每次猜測后答案所在區(qū)間就會一步步縮小.可以借機引導(dǎo)學(xué)生以發(fā)展的眼光看問題,不能只看到“沒猜對”,其實接近答案就是一種勝利,要有足夠耐心找到最終答案;“問1.4”猜中點的方式可以用《莊子·天下篇》中“一尺之捶,日取其半,萬世不竭”來引導(dǎo)啟發(fā),句中“取其半”就是一個很高效的辦法,通過借鑒古人的智慧,讓學(xué)生體驗中華文明的博大精深;通過問題串2 學(xué)生也能體會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)思維思考世界和用數(shù)學(xué)語言表達世界的重要性.

本次《標(biāo)準(zhǔn)》最核心的變化就是繼承與發(fā)展,將學(xué)生應(yīng)達成的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力明確化,對知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀三維目標(biāo)進行整合,凝練成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),由此將我黨的教育方針進一步具體化和細化.這些對我們一線教師來說非常具有指導(dǎo)意義和可操作性.如果說學(xué)科課程像一艘船,它承載著的就是學(xué)科核心素養(yǎng),那么教育部就是為我們完善健全理論指導(dǎo),做把握大方向的掌舵人,一線教師就是劃動這艘大船的水手,二者齊心核心素養(yǎng)才能平穩(wěn)順利地貫徹實施,最終達到目標(biāo).作為一線教師是起關(guān)鍵作用的一環(huán).因此,我們必須仔細研讀《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》,“騰籠換鳥”廓清理念,重新審視教材教法,以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的眼光去看待和制定每一個問題情境乃至教學(xué)案例.這既是課程改革賦予我們的神圣使命,也是我們提高教學(xué)效率的捷徑.