鐵 軍 隋允康 彭細(xì)榮

?(天津財(cái)經(jīng)大學(xué)理工學(xué)院，天津 300222)

?(北京工業(yè)大學(xué)工程數(shù)值模擬中心，北京 100022)

??(湖南城市學(xué)院土木工程學(xué)院，湖南益陽(yáng) 413000)

引言

自1988 年Bendsoe 與Kikuchi[1]提出均勻化方法以來(lái)，連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化得到了快速發(fā)展，同時(shí)涌現(xiàn)出許多方法，包括變密度方法[2-3]、獨(dú)立連續(xù)映射(independent,continuous and mapping，ICM)方法[4-6]、ESO(evolutionary structural optimization)方法[7]、水平集方法[8-9]、拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)法[10-11]、相場(chǎng)法[12]、MMC(moving morphable components)方法[13-14]、CBS(closed B-splines)方法[15]、材料場(chǎng)序列展開(kāi)法[16]等.對(duì)各類方法的綜述可參閱Rozvany[17]及Sigmund[18]等的文獻(xiàn).

各種連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法基本上集中在建模途徑和求解效率上，而對(duì)于優(yōu)化模型是否合理以及模型之間的相互關(guān)系則缺乏注意.研究?jī)?yōu)化模型的合理性始于隋允康等將MCVC(minimum compliances with a volume constraint)模型同MVDC(minimum volume with displacement constraints)模型進(jìn)行比較[19-21]，說(shuō)明MCVC 模型約束條件值的選取和多工況時(shí)目標(biāo)函數(shù)的不合理性.

需要指出的是(1)“合理與否”是各個(gè)層次的“結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型”中的共同問(wèn)題，只是在結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中顯得更加突出.(2)“優(yōu)化模型的合理與否”不同于“結(jié)論的正確與否”.結(jié)論的正確與否證明即可，而優(yōu)化模型的合理與否需要花費(fèi)較多的篇幅闡述.

為了節(jié)省讀者查閱文獻(xiàn)[19-21]時(shí)間，這里給出“結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型合理與否”的詮釋.

在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的模型中，常常存在如下特點(diǎn)的問(wèn)題：(1)本來(lái)可以建立單目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)的問(wèn)題卻不適當(dāng)處理成多目標(biāo)最優(yōu)的問(wèn)題；(2)需要先驗(yàn)、無(wú)根據(jù)地預(yù)先給出一些約束值，從而導(dǎo)致最優(yōu)點(diǎn)不恰當(dāng)?shù)匾蕾囉诩s束值而變成為難以從最優(yōu)解集中確定出有限個(gè)解；(3)多層次的優(yōu)化問(wèn)題不能按同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)建立模型，以至于有些不同層次選取的目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)是不同的，甚至出現(xiàn)關(guān)注沒(méi)有工程意義的力學(xué)性能的情況；(4)本來(lái)應(yīng)該追求滿足工程規(guī)范或力學(xué)性能的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)最小，卻不必要的追求工程規(guī)范或力學(xué)性能的最佳而很難預(yù)先設(shè)定經(jīng)濟(jì)指標(biāo)約束限.

如果上述模型經(jīng)過(guò)對(duì)于目標(biāo)函數(shù)與約束條件的對(duì)調(diào)，其中的任何一個(gè)問(wèn)題都不再出現(xiàn)，那么，就可以把原來(lái)的問(wèn)題稱為一個(gè)“不合理的模型”，相應(yīng)地，調(diào)整后的問(wèn)題成為“合理的模型”.

在連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的背景下，作者團(tuán)隊(duì)進(jìn)一步研究模型合理化與否，同運(yùn)籌學(xué)中數(shù)學(xué)規(guī)劃論的對(duì)偶規(guī)劃[22-25]比對(duì)，從而提出了互逆規(guī)劃的概念[26].

互逆規(guī)劃的兩方具有目標(biāo)函數(shù)與約束條件相互交換位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系，它的意義在于：揭示了數(shù)學(xué)規(guī)劃領(lǐng)域里，除了存在對(duì)偶理論，還存在與之表面相似卻不同的互逆規(guī)劃理論，也就是說(shuō)，對(duì)于數(shù)學(xué)規(guī)劃補(bǔ)充了新的理論內(nèi)容；利用該理論審視結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的模型，揭示了不合理的模型是因?yàn)橄嚓P(guān)的研究者沒(méi)有采用互逆規(guī)劃的s 方(單目標(biāo)函數(shù))建模，而是采用了m 方(多目標(biāo)函數(shù))建模.研究表明，互逆規(guī)劃在結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究中具有明確的力學(xué)背景和廣泛的應(yīng)用價(jià)值.

基于文獻(xiàn)[26]提出的互逆規(guī)劃，本文發(fā)展了相關(guān)定義及理論，內(nèi)容如下：

(1) 把s-m 型互逆規(guī)劃拓寬出s-s 型互逆規(guī)劃和m-m 型互逆規(guī)劃，從而得到3 種類型的互逆規(guī)劃.

(2) 對(duì)于3 種互逆規(guī)劃分別推導(dǎo)出各自兩方面的KKT 條件關(guān)系，并且揭示了兩方關(guān)系的本質(zhì)，提出了3 個(gè)定理.

(3) 3 種互逆規(guī)劃的求解策略和具體解法.

(4)互逆規(guī)劃對(duì)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的應(yīng)用舉例.

1 將互逆規(guī)劃由1 種推廣為3 種

文獻(xiàn)[26]提出了s-m 型互逆規(guī)劃，由s 方和m 方兩個(gè)問(wèn)題數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題組成：(1)s 方——取單個(gè)目標(biāo)函數(shù)和多個(gè)約束條件；(2)m 方——取s 方的多個(gè)約束條件作為該方的目標(biāo)函數(shù)，取s 方的目標(biāo)函數(shù)作為該方的約束條件.

