【摘要】如何改進教學(xué)質(zhì)量、提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，進而培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)與從事科學(xué)研究的創(chuàng)新性思維方式， 是高等院校教師面臨的與提高教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量同等重要的另一個挑戰(zhàn).文章以凹凸函數(shù)的教學(xué)方法為切入點，結(jié)合教學(xué)實踐，介紹了如何通過簡單的定義與性質(zhì)逐步得到出乎意料的深刻的數(shù)學(xué)定理與應(yīng)用結(jié)果.

【關(guān)鍵詞】凸函數(shù);切線;單調(diào)函數(shù);不等式

【基金項目】北京航空航天大學(xué)教改立項2018雙百工程B級課.

凹凸函數(shù)嚴格的數(shù)學(xué)定義看起來很抽象，如果在課堂上直接給出標(biāo)準的數(shù)學(xué)定義，會讓學(xué)生覺得這一定義是憑空產(chǎn)生的，不知道為什么要定義這樣的函數(shù).但是，學(xué)生通過觀察凹凸函數(shù)所對應(yīng)的圖形，就可以很直觀地感受到凹凸函數(shù)與函數(shù)作圖的緊密關(guān)系以及定義凹凸函數(shù)的必然性.

彎曲方向是圖形最獨特的性質(zhì)之一.知道一個圖形的彎曲特征對全面正確地得到函數(shù)的圖像與確定臨界點的位置具有同等重要性.圖形是如何彎曲的實際上就告訴了我們圖形的形狀.對于凹弧（向上彎曲），連接其上任意兩點的線段（弦）總是位于這兩點之間的弧的上方;而對于凸?。ㄏ蛳聫澢覄t位于這兩點之間的弧的下方.對于光滑的凹弧，它在任意點處的切線均位于整個凹弧的下方;對光滑的凸弧結(jié)論則正好相反.高等數(shù)學(xué)課程中就以此幾何描述引出函數(shù)圖形凹凸性的定義，并用來描繪（可導(dǎo)）函數(shù)的圖形，也利用函數(shù)的凹凸性證明一些簡單的不等式.數(shù)學(xué)分析課程則是從幾何描述引入凹凸函數(shù)的定義，并利用凹凸函數(shù)來證明一些不等式.在通常的教學(xué)過程中，受到學(xué)時的限制，一般只能講述凹凸函數(shù)的簡單性質(zhì)及其在函數(shù)作圖中的應(yīng)用，很少涉及比較深刻的函數(shù)性質(zhì)討論或在不同領(lǐng)域的漂亮應(yīng)用.本文通過分析凹凸函數(shù)的性質(zhì)給出一些應(yīng)用實例，并利用凹凸函數(shù)來證明若干重要的不等式.教師在具體的教學(xué)過程中可以根據(jù)具體情況，選取不同的例子來說明凹凸函數(shù)的一些本質(zhì).

四、總?結(jié)

本文從凹凸函數(shù)基本描述開始，引入凹凸函數(shù)嚴格的數(shù)學(xué)定義，并證明了凹凸函數(shù)的一些基本性質(zhì)，最后通過例題講述了凹凸函數(shù)在證明不等式中的各種巧妙應(yīng)用，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式和創(chuàng)新能力很有幫助.這些也是教師研究型教學(xué)所追求的目標(biāo)，需要任課教師從專業(yè)基礎(chǔ)、科研方向和教學(xué)方法等角度設(shè)計形式多樣的教學(xué)方案，使得學(xué)生通過具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)，不僅能夠掌握課堂所講述知識，還可以舉一反三、觸類旁通，迅速學(xué)會解決同類問題的思想和方法，從而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣及未來從事數(shù)學(xué)研究的能力.

【參考文獻】

[1]?吳紀桃，魏光美，李翠萍，柳重堪.高等數(shù)學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2014.

[2]?張筑生.數(shù)學(xué)分析[M].北京：北京大學(xué)出版社，2003.