涂建華 肖珺怡?姜廣峰

摘 要：微積分具有知識點多、概念抽象及邏輯性強等特點。帶著如何強化現(xiàn)代信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合，幫助學(xué)生高效梳理微積分知識點之間的聯(lián)系，從而構(gòu)建課程整體知識體系等問題，我們首先考慮了將知識圖譜這一智能高效的知識組織方式引入微積分教學(xué)中。知識圖譜借助圖論、統(tǒng)計學(xué)、計算機技術(shù)等手段，能以可視化的圖譜方式展示知識點之間的聯(lián)系以及知識體系整體框架。從知識圖譜的基礎(chǔ)理論出發(fā)，詳細(xì)分析了如何構(gòu)建基于本體的微積分知識圖譜，以及在教學(xué)中如何利用它來引導(dǎo)學(xué)生進行智能高效的學(xué)習(xí)，最后對知識圖譜在教學(xué)中的應(yīng)用做了展望。

關(guān)鍵詞：微積分;知識圖譜;人工智能;大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

一、前言

微積分是人類智慧的偉大成就之一，在分析和解決來自數(shù)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、管理科學(xué)等各領(lǐng)域問題中都有著巨大的作用。正因為如此，微積分已經(jīng)成為所有理工科大學(xué)生的必修課程，對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、分析與解決實際問題的能力至關(guān)重要。但另一方面，微積分知識點眾多，各知識點之間的聯(lián)系千絲萬縷，學(xué)生經(jīng)過一年的學(xué)習(xí)，雖然可以基本掌握各個知識點，但很難貫通知識點之間的聯(lián)系，把它們構(gòu)建成一個整體，形成完整的知識體系。

近年來，一流課程建設(shè)成為高等教育的熱點話題。課程作為高校人才培養(yǎng)體系中的最基本單元，是高校立德樹人的重要載體，是專業(yè)建設(shè)的核心要素[1]。教育部在《關(guān)于一流本科課程建設(shè)的實施意見》中指出，強化現(xiàn)代信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合，解決好教與學(xué)模式創(chuàng)新的問題。知識圖譜是一種智能、高效的知識組織方式，借助于圖論、統(tǒng)計學(xué)、現(xiàn)代信息技術(shù)等手段，以可視化的圖譜方式來展示某領(lǐng)域的核心結(jié)構(gòu)、發(fā)展歷史、各個節(jié)點之間的聯(lián)系以及整體框架。利用其強大的語義處理功能和快速分析能力，知識圖譜已經(jīng)成為可以快速、準(zhǔn)確地獲取信息資源的智能化搜索與組織工具，在金融、公安、電信、醫(yī)藥、農(nóng)業(yè)、政務(wù)等領(lǐng)域已得到了深入廣泛的應(yīng)用。但在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，知識圖譜的應(yīng)用還沒有得到足夠的重視和開發(fā)。鑒于此，本文主要探討如何將知識圖譜這一信息技術(shù)應(yīng)用到大學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，詳細(xì)分析了如何構(gòu)建基于本體的微積分知識圖譜，以及在教學(xué)中如何利用它來引導(dǎo)學(xué)生智能高效地建立知識體系。

二、微積分知識圖譜的構(gòu)建

1.知識圖譜概述

知識圖譜的概念由谷歌于2012年正式提出，其初衷是改善其搜索服務(wù)。在知識圖譜中，知識通過關(guān)系相互聯(lián)結(jié)，構(gòu)成網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu)[2-3]。知識圖譜中知識總是以SPO三元組（Triple）的形式出現(xiàn)：<主語（Subject），謂語（Predicate），賓語（Object）>。其中主語表示個體，可以是一個人、一個地點或者一個組織;賓語可以表示個體，也可以是數(shù)據(jù)類型的實例;謂語是一個屬性，可以連接兩個個體，也可以連接一個個體和一個數(shù)據(jù)類型的實例，用以表達主語和賓語之間的語義關(guān)系。知識圖譜用圖模型來描述知識和建模知識之間聯(lián)系。每條知識中的主語和賓語由節(jié)點來表示，謂語部分由有向邊表示，進而完成該領(lǐng)域知識圖譜的構(gòu)建。例如，我們可以從語句“微積分的研究對象是函數(shù)”中提取出三元組<微積分，研究對象，函數(shù)>，其中主語“微積分”和賓語“函數(shù)”均為個體，“研究對象”作為謂語連接兩個個體。再比如從其他材料中我們得知，函數(shù)這一概念的提出時間為17世紀(jì)，從中提取三元組<函數(shù)，提出時間，17世紀(jì)>，其中主語“函數(shù)”為個體，賓語“17世紀(jì)”為數(shù)據(jù)類型“年份”的實例，“提出時間”作為謂語連接一個個體和一個數(shù)據(jù)類型的實例。再利用知識圖譜對提取出來的三元組建模，將兩個三元組中主語和賓語的部分作為圖譜的節(jié)點，謂語部分作為有向邊，用來連接主語和賓語，如圖1所示。