為了完善互逆規(guī)劃的理論，本文把單目標(biāo)和單約束構(gòu)成的一對(duì)互逆規(guī)劃定義為s-s 型互逆規(guī)劃，把多目標(biāo)和多約束構(gòu)成的一對(duì)互逆規(guī)劃定義為m-m 型互逆規(guī)劃.

從表達(dá)方便出發(fā)，將各種互逆規(guī)劃的兩方按表示的順序分別稱為正向問(wèn)題(forward problem,FP)、反向問(wèn)題(reverse problem,RP).若交換表示的順序，也就將一對(duì)互逆規(guī)劃的FP 問(wèn)題和RP 問(wèn)題換位，兩種表達(dá)的本質(zhì)是一樣的.

(1) s-s 型互逆規(guī)劃

這是FP 問(wèn)題和RP 問(wèn)題皆為單目標(biāo)函數(shù)的互逆規(guī)劃.也就是說(shuō)，其FP 問(wèn)題和RP 問(wèn)題都只有單個(gè)約束條件.

(2) m-s 型互逆規(guī)劃

這是FP 問(wèn)題和RP 問(wèn)題分別為多目標(biāo)函數(shù)和單目標(biāo)函數(shù)的互逆規(guī)劃.也就是說(shuō)，其FP 問(wèn)題和RP 問(wèn)題分別具有個(gè)單約束條件和多個(gè)約束條件.

FP 問(wèn)題和RP 問(wèn)題孰在前、孰在后，只是順序的不同，并不影響問(wèn)題的本質(zhì)，因而m-s 型互逆規(guī)劃同文獻(xiàn)[26]提出的s-m 型互逆規(guī)劃實(shí)際是同一個(gè)事物.

(3) m-m 型互逆規(guī)劃

這是FP 問(wèn)題和RP 問(wèn)題皆為多目標(biāo)函數(shù)的互逆規(guī)劃.也就是說(shuō)，其FP 問(wèn)題和RP 問(wèn)題也都具有多個(gè)約束條件.

以上提出的s-s 型互逆規(guī)劃和m-m 型互逆規(guī)劃，是對(duì)文獻(xiàn)[26]提出的互逆規(guī)劃的推廣.推廣之后的互逆規(guī)劃共分上述3 類.

2 互逆規(guī)劃基于KKT 條件的3 個(gè)定理

一對(duì)互逆規(guī)劃，由于雙方的約束條件不同，二者的可行域是不同的，一般說(shuō)來(lái)，不能保證兩個(gè)可行域有交集，更不可能期望這對(duì)互逆規(guī)劃的解相同.本文的研究得到兩個(gè)結(jié)論：其一、發(fā)掘出一對(duì)互逆規(guī)劃兩個(gè)KKT 條件內(nèi)在關(guān)連的3 個(gè)定理；其二、利用一對(duì)互逆規(guī)劃任一方的最優(yōu)解調(diào)整另一方的約束條件，可以求出擬相同的最優(yōu)解.

下面分別敘述s-s 型、s-m 型和m-m 型互逆規(guī)劃問(wèn)題的上述兩個(gè)結(jié)論.限于篇幅，本文只給出定理2 的證明，略掉了相對(duì)容易的定理1 與3 的證明.

2.1 s-s 型互逆規(guī)劃的兩方KKT 條件及其關(guān)系

定理1對(duì)于s-s 型互逆規(guī)劃的雙方，其一、兩個(gè)KKT 條件在形式上相像，稱為擬同構(gòu)；其二、部分調(diào)整參數(shù)后的互逆規(guī)劃雙方在數(shù)值上擬同解，即取一方的最優(yōu)解或KKT 點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，作為另一方面的約束限值，則該最優(yōu)解也滿足調(diào)整了上述參數(shù)后的另一方的KKT 條件.

2.2 s-m 型互逆規(guī)劃的兩方KKT 條件及其關(guān)系

對(duì)于s-m 型互逆規(guī)劃，也有同定理1 類似卻不同的定理，為了方便予以敘述和論證，首先定義多目標(biāo)規(guī)劃FP 問(wèn)題式(2a)和單目標(biāo)RP 問(wèn)題式(2b)的兩方Lagrange 函數(shù)如下

需要說(shuō)明一下：一般的多目標(biāo)權(quán)系數(shù)都有歸一化條件λ1+λ2+···+λL=1，λi∈(0,1)，為了推導(dǎo)的方便，忽略這個(gè)不影響求解的條件，因?yàn)橹灰獙⒚總€(gè)權(quán)系數(shù)除以權(quán)系數(shù)之和，即可滿足歸一化條件.

若函數(shù)Hi(x) (i=1,2,···,L)和G(x)是可微函數(shù)，且x?和依次是式(2a)的帕累托最優(yōu)解和式(2b)的最優(yōu)解，則可以給出s-m 型互逆規(guī)劃的如下定理.

定理2對(duì)于m-s 型或s-m 型互逆規(guī)劃的雙方,其一、兩個(gè)KKT 條件擬同構(gòu)；其二、兩種情況下互逆規(guī)劃雙方擬同解：情況1、先求解m 方，取其帕累托最優(yōu)解的多目標(biāo)函數(shù)值，作為s 方的多約束條件限值，然后求解調(diào)整上述參數(shù)后的s 方，則s 方與m 方擬同解；情況2、先求解s 方，取其最優(yōu)解的單目標(biāo)函數(shù)值，作為m 方的單約束條件限值，且取s 方的最優(yōu)的Lagrange 乘子向量值作為m 方的多目標(biāo)的權(quán)系數(shù)向量值(可以不滿足歸一化條件)，然后求解調(diào)整上述參數(shù)后的m 方，則m 方與s 方擬同解.

注：本定理中擬同構(gòu)和擬同解的概念與定理1 中的敘述相同.

證明：

記G(x?)=G?，同樣式(7)也可以擴(kuò)展為

下面證明定理2 的后半部分，具體可以分成兩種情況：

情況1：從式(2a)的解到式(2b)的解.

