四川大學附屬中學(610061) 周祝光 羅文力

課堂教學設計要求教師從學科角度理清教科書內(nèi)容的脈絡及深淺,如內(nèi)容的主旨、結(jié)構,內(nèi)容的地位作用、產(chǎn)生背景,內(nèi)容的課程標準、深廣度等;從教育角度發(fā)掘教材中的教育因素,如發(fā)掘知識背后所隱含的思想方法、情感態(tài)度價值觀等,要做到這一點,沒有理解到學科的意義、價值是辦不到的.“理解學生,教在心靈”要求教師從學習動機、學習興趣、學習責任感、學習態(tài)度等方面,對學生進行學習心理分析;從顯性知識基礎、緘默知識基礎、學科能力基礎、歷屆學生問題等方面,進行綜合分析;從課堂時間、空間、物質(zhì)條件并結(jié)合上述分析,初步擬定探究問題中的學生活動方式,包括學生的身體活動、思維活動及其交往活動方式.理解教學要求教師對探究問題教學形態(tài)和實質(zhì)有深刻的理解,對促進學生深度體驗的教學策略應用嫻熟.理解技術要求教師對現(xiàn)代信息技術和傳統(tǒng)的教學技術選用意圖清晰.

1 理解數(shù)學是促進學生深度學習的前提

理解數(shù)學就是要“了解數(shù)學知識的背景,準確把握數(shù)學概念、定理、法則、公式等的邏輯意義,深刻領悟內(nèi)容所反映的思想方法,把握知識之間的多元聯(lián)系,能挖掘數(shù)學知識所蘊含的科學方法、理性精神和價值觀資源和技術,善于區(qū)分核心知識和非核心知識.”“我們要準確把握每塊知識產(chǎn)生的背景,在教材中的地位、前后的聯(lián)系、后續(xù)學習的必要性,其中蘊含的數(shù)學思想方法有哪些,這些數(shù)學思想方法在學習其他知識時是否可以利用、類比推廣等”.教師很好的理解數(shù)學是我們教好數(shù)學的前提,只有理解數(shù)學才有可能制定準確的教學目標,否則,就有可能制定出不切實際的教學目標,增加學生的學習負擔,打擊學生的學習興趣和積極性,當然效果也只能事倍功半.教師理解了數(shù)學,才能有效的促進學生體驗學科中和學科間的知識與知識、知識與思想方法、知識與現(xiàn)象和問題的關聯(lián),才能有效的促進學生個人與社會、個人與自然、個人與自身的關聯(lián).才能促進學生的學習往深度發(fā)展.

在自然界與人類的社會活動中會出現(xiàn)各種各樣的現(xiàn)象,既有確定性現(xiàn)象,又有隨機現(xiàn)象.隨機現(xiàn)象在日常生活中隨處可見,概率是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的學科,它為人們認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法.

教科書把概率放在統(tǒng)計之后,體現(xiàn)了先統(tǒng)計后概率的思想.現(xiàn)代社會是信息化的社會,人們常常需要收集數(shù)據(jù),根據(jù)所獲得的數(shù)據(jù)提取有價值的信息,做出合理的決策.統(tǒng)計是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學科,它可以為人們制定決策提供依據(jù).近年來,統(tǒng)計在實際中得到廣泛的應用,用數(shù)據(jù)、圖表等說明問題更有說服力、更直觀、更容易理解.概率為統(tǒng)計學的發(fā)展提供了理論基礎.

由于概率統(tǒng)計的應用性強,有利于培養(yǎng)學生的應用意識和動手能力,在數(shù)學課程中,加強概率統(tǒng)計的份量成為必然.“課標”設置了“統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容,目的就在于發(fā)展數(shù)學應用意識,使學生體會數(shù)學在實際中的應用價值,同時更全面地培養(yǎng)學生解決問題的能力.