從數(shù)據(jù)模型的角度來看，知識圖譜的本質(zhì)是一種圖數(shù)據(jù)庫，該數(shù)據(jù)庫的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)源于數(shù)學(xué)分支——圖論。在圖論中，圖是由二元組G=（V，E）表示，其中V是節(jié)點的集合，E是邊的集合，正對應(yīng)著知識圖譜中的節(jié)點和邊。正是依賴這種特殊的數(shù)據(jù)模型，知識圖譜擁有極強的關(guān)系表達能力，并且基于圖論相關(guān)知識和算法，可以快速準(zhǔn)確地完成知識的遍歷和知識體系的建立。

將知識圖譜技術(shù)與特定領(lǐng)域應(yīng)用相結(jié)合，知識圖譜的價值能得到更大的發(fā)揮。領(lǐng)域知識圖譜的實體屬性與數(shù)據(jù)模式需要根據(jù)領(lǐng)域的特點來進行構(gòu)建，同時需要考慮到特定的應(yīng)用場景和使用人員。思知（OwnThink）開源了史上最大規(guī)模（1.4億）中文知識圖譜，在其平臺上搜索“微分中值定理”，查詢結(jié)果如圖2所示。

從檢索結(jié)果可以看到，現(xiàn)有的知識圖譜項目中，對微分中值定理只有簡單描述，而沒有提到與其他知識點之間的聯(lián)系。據(jù)我們所知，目前尚沒有可以很好用于微積分教學(xué)的知識圖譜。我們將以知識點之間的邏輯關(guān)系為主要關(guān)注點來構(gòu)建微積分知識圖譜，同樣以“微分中值定理”為例，我們構(gòu)建的知識圖譜將幫助學(xué)生了解到：微分中值定理是羅爾中值定理的推廣，是柯西中值定理的特例，是0階的泰勒公式，還能用來研究函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性，在積分學(xué)中可以用來證明積分中值定理等。微積分知識圖譜主要服務(wù)于學(xué)習(xí)微積分的學(xué)生，切實幫助他們理解微積分的知識框架，理清邏輯脈絡(luò)。

2.微積分本體的構(gòu)建

知識圖譜在邏輯上可分為數(shù)據(jù)層與模式層兩個部分。其中，數(shù)據(jù)層由一系列具體數(shù)據(jù)信息構(gòu)成，知識將以具體事實為單位進行存儲;模式層構(gòu)建在數(shù)據(jù)層之上，是經(jīng)過提煉的知識，也是知識圖譜的核心。目前，基于本體工程的知識描述和表示是知識圖譜建模的主流方法，知識圖譜利用本體來管理模式層和規(guī)范數(shù)據(jù)層。本體是某一領(lǐng)域的概念模型，是通過鑒識相關(guān)概念，然后對其加以抽象而獲得的。利用本體，我們可以將領(lǐng)域中公認(rèn)的術(shù)語以及術(shù)語之間的關(guān)系用計算機可以理解的語言描述出來。微積分本體即是對該領(lǐng)域的知識以及知識之間關(guān)系的形式化表達。構(gòu)建一個完備的微積分本體庫可以為后續(xù)建立微積分知識圖譜奠定基礎(chǔ)，并保障其完整性和準(zhǔn)確性。