與式(8)同樣記式(2a)的最優(yōu)目標(biāo)值為Hi(x?)=(i=1,2,···,L)，用此來(lái)調(diào)整式(2b)的約束值，即取=(i=1,2,···,L).為了進(jìn)一步的證明，把式(8)與式(9)分別寫為

結(jié)論是：由式(2a)的解調(diào)整式(2b)的約束值之后，式(2a)的Pareto 最優(yōu)解是式(2b)的KKT 點(diǎn)，或稱為兩方擬同解.

情況2：從式(2b)的解到式(2a)的解.

在式(12)的求解中，其中第2，3 式不需要求解，因它們只表示Hi(x?)=(i=1,2,···,L).欲從式(12)的其余式子中求解，只需將(12)和(13)進(jìn)行比較，可看出x?與?x?是對(duì)應(yīng)的形式參數(shù)，由此解得=1，=x?.

結(jié)論是：由式(2b)的最優(yōu)解對(duì)式(2a)的兩個(gè)參數(shù)予以調(diào)整，其一是用(2b)的最優(yōu)化目標(biāo)代替(2a)的約束值，其二是用(2b)的最優(yōu)的Lagrange 乘子代替(2a)的目標(biāo)函數(shù)權(quán)系數(shù)的若干倍，此時(shí)的式(2b)單目標(biāo)最優(yōu)解是式(2a)的帶權(quán)重系數(shù)的多目標(biāo)規(guī)劃的KKT 點(diǎn)，稱為擬同解.

兩種情況可以概括為定理2 的后半部分，根據(jù)任一方的最優(yōu)解調(diào)整第二方的約束限并取為約束式，以及在第二方為多目標(biāo)時(shí)，用第一方的Lagrange 乘子代替多目標(biāo)的權(quán)系數(shù)的若干倍，此時(shí)兩個(gè)互逆規(guī)劃擬同解.

2.3 m-m 型互逆規(guī)劃的兩方KKT 條件及其關(guān)系

定理3對(duì)于m-m 型互逆規(guī)劃的雙方，表達(dá)Pareto 最優(yōu)解須滿足的KKT 條件，其一、雙方的KKT 條件是擬同構(gòu)；其二、部分調(diào)整參數(shù)后的互逆規(guī)劃與另一方是擬同解，即取任一方最優(yōu)點(diǎn)時(shí)多目標(biāo)函數(shù)值作為另一方的多約束限值，且取第一方最優(yōu)的Lagrange 乘子向量值作為第二方的多目標(biāo)函數(shù)權(quán)系數(shù)向量值(可以不滿足歸一化條件)，則按上述調(diào)整參數(shù)后的第二方與另一方擬同解.

注：本定理中擬同構(gòu)和擬同解的概念與定理1 中的敘述相同.

3 互逆規(guī)劃的應(yīng)用和求解

3.1 互逆規(guī)劃的應(yīng)用

(1)鑒別結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型的合理與否

文獻(xiàn)[26]應(yīng)用互逆規(guī)劃揭示了結(jié)構(gòu)優(yōu)化中存在有不合理模型，例如：結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)體積約束下多工況柔順度最小問(wèn)題，屬于不合理的多目標(biāo)模型，依照本文發(fā)展的互逆規(guī)劃理論予以剖析，是m-s 型問(wèn)題的FP(正向問(wèn)題)方.

(2)使不合理的結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型合理化

盡管上述m-s 型問(wèn)題的FP 方屬于不合理的多目標(biāo)模型，但是基于互逆規(guī)劃，取其RP(反向問(wèn)題)方可以得到單目標(biāo)模型，是合理的模型.于是，本來(lái)在FP 問(wèn)題必須面對(duì)的多目標(biāo)函數(shù)和體積約束限難以選取的兩個(gè)致命困難，在RP 問(wèn)題中就不復(fù)存在了.

單工況下，若目標(biāo)函數(shù)取柔順度最小，鑒于其結(jié)構(gòu)體積約束值很難預(yù)先確定，也屬于不合理問(wèn)題.按照本文拓寬出的s-s 類模型互逆規(guī)劃去理解和處理，取其對(duì)應(yīng)的另一方，就可以得到合理的模型了.

(3)利用互逆規(guī)劃的一方求解另一方

本文完善的互逆規(guī)劃理論不僅對(duì)于建立模型的合理化有裨益，而且采用3 個(gè)定理，對(duì)于已經(jīng)建立起的模型，可以提供有效的解法.這就是后續(xù)即將敘述的互逆規(guī)劃的求解策略和具體解法.

(4)借鑒互逆規(guī)劃理論求解多目標(biāo)規(guī)劃

多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的求解，在數(shù)學(xué)規(guī)劃中發(fā)展得比較緩慢，尤其尋求Pareto 最優(yōu)解集時(shí)，前提是要選定恰當(dāng)?shù)臋?quán)系數(shù)，這是較難操作的.本文提出了預(yù)選權(quán)系數(shù)的新途徑，即按涉及m-m 型問(wèn)題的定理3 予以處理，詳細(xì)做法將在3.3 小節(jié)敘述.

總之，文獻(xiàn)[26]揭示了存在互逆規(guī)劃的兩方，而本文則擴(kuò)充了互逆規(guī)劃的類型，并且揭示了互逆規(guī)劃雙方的內(nèi)在關(guān)連.前者有助于識(shí)別出不合理的狀態(tài)，并且將其轉(zhuǎn)化為合理的問(wèn)題，后者則依靠互逆規(guī)劃的雙方關(guān)連性補(bǔ)充了求解的方法.

3.2 互逆規(guī)劃的求解策略和具體做法

互逆規(guī)劃的求解策略有如下3 點(diǎn).

(1)優(yōu)化模型合理與否

首先從工程實(shí)際或物理問(wèn)題的自身背景角度，審視該問(wèn)題是否合理？如果是合理的，就進(jìn)入求解階段；如果屬于不合理的問(wèn)題，建議從互逆規(guī)劃出發(fā)，考慮其另一方，那可能就是一個(gè)合理的模型.