2 理解學生是促進學生深度學習的基礎

學生是課堂中的主體,問題的設計一定要從學生的認知水平出發(fā),以學定“問”,充分考慮學生的已有經(jīng)驗、學習基礎、思維特點,立足于學生的“最近發(fā)展區(qū)”,用學生的眼光看數(shù)學,學生在理解的基礎上,由淺入深,由感性到理性地設計問題,才能真正引導和幫助學生思考問題、分析問題和解決問題,為此,教師可以從不同角度了解、研究、理解學生,關注他們的差異,可通過觀察、訪談、作業(yè)批改等方法來獲取信息,找準問題設計的起點和突破口.教學必須與學生的認知基礎相適應,“學生的認知基礎”的含義到底是什么?從認知心理學的觀點看,“認知基礎”主要是指已有的知識經(jīng)驗和反映知識經(jīng)驗組織質(zhì)量的認知結(jié)構.也就是說,除“知識點”外,還包括“知識點”的組織質(zhì)量,如理解的準確性、相關知識之間聯(lián)系的豐富性和聯(lián)系通道的順暢性等.

在統(tǒng)計一章中,學生已經(jīng)認識到要研究一些生活中實際問題,我們經(jīng)常采用收集數(shù)據(jù)的方法,根據(jù)對這個樣本的研究去估計總體的情況,而樣本中所有數(shù)據(jù)的頻數(shù)和樣本容量的比值,就是該組數(shù)據(jù)的頻率.從學生的認知規(guī)律考慮,統(tǒng)計在概率的前面,教材中增加了大量的統(tǒng)計案例,學生學習中的實踐動手機會大量增加,學生經(jīng)歷了提出問題、收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù),做出推斷與決策的全過程.學生具有這種思維模式和解決問題的方法.學生盡管知道一些簡單隨機事件的概率,但對于大量重復實驗時頻率可作為事件發(fā)生概率的估計值這一規(guī)律是模糊的、不清晰的,需要用手實踐,用眼觀察,用腦思考逐漸明晰.

3 理解教學是促進學生深度學習的關鍵

理解教學就是要理解“教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程.有效的數(shù)學教學活動是學生學與教師教的統(tǒng)一,學生是數(shù)學學習的主體,教師是數(shù)學學習的組織者、引導者與合作者.數(shù)學教學活動應激發(fā)學生興趣,調(diào)動學生積極性,引發(fā)學生的數(shù)學思考,鼓勵學生的創(chuàng)造性思維;要注重培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習習慣,掌握有效的數(shù)學學習方法.”學生獲得知識,可以通過接受學習,也可以通過自主探索等方式,但必須建立在自己思考的基礎上;學生應用知識并逐步形成技能,離不開自己的實踐;學生在獲得知識技能的過程中,只有親身參與教師精心設計的教學活動,才能在知識與技能、過程與方法和情感態(tài)度價值觀方面得到發(fā)展.教師的“引導”作用主要體現(xiàn)在:通過恰當?shù)膯栴},或者準確、清晰、富有啟發(fā)性的講授,引導學生積極思考、求知求真,激發(fā)學生的好奇心,教師基于學情的評價營造激勵氛圍,提升學習動力和認知動力;通過恰當?shù)臍w納和示范,使學生理解知識、掌握技能、積累經(jīng)驗,教師基于對學生解決問題環(huán)節(jié)中活動結(jié)果的評價生成新知識,活動過程的評價生成解決問題的新方法,基于對方法內(nèi)存聯(lián)系的分析評價生成學科思想方法;能關注學生的差異,用不同層次的問題或教學手段,引導每一個學生都能積極參與學習活動,都能全身心的 澤在學習活動中.在數(shù)學課中,教師的評價引導主要體現(xiàn)在認知操作任務進行前的方向性評價引導、認知操作任務中遇到困難時的啟發(fā)性評價引導和認知操作任務完成后的概括性評價引導.下面結(jié)合教學過程的實施談談教師對教學理解的深度決定了學生對數(shù)學概念、公式、方法、思想體驗的深度:

3.1 創(chuàng)設情境,提出問題

3.1.1 創(chuàng)設情境,體會隨機事件發(fā)生的不確定性

展示生活實例(1):“麥蒂的35 秒奇跡”.展示生活實例(2):杜麗北京奧運再奪金.展示生活實例(3):“石頭、剪刀、布”.從學生感興趣的生活實例引入,一方面是為了激發(fā)學生的聽課熱情,另一方面也是讓學生體會學習隨機事件及概率的原因和必要性.抓住生活實例中包含數(shù)學思維的部分進行提問,引導學生用數(shù)學的眼光觀察、認識我們生活的世界,對生活中的現(xiàn)象和感性認識進行理性思考.(1)為什么在那個時刻,所有人都緊張的注視著麥蒂和他投出的籃球?你能確定神奇的麥蒂在即將開始的NBA 比賽中的下一個三分球投進了嗎?(2)為什么射擊比賽中每一槍都如此扣人心弦呢?(3)“石頭、剪刀、布”的游戲方式,能夠預先確定甲和乙誰獲勝嗎?讓學生從生活體驗中歸納共性,其中包含了綜合、概括、比較等分析過程,這是形成概念的有效途徑.因此在這一階段通過創(chuàng)設情境喚起學生的興趣,使他們身處現(xiàn)實情境中,為后續(xù)的思維活動建立起感性認識基礎.

3.1.2 歸納共性,形成隨機事件的概念

有了前面的基礎,此時學生能夠有效的概括、抽取上述生活體驗的共性.在數(shù)學上研究事件時,主要關注在相應的條件下,事件是否發(fā)生,因此提出問題:從結(jié)果能夠預知的角度看,以上事件的共同點是什么?提問時明確思考的角度,讓學生的思維直指概念的本質(zhì),避免不必要的發(fā)散.以上這些事件都是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.那么在自己的身邊,還能找到此類的事件嗎?有沒有不屬于此類的事件呢?學生通過以上思考,發(fā)現(xiàn)事件可以分為以下三類:必然事件、不可能事件、隨機事件.這樣在形成概念之前,學生通過主動的思考,在自己身邊舉例,這樣鞏固了學生對隨機事件的思維基礎;通過對比,學生明確事件分類的標準和概念之間的差異.

3.1.3 深入情境,體驗隨機事件的規(guī)律性

教師引導性評價:我們看到,隨機事件在生活中是廣泛存在的,時刻影響著我們的生活.正因為體育比賽中充滿了隨機事件,而讓比賽更加刺激、精彩,讓觀眾更加緊張投入;因為每天的校園生活充滿了隨機事件,而讓我們走入校門的時候內(nèi)心涌動著好奇與興奮;因為人生道路上充滿了隨機事件,而讓我們每個人的人生各有各的不同,各有各的精彩.我們生活在一個充滿了隨機事件的世界當中.同時,我們身邊也有一些意外是隨機事件,那我們是不是因此而時刻都充滿著恐慌呢?實現(xiàn)自己的目標這也是個隨機事件,我們是不是就因此而放棄了今天的努力了呢?

這個環(huán)節(jié)的教學首先要表現(xiàn)隨機事件帶給人們豐富多彩的生活,體現(xiàn)教師對數(shù)學、對概率的喜愛和熱情,傳遞給學生學習數(shù)學的積極態(tài)度.其次,這個環(huán)節(jié)的教學既是對前面內(nèi)容的總結(jié),也引出了下面研究思考的方向,起到承上啟下的作用,同時也就揭示了人們認識隨機事件的過程,以及隨機事件隨機性和規(guī)律性之間的聯(lián)系.第三,要通過反問,使學生意識到,生活的不斷體驗已經(jīng)使我們積累了一些對隨機事件規(guī)律性的感性認識,那么接下來就是要挖掘出這些感性認識下面的理性依據(jù),以這種方式激發(fā)學生對生活經(jīng)驗的反思和探究,同時幫助學生形成正確的世界觀.