不同類型的本體存在不同的應(yīng)用目的，因此選擇合適的本體編輯工具和本體構(gòu)建方法是重要的準(zhǔn)備步驟。本文選擇利用斯坦福大學(xué)醫(yī)學(xué)院開發(fā)的Protégé軟件并結(jié)合“七步法”構(gòu)建微積分本體[4-6]。Protégé是基于Java語言的本體編輯和本體開發(fā)軟件，其設(shè)計操作簡單便捷且功能齊全，是國內(nèi)應(yīng)用較為廣泛的本體編輯器之一。本體的構(gòu)建方法依賴于本體的類型和應(yīng)用領(lǐng)域，每一個本體庫的構(gòu)建方法都有其獨特性。構(gòu)建本體的方法有許多，上述“七步法”的強可行性和適用性可滿足我們的構(gòu)建需求。下面將詳細(xì)說明建立微積分本體的操作步驟，并使用Protégé軟件進行實現(xiàn)。

（1）確定領(lǐng)域的本體。我們參考了同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《高等數(shù)學(xué)》（第七版）以及其他權(quán)威資料，并根據(jù)構(gòu)建微積分本體的目的和需求，確定了本體研究領(lǐng)域的范圍，定義了相關(guān)知識與術(shù)語。

（2）檢索可供利用的現(xiàn)有本體，即考查復(fù)用現(xiàn)有本體的可能性。但目前高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域還沒有比較成熟規(guī)范的本體庫可供直接使用，因此我們選擇手工構(gòu)建微積分本體庫。

（3）列舉領(lǐng)域的重要概念，并進行歸納和總結(jié)。依照課本和資料，從中抽取微積分的核心概念，并將知識進行嚴(yán)密的歸類和合并。例如，抽取出的“極限”“微元法”等均為研究微積分的方法，即可將這些概念歸結(jié)為“研究方法”。依照這一方法，我們最終總結(jié)出“研究主體”“概念”“研究方法”“研究對象”“應(yīng)用”“結(jié)論”“人物”“時期”八個知識集合。

（4）定義類以及類之間的層級關(guān)系。將上一步驟中總結(jié)出的知識集合，以“類”來定義，即“類”可被理解為包含若干個具有相同特征的知識集合，并從微積分本體的創(chuàng)建目標(biāo)出發(fā)，在保證邏輯性和實用性的前提下，選擇合適的層級關(guān)系。構(gòu)建類及其層級關(guān)系可采用兩種方式[7]：自頂向下與自下向上。由于微積分本體屬于較為成熟的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，知識體系具有較強的完備性，因此采用自頂向下的建模方法來構(gòu)建本體的邏輯關(guān)系，即首先構(gòu)建最頂層概念，再逐步向下細(xì)化。Protégé軟件中的默認(rèn)頂級類為“Thing”，它是所有類的父類，并選擇“subclass of”建立概念的父子類關(guān)系。將微積分的以上八個知識集合定義為“研究主體”類、“研究對象”類、“研究方法”類、“概念”類、“結(jié)論”類、“人物”類、“時期”類和“應(yīng)用”類，并定義“研究主體”類為頂級類的子類，剩余七個類均為“研究主體”類的子類并且為同級關(guān)系。再在每個類下建立子類，比如，在“應(yīng)用”類下建立三個子類：“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”“微分的應(yīng)用”“積分的應(yīng)用”;再在“積分的應(yīng)用”下創(chuàng)建第三層概念類“幾何”“物理”。表達為：“積分的應(yīng)用”隸屬于“應(yīng)用”這一概念類，同時包含了“幾何”和“物理”兩個子概念。

（5）定義類的屬性。屬性用來創(chuàng)建類之間的二元關(guān)系，即從某一類中的個體出發(fā)，連接到另一類中的個體。除了類之間存在的父子關(guān)系以外，微積分知識點之間還存在大量的邏輯關(guān)系。選擇Protégé軟件中“Object Properties”標(biāo)簽，根據(jù)微積分概念之間存在的關(guān)系，本文利用了7個對象屬性來刻畫類與類之間的內(nèi)在聯(lián)系，分別為：“基本概念”“主要結(jié)論”“研究工具”“研究”“發(fā)明者”“提出時間”和“應(yīng)用”。