(2)合理的優(yōu)化模型

對(duì)于合理的規(guī)劃問(wèn)題，如果是單目標(biāo)函數(shù)，就按以往的有效算法；如果是多目標(biāo)函數(shù)，3.3 小節(jié)將予以闡述.

(3)不合理的優(yōu)化模型

對(duì)于必須求解的不合理規(guī)劃問(wèn)題，首先按互逆規(guī)劃理論建立其對(duì)應(yīng)的合理問(wèn)題，然后按合理的一方求解，從而確定不合理規(guī)劃一方難以確定的參數(shù)，最后就可以求解不合理規(guī)劃問(wèn)題了，3.4 小節(jié)將予以闡述.

求解互逆規(guī)劃的具體做法按如下3 種情況進(jìn)行.

(1)對(duì)于s-s 型互逆規(guī)劃

存在2 種情況：其一是，待求解的一方是合理的，直接求解即可；待求解的一方是不合理的，則先求解其互逆對(duì)應(yīng)的合理一方，然后借鑒定理1調(diào)整不合理一方的參數(shù)后，再予以求解.

(2)對(duì)于m-s 型或s-m 型互逆規(guī)劃

存在4 種情況：其一是，待求解的s 方是合理的，直接求解這個(gè)單目標(biāo)、多約束的問(wèn)題即可；其二是，待求解的s 方是不合理的、而m 方是合理的規(guī)劃，按3.3 小節(jié)介紹的凝聚函數(shù)方法處理目標(biāo)函數(shù)，先求解m 方，用其解調(diào)整s 方的參數(shù)，最后予以求解；其三是，待求解的m 方是合理的規(guī)劃，按凝聚函數(shù)方法處理目標(biāo)函數(shù)，然后求解；其四是，待求解的m 方是不合理的、而s 方是合理的規(guī)劃，先求解s 方，用其解調(diào)整m 方的參數(shù)，按帕累托模型求解m 方.

(3)對(duì)于m-m 型互逆規(guī)劃

存在2 種情況：其一是，待求解的一方是合理的，直接求解即可，其中多目標(biāo)按凝聚函數(shù)方法處理；其二是，待求解的一方是不合理的，則先按凝聚函數(shù)處理其互逆對(duì)應(yīng)的合理一方的目標(biāo)函數(shù)，接著求解，然后借鑒定理3，用合理方的結(jié)果調(diào)整不合理方的參數(shù)后，最后求解其帕累托模型.

3.3 多目標(biāo)問(wèn)題的兩種解法

定理2 與定理3 都涉及到多目標(biāo)規(guī)劃的求解問(wèn)題，本文建議如下兩種解法：

(1)基于minimax 策略的凝聚函數(shù)解法

對(duì)于一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，可以引用隋允康提出的統(tǒng)一的凝聚函數(shù)方法以及鐵軍、隋允康提出的拋物線凝聚函數(shù)方法[27-28]，通過(guò)適當(dāng)簡(jiǎn)化以便于數(shù)值計(jì)算的方法將多目標(biāo)化為一個(gè)凝聚的單目標(biāo)函數(shù).需要指出，統(tǒng)一的凝聚函數(shù)方法統(tǒng)一了模優(yōu)化(norm optimization)和K-S 函數(shù)，即

(a)統(tǒng)一的凝聚函數(shù)

(b)模優(yōu)化(norm optimization)

(c) K-S 函數(shù)

(d)拋物線凝聚函數(shù)

利用凝聚函數(shù)，多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題.凝聚函數(shù)Hagg(Hi(x),p)代替式(3a)的多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的原因在于：凝聚函數(shù)有一個(gè)珍貴的性質(zhì)，對(duì)于適當(dāng)選擇的拉伸因子P，隨著P的增大，凝聚函數(shù)趨于=maxHi(x) (i=1,2,···,L).由此式得

式(18)左邊表達(dá)了L個(gè)多目標(biāo)函數(shù)，右邊表達(dá)了1 個(gè)單目標(biāo)函數(shù).式(18)的本質(zhì)是：它表述了多目標(biāo)優(yōu)化的minimax 解法，而凝聚函數(shù)則是實(shí)施該解法的途徑之一.

將式(18)和凝聚函數(shù)代入式(3a)中，得到了用單目標(biāo)函數(shù)求解多目標(biāo)優(yōu)化式(3a)的如下問(wèn)題

特別需要指出的是，在采用式(14)～式(17)把多目標(biāo)處理為一個(gè)凝聚函數(shù)時(shí)，為了滿足被凝聚的每個(gè)函數(shù)都大于0 的條件，可以對(duì)于每一可能會(huì)小于0 的函數(shù)加上適合自己的充分大正數(shù).

往下的具體求解可以采用研究者青睞的各種行之有效的約束規(guī)劃算法，本文傾向于應(yīng)用DSQP(對(duì)偶序列二次規(guī)劃)算法[29]或DP-EM 方法[30-31].

(2)依據(jù)互逆規(guī)劃定理求解帕累托模型

一般地，多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題并不存在唯一的最優(yōu)解，故以往解決多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題通常多依賴于尋求解帕累托模型的過(guò)程.該解法的前提是，設(shè)取L個(gè)目標(biāo)函數(shù)的權(quán)系數(shù)，其本質(zhì)也是將多個(gè)目標(biāo)函數(shù)化為單個(gè)目標(biāo)函數(shù).眾所周知，權(quán)系數(shù)絕非是理性的預(yù)判，而是感性偏好的預(yù)設(shè)，最多也只能說(shuō)是以往經(jīng)驗(yàn)的積累.

順便闡述帕累托解法與minimax 解法的關(guān)系.由=maxHi(x)(i=1,2,···,L)得

進(jìn)而得

式(21)與式(18)比較，表明minimax 解與帕累托解的關(guān)系，類似于minimax 解與一般多目標(biāo)解的關(guān)系.二者的區(qū)別在于：前者落腳于右式的單目標(biāo)的選取方式，后者落腳于左式的多目標(biāo)的權(quán)系數(shù)的選取上.