(1)提出問題,引發(fā)思考:①既然三分球的命中都有隨機性,為什么不是姚明來投最后這個三分球?②既然每個人參加奧運會獲得金牌都是隨機事件,為什么派杜麗來參加奧運會射擊比賽?③為什么石頭剪刀布對雙方是公平的?

(2)再次抽取共性,形成抽象概念:

師生從同學們的回答中,可以體驗到,事件發(fā)生的可能性有大小之分,是可以比較的,從而抽象出可以用數(shù)量表示事件發(fā)生的可能性的大小,這就是概率的意義.

(3)用概率的語言回答前面的問題.

3.1.4 從生活經(jīng)驗中體驗可以用(大量重復)試驗的方法來估計概率

基于初中的學習,有些學生具備了用試驗頻率來估計概率的經(jīng)驗.但對于“為什么可以這樣做”,缺乏思考,導致在分析問題、分析數(shù)據(jù)時會出現(xiàn)偏差.因此從學生熟悉的命中率入手,首先說明這種方法來源于生活經(jīng)驗,為接下來的探討做準備.

“麥蒂投出三分球命中”和“姚明投出三分球命中”都是隨機事件,并且都難以用理論推導得出準確的概率,那么生活中“麥蒂投三分球命中的概率高于姚明”的經(jīng)驗是如何得到的呢?其實是用三分球命中率來估計概率,那么三分球命中率是如何計算的呢?

本屆奧運會籃球賽場上,在中國戰(zhàn)勝安哥拉的比賽中,孫悅一共投了2 次三分球,并且都命中了,于是說估計他三分球命中的概率大致為100%是否科學?顯然是不科學的,因為概率大致為100%意味著孫悅投三分球基本上都是命中的,這顯然與實際情況不相符合.分析總結(jié)得到:可以用大量重復試驗的頻率來估計事件的概率.

提出核心問題:做投針試驗,分析針與平行線相交頻率與概率的關系.

3.2 解決問題

教師的評價引導方向:層層深入,形成概率的統(tǒng)計定義

計算事件的概率、估計事件的概率是數(shù)學中很重要的一個內(nèi)容,對此,有哪些具體方法呢?

該環(huán)節(jié)的教學分為3 個層次:

3.2.1 通過數(shù)學實驗,觀察各組頻率是否體現(xiàn)出規(guī)律性

這一數(shù)學實驗的結(jié)論不易直接推導,這說明了進行試驗的必要性,也更大的調(diào)動了學生參與的積極性.學生的親身體驗,更有利于概念的形成,以及對規(guī)律的認同.對于各組頻率統(tǒng)計表,學生也可以從中觀察出一定的規(guī)律,但是這一規(guī)律尚不能幫助我們估計事件發(fā)生的概率,或者說精度不夠.在此處實現(xiàn)學生在思考問題時的一個沖突,激發(fā)更細致的分析隨機事件規(guī)律性的主動性.

可以用大量重復試驗的頻率來估計投三分球命中的概率,那么這種方法是否具有普遍性?方法的理論依據(jù)是什么?下面進行數(shù)學實驗.

[數(shù)學實驗]在畫有等距平行線的紙上,隨機的拋擲一枚牙簽,研究牙簽與平行線有交點的概率.

實驗的準備:現(xiàn)在我們能從理論上推導這個概率嗎?有什么辦法來估計呢?在進行試驗的時候應該注意哪些方面呢?

實驗的要求:學生兩人一組,進行試驗,每組試驗20 次,注意試驗的條件要求:豎直隨機上拋,紙張無褶皺.

實驗結(jié)果的匯總與展示:各組匯報頻數(shù),輸入到電子表格中,同時自動計算出各組頻率并繪制出折線圖.

觀察得到的數(shù)據(jù)表格和折線圖,能夠觀察出什么規(guī)律,以幫助我們估計出事件發(fā)生的概率?