（6）定義屬性的分面。即定義屬性約束。屬性值的集合稱為屬性類，屬性類也有屬性，這些屬性定義為屬性約束。屬性約束用于描述屬性值的類型范圍等方面。本文描述了對象屬性的定義域和值域，分別為作為屬性的陳述對象和支配對象。Protégé軟件中，分別用描述框中的“Domain（intersection）”和“Range（intersection）”來建立對象屬性的定義域和值域，如“發(fā)明者”的定義域為“研究主體”，值域為“人物”。

（7）添加個體，為每個個體進行數(shù)據(jù)屬性的構(gòu)建。Protégé軟件中個體的建立是在“Instances”標(biāo)簽中實現(xiàn)的。將個體創(chuàng)建完畢后，在“owl：Types”中編輯每個個體所屬的類，用于完成將個體填充到各個類的工作。依照微積分核心知識的特點，分別建立了“分類”“計算方法”“概念”“定義”“幾何意義”“性質(zhì)”和“本質(zhì)”7個數(shù)據(jù)屬性，并定義每個數(shù)據(jù)屬性的值域為“string”。例如：將個體“函數(shù)”添加到“研究對象”類中，再在個體編輯界面中，在描述框中選擇“Data property assertions”為個體“函數(shù)”分別編輯了“定義”“分類”“性質(zhì)”三個數(shù)據(jù)屬性。其中屬性“定義”的具體描述內(nèi)容為：定義域和值域;屬性“分類”的具體描述內(nèi)容為：分段函數(shù)、隱函數(shù)、初等函數(shù)、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù);屬性“性質(zhì)”的具體描述內(nèi)容為：有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性。將微積分的核心知識添加到對應(yīng)類中，并為每個個體編輯數(shù)據(jù)屬性，微積分本體的構(gòu)建最終完成。

3.微積分知識圖譜的存儲

我們將利用網(wǎng)絡(luò)知識庫Neo4j進行知識圖譜的存儲，這樣不僅可以滿足對微積分知識的存儲，同時依賴網(wǎng)絡(luò)還能夠達到優(yōu)質(zhì)教育資源共享的目的。Neo4j是主要基于Cypher語言的圖數(shù)據(jù)庫，它將數(shù)據(jù)以圖形方式存儲、處理、查詢和呈現(xiàn)。圖數(shù)據(jù)庫的每個節(jié)點都有指向鄰居節(jié)點的有向邊，使得可以在時間復(fù)雜度為O（1）的情況下遍歷到鄰居節(jié)點，且該數(shù)據(jù)庫將節(jié)點與節(jié)點之間的關(guān)系單獨存儲，更有利于提高圖遍歷的速度，從而提高搜索的速度。

微積分知識圖譜是以事實為單位進行存儲的，因此我們需要將上一步驟微積分本體庫中的知識整理為三元組結(jié)構(gòu)，再根據(jù)Cypher的語法規(guī)則對微積分知識圖譜進行編譯，進而完成微積分知識圖譜的存儲。我們可在編譯欄中利用Cypher查詢語句檢索“微積分”，查詢結(jié)果如圖3所示。

通過對“微積分”的搜索，可以快速查詢到微積分的基本概念、研究工具等知識，并且每條知識都具體呈現(xiàn)了與微積分的相關(guān)性和它們之間的邏輯關(guān)系。

4.實現(xiàn)web前端展示界面

微積分知識圖譜應(yīng)用系統(tǒng)，可實現(xiàn)基于微積分知識圖譜的可視化展示、智能搜索、知識問答等功能。在微積分知識圖譜界面的搜索窗口，學(xué)生可輸入關(guān)鍵詞進行知識的搜索，關(guān)鍵詞將生成查詢語句在Neo4j圖數(shù)據(jù)庫中查詢對應(yīng)的結(jié)果，最后將結(jié)果返回前端，學(xué)生就可以看到以所查詢知識點為中心的知識圖譜。

三、微積分知識圖譜在教學(xué)中的應(yīng)用

微積分知識圖譜以圖的形式存儲與展示知識點與知識點之間的關(guān)系，對提高微積分教學(xué)效果有重要意義。

（1）有利于知識點相關(guān)聯(lián)的“小知識框架”建立。根據(jù)學(xué)生輸入的知識點，將關(guān)聯(lián)的知識點按照圖譜的方式進行展示，方便學(xué)生按照關(guān)聯(lián)關(guān)系來學(xué)習(xí)。更重要的是，讓學(xué)生以更宏觀的角度來掌握知識點的來龍去脈。比如，檢索“定積分”，能查詢到它與不定積分、微分、幾何與物理應(yīng)用等的不同關(guān)系，這些關(guān)系將以圖譜的方式可視化展示。