利用帕累托解法求解一般多目標(biāo)問(wèn)題解的前提是恰當(dāng)?shù)剡x取權(quán)系數(shù)，為了提出解決這一關(guān)鍵問(wèn)題的新方法，前面在3.2 小節(jié)介紹具體做法時(shí)已經(jīng)提及，這里再詳細(xì)闡明其中的兩種途徑.

途徑1——利用定理2.

3.2 小節(jié)的具體做法(2)對(duì)應(yīng)于m-s 型或s-m 型互逆規(guī)劃，其中情況四是：待求解的m 方是不合理的模型，而它對(duì)應(yīng)的s 方是合理的模型.

此時(shí)先求解s 方問(wèn)題(2b)，根據(jù)定理2，用其解來(lái)調(diào)整m 方的參數(shù)：取問(wèn)題(2b)的Lagrange 乘子的最優(yōu)值作為式(2a)的多目標(biāo)權(quán)系數(shù)，取問(wèn)題(2b)的最優(yōu)目標(biāo)值作為式(2a)的約束限.此時(shí)作為m 方的式(2a)就可以按帕累托模型進(jìn)行求解.

途徑2——利用定理3.

3.2 小節(jié)的具體做法(3)對(duì)應(yīng)于m-m 型互逆規(guī)劃，其中情況二是：待求解的一方是不合理的模型，而它對(duì)應(yīng)的另一方是合理的模型，不妨假定它們依次為問(wèn)題(3a)和問(wèn)題(3b).

此時(shí)先著手合理方對(duì)應(yīng)的問(wèn)題(3b)，先按凝聚函數(shù)處理式(3b)目標(biāo)函數(shù)為單目標(biāo)函數(shù)，接著求解.接著根據(jù)定理3，用式(3b)的解來(lái)調(diào)整式(3a)的參數(shù)：取問(wèn)題(3b)的Lagrange 乘子的最優(yōu)值作為問(wèn)題(3a)的多目標(biāo)權(quán)系數(shù)，問(wèn)題(3b)的最優(yōu)的多目標(biāo)值取作問(wèn)題(3a)的多約束限.此時(shí)的式(3a)可按帕累托模型進(jìn)行求解.

上述兩個(gè)途徑的共性是：利用各自先求解的互逆規(guī)劃第一方的最優(yōu)Lagrange 乘子向量取作第二方的多目標(biāo)權(quán)系數(shù)向量，這是本文對(duì)于帕累托模型的貢獻(xiàn).兩個(gè)途徑的個(gè)性只是在于第一方模型不同而造成的第一方求解差異.

另外，處理后的每一個(gè)單目標(biāo)問(wèn)題均可以利用DSQP 算法求解.

3.4 利用互逆規(guī)劃理論求出不合理問(wèn)題的“合理結(jié)果”

文獻(xiàn)[26]從互逆規(guī)劃的角度，揭示了結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化里存在有不合理模型的情況，例如給定體積約束求柔順度最小化的MCVC 問(wèn)題，本文3.2 小節(jié)的求解策略和具體做法也提到不合理模型的情況，并且在具體做法里從3 種類型互逆規(guī)劃逐一進(jìn)行了討論.

本文作者一如既往的觀點(diǎn)是：盡量建立和求解合理的規(guī)劃；不過(guò)，也有不得不遭遇計(jì)算不合理模型的尷尬，例如：為了呼吁學(xué)者們拋棄不合理模型，采用合理的模型，就需要耐心地進(jìn)行數(shù)值比較，既要計(jì)算出合理的結(jié)果，也要計(jì)算出不合理的結(jié)果.

為此，本文進(jìn)行如下的工作：首先，在多工況條件下，取式(2a)代表給定體積約束的多個(gè)柔順度皆最小化的MCVC 問(wèn)題，取式(2b)代表多個(gè)柔順度約束的體積最小化MVCC 問(wèn)題.利用ICM 方法分別對(duì)于這個(gè)互逆規(guī)劃的雙方建立起優(yōu)化模型.

設(shè)單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧w積的過(guò)濾函數(shù)分別為fk(xi)=和fv(xi)=xi(i=1,2,···,N).

MCVC 模型

其中，x為設(shè)計(jì)變量向量，Cj，Kj，F(xiàn)j和Uj分別為第j號(hào)載荷工況的結(jié)構(gòu)柔順度、結(jié)構(gòu)剛度矩陣、總載荷向量和總位移向量，ki j和ui j分別為第j號(hào)載荷工況的單元位移列向量和單元?jiǎng)偠染仃嚕瑅i為單元i的體積，V為結(jié)構(gòu)總體積，為指定的體積上限約束.

MVCC模型

其中，Cj是結(jié)構(gòu)柔順度約束值.

式(22)相比式(23)，是不合理的.原因不僅在于多目標(biāo)上，更在于所給出作為結(jié)構(gòu)體積上限為指定的值，不具有理性的根據(jù).因此，本文作者多次呼吁以MVCC 問(wèn)題替代MCVC 問(wèn)題，而且文獻(xiàn)[26]給出了結(jié)構(gòu)柔順度約束值的物理意義和計(jì)算公式.

從學(xué)術(shù)角度考慮，應(yīng)當(dāng)與同行作者的MCVC 問(wèn)題結(jié)果進(jìn)行比較，導(dǎo)致本文作者不得不求解式(22)，從而探究不合理一方解法，進(jìn)而利用互逆規(guī)劃的定理2，計(jì)算出不合理問(wèn)題的“合理結(jié)果”.亦即給出如下的建議：

首先求出式(23)的解V?，然后取式(22)的=V?，且取式(23)最優(yōu)的Lagrange 乘子向量作為式(22)的多目標(biāo)權(quán)系數(shù)向量，加權(quán)求和使之成為單目標(biāo)問(wèn)題，當(dāng)然也可以采用凝聚函數(shù)將式(22)化為單目標(biāo)問(wèn)題.也就是說(shuō)，經(jīng)過(guò)這一番由式(23)的解調(diào)整式(22)的參數(shù)，最后才有可能求解計(jì)算出不合理問(wèn)題的“合理結(jié)果”.