3.2.2 觀察累積數(shù)據(jù)的頻率表和折線圖,形成概率的統(tǒng)計定義

這一環(huán)節(jié)是本節(jié)內(nèi)容的難點,需要把對數(shù)據(jù)、圖表的直觀印象轉(zhuǎn)化為抽象的概率定義.之所以可以用大量重復試驗的頻率來估計概率,是因為在數(shù)、圖中累積數(shù)據(jù)的頻率體現(xiàn)出了一定的“穩(wěn)定性”,即規(guī)律性,使得我們能夠從圖表中大致判斷出事件概率的范圍、具體大小.這里首先從多組數(shù)據(jù)中抽取共性來形成概念,其次注重數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化,把圖形上的規(guī)律用數(shù)去描述,把數(shù)據(jù)上的規(guī)律用圖形去驗證.在教學過程中數(shù)表起到了與折線圖相同的作用.最后采取一些具體手段來幫助學生發(fā)掘、描述規(guī)律,如在折線圖中繪制一條水平的紅線,更為清晰的表現(xiàn)出頻率在常數(shù)附近擺動的規(guī)律.

對于將所有數(shù)據(jù)累加后計算頻率,來估計概率的方法,實際上就出現(xiàn)了累積數(shù)據(jù)的想法.對比前面對命中率的研究,其實累積數(shù)據(jù)就相當于大量重復同一試驗,與前面的分析具有一致性.

下面就利用電子表格的計算功能,計算出累積各組數(shù)據(jù)的頻率并繪制出折線圖,從數(shù)或形兩個角度觀察累積數(shù)據(jù)的頻率是否體現(xiàn)出規(guī)律性?

此圖表中體現(xiàn)出的規(guī)律性是否具有一般性?

3.2.3 計算機投幣模擬實驗

用幾何畫板模擬投硬幣實驗并統(tǒng)計數(shù)據(jù):

圖1

圖2

圖1:用條形統(tǒng)計圖描述頻率的變化情況.

圖2:由于實驗次數(shù)增加,頻率值也在不停的變化,根據(jù)點的變化描繪出變化的軌跡;

由以上兩個數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖分析頻率的變化情況和變化趨勢

介紹歷史上名家的投硬幣實驗:

再對比拋擲硬幣出現(xiàn)正面的折線圖

以上從數(shù)據(jù)和圖形兩方面印證了前面總結(jié)的規(guī)律性,形成概率的統(tǒng)計定義:在大量重復進行同一試驗時,事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù),在它附近擺動,這時就把這個常數(shù)叫做事件的概率,記作P(A).

這個是整個課程中最主要的環(huán)節(jié),在這個環(huán)節(jié)中,設計了三個實驗.第一個是自己動手實驗.“沒有實踐就沒有發(fā)言權”,學生能夠從自己的親身經(jīng)歷中理解試驗的隨機性和穩(wěn)定性的概率論思想.第二個是數(shù)學軟件模擬試驗,在這個試驗中,借助于幾何畫板,頻率的波動性和穩(wěn)定性能夠更直觀的表現(xiàn)出來.最后是列出歷史上的名家投硬幣試驗,進一步加深了學生對隨機試驗的不確定性和大量重復試驗下頻率的穩(wěn)定性的理解.三個試驗層層遞進,環(huán)環(huán)相扣,使得本節(jié)課的主要思想循序漸進地體現(xiàn)出來,有事實為基礎,“鐵證如山”,能讓學生體驗到大自然規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和論證過程,可以培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題—分析問題—解決問題的的探究能力.

3.3 反思提升

教師引導學生回顧探究過程

3.3.1 概率與頻率的關系

(1)隨著試驗次數(shù)的增加,頻率會越來越接近概率;(2)頻率本身是隨機的,在試驗前不能確定;(3)概率是一個確定的數(shù),是客觀存在的,與每次試驗無關;(4)概率是頻率的穩(wěn)定值,而頻率是概率的近似值.

3.3.2 概率與頻率的關系

思想方法:利用頻率(統(tǒng)計規(guī)律)估計概率.