（2）有利于課程知識體系的建立。學(xué)生借助于微積分知識圖譜，對重要知識點進行檢索查詢，并不斷地追本溯源，從而理清微積分的邏輯脈絡(luò)，建立課程整體的知識體系。同時，學(xué)生也容易整體把握微積分要解決的主要問題、核心概念、重要結(jié)論以及邏輯基礎(chǔ)。

（3）個性化學(xué)習(xí)路徑推薦。為進一步發(fā)揮知識圖譜的作用，還可以將知識圖譜與大數(shù)據(jù)技術(shù)、機器學(xué)習(xí)等相結(jié)合。知識圖譜可以針對個人構(gòu)建模型，利用大數(shù)據(jù)技術(shù)關(guān)注每一個學(xué)生的學(xué)習(xí)記錄，包括其在在線平臺觀看視頻的時長、每次在線測試的成績、提交作業(yè)的成績等。利用學(xué)生的以上數(shù)據(jù)，分析學(xué)生對各個知識點及相關(guān)內(nèi)容的掌握程度，進而給出個性化學(xué)習(xí)推薦。對不同學(xué)生，做出學(xué)情分析，推薦需要加強學(xué)習(xí)的資源和推送相關(guān)習(xí)題。

（4）輔助教師提升教學(xué)效果。教師可以借助微積分知識圖譜來優(yōu)化課程教學(xué)，以提升教學(xué)效果和效率。一是教師可以借助知識圖譜的幫助和啟發(fā)去設(shè)計教學(xué)思路，向?qū)W生展示知識點之間的邏輯關(guān)系，使學(xué)生理解一節(jié)課要解決的主要問題和要學(xué)習(xí)的重要知識點。二是教師可以讓學(xué)生通過知識圖譜去建立某章節(jié)的知識框架以及與下一章節(jié)的聯(lián)系，并帶著問題去預(yù)習(xí)下一章節(jié)。

四、總結(jié)與展望

微積分是一座宏偉的大廈，由基石、梁柱和磚木構(gòu)成。學(xué)生學(xué)習(xí)的過程往往看到的是一個個磚木，走廊，而沒法理解大廈的結(jié)構(gòu)，因此學(xué)習(xí)的動力不足，興趣不高。知識圖譜更能體現(xiàn)出知識的脈絡(luò)和邏輯，將知識點之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系以圖譜的方式可視化展示。本文中我們探討了如何將微積分的知識點以知識圖譜的形式有機串聯(lián)起來，講述了構(gòu)建微積分知識圖譜的具體步驟。在教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用微積分知識圖譜進行高效學(xué)習(xí)，使學(xué)生能理解微積分的整體框架，知道知識點的來龍去脈，用更宏觀的視角來理解和學(xué)習(xí)微積分。再者，通過將知識圖譜與大數(shù)據(jù)、機器學(xué)習(xí)等相結(jié)合，優(yōu)質(zhì)教育資源共享的目標(biāo)有望更好實現(xiàn)。利用網(wǎng)絡(luò)知識庫，知識圖譜可以幫助學(xué)生更高效地獲取知識，同時通過個性化學(xué)習(xí)推薦幫助學(xué)生進行針對性學(xué)習(xí)。

知識圖譜在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域還未得到廣泛的應(yīng)用，我們對微積分知識圖譜的構(gòu)建仍處于探索階段，后期還有非常多的工作要做，比如本體的進一步補充，對關(guān)聯(lián)關(guān)系的進一步改進，圖譜可視化的實現(xiàn)等。未來我們也將進一步研究如何將微積分知識圖譜與人工智能技術(shù)結(jié)合，使得教學(xué)中一些深層次問題得到解決。我們也希望我們的工作能對其他教師有所啟發(fā)。總之，教師對教育領(lǐng)域中新興方法的適應(yīng)、學(xué)習(xí)與應(yīng)用將有助于其更好地順應(yīng)時代的潮流和探索優(yōu)秀的教育模式，進而在教學(xué)工作中不斷創(chuàng)新突破。

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