上面探討了對(duì)于m-s 型(或s-m 型)互逆規(guī)劃，借助于定理2，從求解合理的s 方的途徑得到不合理的m 方的“合理解”的過(guò)程.類似地，對(duì)于m-m 型互逆規(guī)劃，借助于定理3，也可以從求解合理的m 方的途徑，調(diào)整不合理的m 方的參數(shù)，最后求出“合理解”.具體做法相似，此處不再贅述了.

4 數(shù)值算例

這里以兩個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題和兩個(gè)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，作為本文應(yīng)用的數(shù)值算例.

4.1 算例1:簡(jiǎn)單的s-s 型數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題

一對(duì)s-s 型互逆規(guī)劃如式(24)所示，其中式(20b)中〈RP 問(wèn)題〉中的約束值，有待根據(jù)定理1，由式(24a)即〈FP 問(wèn)題〉中的最優(yōu)目標(biāo)值確定.

得到KKT 條件

得到退化為鞍點(diǎn)條件形式的KKT 條件

圖1 G 與H 函數(shù)關(guān)系Fig.1 Relationship between G and H function

為了從直觀上把握互逆規(guī)劃，從3 個(gè)方面進(jìn)行如下討論.

(1) FP 問(wèn)題的幾何意義

先考慮更一般的情況

單約束問(wèn)題若不退化為無(wú)約束問(wèn)題，約束必定取等式.按KKT 條件敘述，即Lagrange 乘子必不為0，而為正數(shù).因此，式(29)是式(24a)的更一般情況.

目標(biāo)函數(shù)是由大圓向圓心下降的等值圓族，這個(gè)結(jié)論可以由式(29)的目標(biāo)函數(shù)負(fù)梯度的指向得出，也可以從點(diǎn)(3,0),(2.5,1.5)和(3,2)目標(biāo)函數(shù)值?9,?12.5 和?13 看到，它們分別是棕色圓、紫色圓和圓心的目標(biāo)值.

可行域是綠色直線斜下方區(qū)域.

最優(yōu)點(diǎn)是在紫色圓與綠色直線的相切點(diǎn)，最優(yōu)目標(biāo)值等于?12.5.想象在設(shè)計(jì)變量--目標(biāo)函數(shù)的里，目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成了一個(gè)倒置的旋轉(zhuǎn)面，旋轉(zhuǎn)面的錐點(diǎn)高度為?13，在高度為?12.5 處的旋轉(zhuǎn)面的水平截線圓上一點(diǎn)，有一直線過(guò)該點(diǎn)，而這個(gè)直線的投影與過(guò)(4,4)點(diǎn)，該直線就是可行域的邊線.

順便指出：式(29)的半無(wú)窮大可行域退化式(24a)等式表示的直線.

(2) RP 問(wèn)題的幾何意義

同上，先考慮比式(24b)更一般的情況

圖2 FP 問(wèn)題的幾何直觀Fig.2 Geometry of the FP program

目標(biāo)函數(shù)等值線是由與綠色直線平行的直線族組成，垂直于平行直線向左下方下降；可行域是包括紫色圓邊線的圓區(qū)域.

最優(yōu)點(diǎn)是在紫色圓與綠色直線的相切點(diǎn)，最優(yōu)目標(biāo)值等于4.

在設(shè)計(jì)變量--目標(biāo)函數(shù)的里，目標(biāo)函數(shù)等值線構(gòu)成了過(guò)(0，0，0),(4，0，4)和(0，4，4)三個(gè)點(diǎn)的無(wú)限大的平面.

圖3 RP 問(wèn)題的幾何直觀Fig.3 Geometry of the RP program

順便指出：式(29)的圓面積可行域退化式(24b)等式表示的圓周線可行域.

(3)參數(shù)變動(dòng)導(dǎo)致結(jié)果改變的幾何背景

當(dāng)H?=?12.5 時(shí)，求解式(24b)，可以得到如下結(jié)論:

該結(jié)論可如下推證.取R為圓心坐標(biāo)為(3,2)的圓的半徑，令

解得

于是，得到下面3 種情況：

4.2 算例2:簡(jiǎn)單的m-s 型數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題

為求解FP，構(gòu)造Lagrange 函數(shù)

得到KKT 條件

圖4 FP 問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)及可行域Fig.4 Objective function and feasible region of the FP program

因式(28)中僅一個(gè)約束，也可以按等式約束處理.為了求解FP，構(gòu)造Lagrange 函數(shù)

得到KKT 條件

為了方便比較結(jié)果，圖5 中畫了式(31b)中的兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)G1及G2最優(yōu)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的直線線，它們對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值分別為=?3 及=?3.還畫了[w1,w2]=[0.1,0.9]情況下最優(yōu)點(diǎn)(1.25,0.66)對(duì)應(yīng)的直線，其對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為G?=?3.036.它們的最優(yōu)點(diǎn)與式(28)的最優(yōu)點(diǎn)在圖5 上以2 個(gè)黑點(diǎn)表示.

圖5 RP 問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)及可行域Fig.5 Objective function and feasible region of the RP program

4.3 算例3:單工況MBB 梁?jiǎn)栴}拓?fù)鋬?yōu)化

材料彈性模量E=2.1×105MPa，泊松比為0.3.基結(jié)構(gòu)寬為300 mm、高50 mm，取一半結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，左、右下角分別為鉸支和滑動(dòng)鉸支約束，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖6 所示，采用150×50 網(wǎng)格.一個(gè)集中載荷200 N 載荷工況，作用于跨中頂點(diǎn)，為避免應(yīng)力集中，F(xiàn)=100 N 分散作用在相鄰的4 個(gè)結(jié)點(diǎn)上，右下角豎向約束也分散在2 個(gè)結(jié)點(diǎn)上.過(guò)濾半徑為3 mm，收斂精度取0.001.為了進(jìn)行結(jié)果的比較，涉及到MCVC 模型，懲罰因子取p=3,分別采用20%與60%的體積比約束值，進(jìn)行兩種情況的計(jì)算；涉及到MVCC 模型，采用許用應(yīng)力[σ]=125 MPa，對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)應(yīng)變能約束值為=10.012 N·mm[26].此例計(jì)算按如下3 步進(jìn)行.