3.4 應用反饋

運用概念,加深理解.通過對實例的歸納和辨析對新問題的特性形成陳述性的理解,繼而與原有的知識結(jié)構相互聯(lián)系,幫助學生體會隨機事件的隨機性和規(guī)律性是不矛盾的,是辨證統(tǒng)一的,即隨機事件在一次試驗中體現(xiàn)出隨機性,在大量重復試驗中體現(xiàn)出規(guī)律性.

問題1:雙色球問題

理論證明雙色球一等獎中獎概率約為1/177221088,是指買177221088 張彩票才能中一個一等獎嗎?

問題2:醫(yī)生和患者的故事

一個病人到醫(yī)院看病.醫(yī)生告訴他你這個病挺嚴重的,不過幸好你到我這里來了,我對這個病的治愈概率有9 成,而且之前有9 個病人都被我治好了.醫(yī)生還沒說完,這個病人撒腿就跑,邊跑邊說:“我不治了”!請你幫忙分析下這個病人誤解在什么地方嗎?

4 理解技術是促進學生深度學習的催化劑

縱所周知:技術是進行數(shù)學探究與發(fā)現(xiàn)的“催化劑”——技術的強大數(shù)值運算、代數(shù)推理、統(tǒng)計分析、動態(tài)幾何等功能,使我們能做到“一有想法就試試看”;技術大大擴展了教學中可作為研究事例的范圍——例如我們可以選擇那些現(xiàn)實發(fā)生、包含復雜數(shù)據(jù)的問題作為研究對象;技術可以代替手工進行冗長而復雜的計算——學生能將注意力集中在數(shù)學的概念方面,有更多的時間用于思考而不是“賣苦力”.數(shù)學教育技術不只是數(shù)學智能工具箱和豐富的課件庫,還包括在數(shù)學教學中使用技術的理論和策略.數(shù)學教師的數(shù)學教育技術能力表現(xiàn)在面對不同程度的學生,處理幾何、代數(shù)、統(tǒng)計概率等不同內(nèi)容,面對概念教學、命題教學、習題教學等不同課型時,能恰當借助計算機藝術機智地創(chuàng)設有效教學的能力.教師理解了技術,能夠催生學生個人身心與真實(虛擬)環(huán)境的直接作用,促進學生個人感覺與個人情感的深度融合,促進學生產(chǎn)生豐富的、強烈的、深刻的體驗.

《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》中有關重視技術運用的表述:“信息技術的發(fā)展對數(shù)學教育的價值、目標、內(nèi)容、以及教學方式產(chǎn)生了很大的影響,數(shù)學課程的設計與實施應根據(jù)實際情況合理地使用技術,要注意信息技術與課程內(nèi)容的整合,注意實效”.

計算機在數(shù)學教學中的使用會不會導致學生計算和推理能力的下降?數(shù)學的學科特點是抽象性,使用計算機呈現(xiàn)的更多是直觀的圖形,這樣是否會削弱學生的抽象思維?其實這涉及到技術的有效使用問題:什么時候用技術?用什么技術?怎樣用技術?如何處理直觀和抽象,如何處理實驗和邏輯,如何處理動手和動腦、人腦和電腦,這在教材、教參中沒有現(xiàn)成的答案,我們只能探索.

縱然數(shù)字化教學環(huán)境給數(shù)學教學提供了嶄新的舞臺,但是在舞臺、燈光、布景、音響效果全部都是現(xiàn)代化的前提下,決定戲劇演出效果最主要的依靠應該還是劇本的質(zhì)量、導演的水平、演員的表演.因此,決定教學質(zhì)量的關鍵還在于教師而不是技術.以信息技術與數(shù)學教學整合為焦點,追求“必要性”“平衡性”“廣泛性”“實踐性”“有效性”,服務于數(shù)學概念、原理的實質(zhì)理解,做紙筆所不能做的事,應成為我們一線教師面對技術來襲時的基本共識.