圖6 MBB 梁?jiǎn)栴}取一半結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析及優(yōu)化的模型Fig.6 Half of structure for analysis and optimization of the MBB beam

其一，MCVC 模型計(jì)算.

分別采用20%和60%的體積比約束值，最優(yōu)拓?fù)鋱D如圖7 所示.體積比約束20%時(shí)，最大應(yīng)力148.71 MPa，最優(yōu)柔順度13.242 N·mm；體積比約束60%時(shí)，最大應(yīng)力77.60 MPa，最優(yōu)柔順度3.889 N·mm.

圖7 MCVC 模型得到的最優(yōu)拓?fù)銯ig.7 Optimized topology obtained by the MCVC model

可以看到MCVC 模型對(duì)不同的體積比約束值，不僅各自對(duì)應(yīng)的最大Mises 應(yīng)力不同，而且更重要的是二者最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型也不一樣.拓?fù)錁?gòu)型的不同與最大應(yīng)力的差別皆源于體積比約束值各異.究竟如何做，才能避免難以選取適當(dāng)體積比約束值的困擾？為此，進(jìn)行第二步計(jì)算.

其二，MVCC 模型計(jì)算.

以體積極小為目標(biāo)、全局應(yīng)變能約束計(jì)算所得最優(yōu)拓?fù)淙鐖D8(a)所示.對(duì)應(yīng)的Mises 應(yīng)力分布如圖8(b)所示.最優(yōu)體積比為23.88%.最大應(yīng)力為125.07 MPa，滿足應(yīng)力約束條件[26].為了便于第三步的數(shù)值比較，算出最優(yōu)點(diǎn)處結(jié)構(gòu)柔順度為=10.012 N·mm.

圖8 MVCC 模型得到的結(jié)果Fig.8 The results obtained by the MVCC model

其三，MCVC 模型再計(jì)算.

依據(jù)定理1，將MVCC 模型得到的最優(yōu)體積比23.88%，作為修正的MCVC _模型的體積約束，再計(jì)算得到最優(yōu)點(diǎn)結(jié)構(gòu)柔順度=10.121 N·mm，最優(yōu)拓?fù)渑cMises 應(yīng)力分布如圖9 所示，最大應(yīng)力為124.75 MPa.

圖9 體積比23.88%時(shí)MCVC 模型得到的結(jié)果Fig.9 The results obtained by the MCVC model with 23.88%volume ratio constraint

計(jì)算結(jié)果的拓?fù)錁?gòu)型、最大應(yīng)力和結(jié)構(gòu)柔順度，都接近MVCC 模型得到的結(jié)果.以上三步計(jì)算，從MVCC 模型—MVCC 模型—MCVC 模型，恰似一個(gè)否定之否定的過(guò)程.這個(gè)過(guò)程與依據(jù)“以往MCVC 模型”求解的不同，在于“新MCVC 模型”插入了上述的第二步.可見(jiàn)，依據(jù)MVCC 模型可以確定MCVC 模型一個(gè)恰當(dāng)?shù)捏w積比約束值.也就是說(shuō)，經(jīng)過(guò)定理1 的改造，不合理的模型求出了合理的結(jié)果.可見(jiàn)，這是本文對(duì)于MCVC 模型求解的一個(gè)貢獻(xiàn).

4.4 算例4:多工況正方形平板問(wèn)題拓?fù)鋬?yōu)化

材料彈性模量E=2.1×105MPa，泊松比為0.3.基結(jié)構(gòu)寬為100 mm、高50 mm，結(jié)構(gòu)左邊為固定約束，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖10 所示，采用100×50 網(wǎng)格.工況1 為一集中載荷F1=200 N 豎直向上作用于上邊中點(diǎn)，工況2 為一集中載荷F2=150 N 豎直向上作用于上邊右角，為避免應(yīng)力集中，F(xiàn)1分散作用在相鄰的4 個(gè)結(jié)點(diǎn)上，F(xiàn)2分散作用在相鄰的3 個(gè)結(jié)點(diǎn)上.過(guò)濾半徑為3 mm，收斂精度取0.001.為了進(jìn)行結(jié)果的比較，涉及到MCVC 模型，懲罰因子取p=3；涉及到MVCC 模型，采用許用應(yīng)力[σ]=125 MPa，對(duì)應(yīng)于兩個(gè)工況的結(jié)構(gòu)應(yīng)變能約束值為=3.841 4 N·mm 和=7.412 3 N·mm[26].此例計(jì)算按如下三步進(jìn)行.

圖10 正方形平板拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題模型Fig.10 Definition of the topology optimization problem of a square plate

其一，MCVC 模型計(jì)算.

MCVC 模型因工況不同產(chǎn)生的多目標(biāo)，其加權(quán)系數(shù)按載荷大小的比值4:3 計(jì)算，得到歸一化的權(quán)系數(shù)w1=0.571 4 和w2=0.428 6，分別計(jì)算20%和60%的體積比約束值兩種情況.體積比約束20%時(shí)，兩工況下最大應(yīng)力分別為=163.34 MPa 和=195.40 MPa，均不滿足應(yīng)力約束條件.最優(yōu)點(diǎn)處結(jié)構(gòu)柔順度為=5.902 6 N·mm 和=18.688 5 N·mm.體積比約束60%時(shí)，兩工況下最大應(yīng)力分別為=56.39 MPa 和=80.58 MPa，均比應(yīng)力約束值小很多，未能充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度性能.最優(yōu)點(diǎn)處結(jié)構(gòu)柔順度為=1.157 7 N·mm 和=3.297 4 N·mm.最優(yōu)拓?fù)淙鐖D11 所示.

圖11 MCVC 模型得到的最優(yōu)拓?fù)銯ig.11 Optimized topology obtained by the MCVC model

為了比較，再計(jì)算一種情況：保持60%的體積比約束，使兩工況的加權(quán)系數(shù)相同w1=0.5 及w2=0.5，計(jì)算得到兩工況下最大應(yīng)力為=58.60 MPa 和=80.58 MPa，同樣比應(yīng)力約束值小很多.最優(yōu)點(diǎn)處結(jié)構(gòu)柔順度為=1.206 0 N·mm和=3.264 1 N·mm.

可見(jiàn)，MCVC 模型對(duì)不同的體積比約束值，對(duì)應(yīng)與不同的工況的權(quán)系數(shù)，不僅各自對(duì)應(yīng)的最大Mises 應(yīng)力不同，而且最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型也不一樣.原因在于，體積比約束值和多目標(biāo)加權(quán)系數(shù)的預(yù)估，都沒(méi)有找到理性的取值方法.為此，導(dǎo)致下一步計(jì)算.

其二，MVCC 模型計(jì)算.

取結(jié)構(gòu)體積極小化為目標(biāo)、應(yīng)力約束對(duì)應(yīng)的全局應(yīng)變能上限為約束條件[26]，計(jì)算所得最優(yōu)拓?fù)淙鐖D12 所示.對(duì)應(yīng)的Mises 應(yīng)力分布如圖13 所示.最優(yōu)解的體積比為29.44%.兩工況下最優(yōu)點(diǎn)處結(jié)構(gòu)柔順度皆正好滿足各自的應(yīng)變能約束條件為=3.841 4 N·mm 和=7.412 3 N·mm；對(duì)應(yīng)的最大應(yīng)力為=125.00 MPa 和=125.00 MPa，恰好滿足應(yīng)力約束條件[26].此時(shí)兩工況約束對(duì)應(yīng)的Lagrange 乘子為=22.2135 和=67.318 4.

其三，MCVC 模型再計(jì)算.

依據(jù)定理2，確定再計(jì)算的MCVC 模型體積約束值和多目標(biāo)的權(quán)系數(shù)值：將MVCC 模型得到的最優(yōu)體積比29.44%，作為MCVC 模型的體積約束；依據(jù)上述得到的Lagrange 乘子進(jìn)行歸一化處理，得到多目標(biāo)的權(quán)系數(shù)w1=0.248 1 和w2=0.751 9.再進(jìn)行尋優(yōu)計(jì)算，得到兩工況下最大應(yīng)力為=120.65 MPa 和=125.12 MPa，基本滿足應(yīng)力約束條件.最優(yōu)點(diǎn)處結(jié)構(gòu)柔順度為=3.777 6 N·mm 和=7.381 0 N·mm，與MVCC 模型的約束值接近.最優(yōu)拓?fù)淙鐖D14 所示，與MVCC 模型得到的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型相同.對(duì)應(yīng)的Mises 應(yīng)力分布如圖15 所示.

圖12 MVCC 模型得到最優(yōu)拓?fù)銯ig.12 Optimized topology obtained by the MVCC model

圖13 MVCC 模型得到最優(yōu)拓?fù)涞腗ises 應(yīng)力分布Fig.13 Mises stress distribution of the optimized topology obtained by the MVCC model

圖14 MCVC 模型得到最優(yōu)拓?fù)銯ig.14 Optimized topology obtained by the MCVC model

圖15 MCVC 模型得到最優(yōu)拓?fù)涞腗ises 應(yīng)力分布Fig.15 Mises stress distribution of the optimized topology obtained by the MCVC model

圖15 MCVC 模型得到最優(yōu)拓?fù)涞腗ises 應(yīng)力分布(續(xù))Fig.15 Mises stress distribution of the optimized topology obtained by the MCVC model(continued)

特別應(yīng)當(dāng)提醒一下，根據(jù)載荷大小的比值得到的多目標(biāo)權(quán)系數(shù)為w1=0.571 4 和w2=0.428 6，而根據(jù)MVCC 模型最優(yōu)的Lagrange 乘子得到的權(quán)系數(shù)為w1=0.248 1 和w2=0.751 9.二者正好呈現(xiàn)相反的趨向，可見(jiàn)感性準(zhǔn)則有時(shí)并不可靠.

可以看到，對(duì)s-m 型問(wèn)題，經(jīng)過(guò)定理2 的改造，不合理的模型求出了合理的結(jié)果.

5 結(jié)語(yǔ)

本文完成的工作是：

(1)根據(jù)互逆規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)和約束條件各自單函數(shù)或多函數(shù)，相互進(jìn)行組合，從原有一種的互逆規(guī)劃出發(fā)，擴(kuò)展得到了使互逆規(guī)劃完備的3 種類型.

(2) 依據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)劃的KKT 條件理論，審視3 種類型的互逆規(guī)劃，對(duì)于每種互逆規(guī)劃，提出和證明了各自雙方關(guān)于擬同構(gòu)和擬同解的3 個(gè)定理.

(3) 提出了3 種互逆規(guī)劃的求解策略，闡述了具體的求解做法.其中的要點(diǎn)是按一方解調(diào)整另一方的相關(guān)參數(shù)后，互逆規(guī)劃雙方在擬同解中得到了借鑒.

(4) 對(duì)于多目標(biāo)規(guī)劃的帕累托模型，提出了求解的一個(gè)新方法：取互逆規(guī)劃第一方的最優(yōu)Lagrange 乘子向量，作為第二方的多目標(biāo)權(quán)系數(shù)向量，然后尋優(yōu).

(5)對(duì)于不合理的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，提出了得到“合理結(jié)果”的求解途徑，亦即：基于ICM 方法建模，借助MVCC 模型，迂回地求解了MCVC 模型.

(6)給出了兩個(gè)2 維數(shù)學(xué)問(wèn)題，圖示了互逆規(guī)劃雙方關(guān)系；用Matlab 編程，計(jì)算了多個(gè)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化個(gè)案；數(shù)值結(jié)果均支持了本文提出的互逆規(guī)劃理論.