李皓皓 張進 羅亞中

(國防科技大學空天科學學院,長沙 410073)

引言

近年來,航天器操控技術日新月異.面向空間大型柔性結構[1]、多體系統(tǒng)[2]以及大型空間結構在軌組裝[3]等技術層出不窮,導致各個航天大國對太空資產安全問題越來越重視.具有主動機動能力的空間非合作航天器對己方航天器的自主異常接近是對己方航天器安全的重大威脅.當追蹤航天器(簡稱為追蹤器)異常接近時,逃逸航天器(簡稱為逃逸器)需要通過機動進行規(guī)避,規(guī)避策略包括施加機動的時機、大小和方向,其優(yōu)劣直接影響逃逸器的生存能力.因此,規(guī)避策略的研究是逃逸器主動規(guī)避的核心問題.

航天器相對導航是空間近距離操作任務的基礎[4].逃逸器的規(guī)避策略同樣離不開對追蹤器狀態(tài)的估計.當追蹤器持續(xù)機動時,傳統(tǒng)的導航濾波算法收斂較慢甚至會發(fā)散,因此在追蹤器持續(xù)機動時需要研究新的導航濾波算法.機動目標跟蹤問題的核心是對目標的不確定性運動進行建模,主要思路是將目標的真實非隨機機動加速度近似為一種隨機過程[5].最簡單的目標機動模型是白噪聲加速度模型,也叫勻加速模型,它假設目標做勻加速運動,將目標加速度變化量建模為白噪聲.Singer[6]于1970 年提出了著名的Singer 模型,其本質是將機動加速度建模為零均值一階馬爾可夫過程,采用更符合實際的有色噪聲代替白噪聲描述機動加速度.我國周宏仁教授在Singer 模型的基礎上提出了當前統(tǒng)計模型[7],其本質是非零均值的一階馬爾可夫模型,用修正的瑞利分布描述機動加速度的當前概率密度.目前,當前統(tǒng)計模型在機動目標跟蹤領域顯示出了強大的生命力[8].本文基于當前統(tǒng)計模型發(fā)展機動目標濾波算法,應用于逃逸器對于追蹤器導航信息的獲取.

逃逸器的規(guī)避策略目前已有較多研究[9-10],主要的研究思路是假設初始時刻追蹤器的位置、速度等導航信息已知,通過設定終端脫靶量和碰撞概率等優(yōu)化指標,將機動規(guī)避問題轉化為優(yōu)化問題進行處理.Bombardelli 等[11]構建了機動點與預測碰撞點之間關于距離的函數(shù),求解脫靶量的最大值,以此為施加機動方向.此外,Wang 等[12]、鄭重等[13]通過相對距離、勢函數(shù)等方法研究了衛(wèi)星編隊飛行中的規(guī)避機動策略.上述文獻的研究對于逃逸器主動規(guī)避策略具有一定的參考價值,但其研究對象多是空間碎片或失效航天器等無機動能力的空間目標,規(guī)避策略也是考慮碰撞概率和相對距離等傳統(tǒng)規(guī)避指標.若逃逸器在逃逸過程中考慮追蹤器的機動策略,那規(guī)避逃逸問題將從單邊規(guī)劃問題變?yōu)樽诽硬┺碾p邊規(guī)劃問題[14].張秋華等[15]在時間固定的情況下,基于定量和定性方法研究了追逃雙方航天器的追逃策略以及追逃界柵.郝志偉等[16]采用半直接配點的數(shù)值方法求解追逃雙方最優(yōu)控制策略,避免了求解非線性兩點邊值問題.劉源等[17]采用協(xié)同進化算法研究了固定時間下的兩航天器三維空間追逃問題,思路是將最優(yōu)雙邊規(guī)劃問題簡化為對追逃過程中納什均衡點的搜索.于大騰等[18-19]研究了相對運動對系統(tǒng)可觀測性的影響,設計系統(tǒng)可觀測度,以此為優(yōu)化目標對最優(yōu)規(guī)避進行了求解.沈紅新等[20]考慮了航天器質量變化,將三維追逃問題拓展為28 維,采用間接打靶法求解了鞍點.李振瑜等[21]在近圓軌道、自由時間的情況下,提出了一種求解兩航天器追逃博弈鞍點解的降維方法.Dong 等[22]通過零效脫靶量估算剩余捕獲時間,解決了捕獲時間最優(yōu)化問題.此外,Shima 等[23-24]研究了考慮加速度估計延遲的導彈攔截微分對策制導律.上述文獻的研究簡化了相對動力學模型,并以信息透明為前提[25],即逃逸器已知追蹤器的相對位置、速度等控制輸入量,然而對于非合作航天器,這些信息是無法實時已知的,因此本文考慮實際工程情況,逃逸器通過測量和濾波獲得追蹤器的狀態(tài)信息,且狀態(tài)信息具有一定誤差.

追蹤器的追蹤策略(主要體現(xiàn)為追蹤制導率)同樣是追逃問題的關鍵因素,然而本文主要研究逃逸器的規(guī)避策略,因此采用經典的比例導引律(proportional navigation) 作為追蹤器的制導率.比例導引律具有簡單、高效而且易于工程實現(xiàn)的特點,廣泛應用于導彈攔截、空間交會問題[26-28].本文主要研究在追蹤器采用比例導引律接近逃逸器,追逃雙方信息不透明的情況下,逃逸器基于當前統(tǒng)計模型自適應濾波算法對追蹤器狀態(tài)進行濾波估計,同時最大化視線轉率以降低追蹤器制導率作用的航天器主動機動規(guī)避策略.

1 機動目標濾波算法

1.1 相對導航觀測模型

由于追逃雙方采用相同的機動目標濾波算法獲取相對狀態(tài),因此本文以逃逸器為例進行說明.以逃逸器質心為原點建立VVLH 相對導航坐標系Oc-xyz,其中Oc-x軸指向逃逸器V-bar 方向,Oc-y軸指向逃逸器?H-bar 方向,Oc-z軸指向逃逸器?R-bar 方向.相對導航測量量為相對距離和相對角位置.在VVLH 坐標系中對相對角位置進行定義,如圖1 所示,定義追蹤器相對于逃逸器的視線方向與導航坐標系中xy平面的夾角為俯仰角α ∈(?π/2,π/2),視線方向在xy平面的投影與x軸方向的夾角(從x軸開始沿逆時針方向度量)為方位角β ∈(?π,π).

在上述定義下,逃逸器對追蹤器進行觀測可得觀測方程為

其中,X為位置、速度和加速度等狀態(tài)變量,X=[x,y,z,vx,vy,vz,ax,ay,az]T,對應的觀測敏感性矩陣為

其中,觀測敏感性矩陣H的各分量表達式如下

1.2 基于當前統(tǒng)計模型的自適應濾波算法

逃逸器對追蹤器的跟蹤濾波是空間三維過程,為便于表達與論述,以x方向為例進行公式推導.考慮加速度均值非零的時間相關模型,x方向的動力學方程為

其中αx為根據(jù)經驗設定的機動頻率.令Xx(t)=[x(t)vx(t)ax(t)]T,根據(jù)式(3)建立濾波狀態(tài)方程如下

令Xx(k)=[x(k),vx(k),ax(k)]T,可得離散狀態(tài)方程為

令Nx(?t)=e[(k+1)?t?τ]AxBx,則Gx(τ) dτ,Wx(k) 為離散時間白噪聲序列,即E[Wx(k)(k+j)]=0(?j0).由噪聲Wx(k)可求得系統(tǒng)誤差協(xié)方差矩陣為

Qx(k)=[qij]3×3的具體表達式限于篇幅不再詳細給出.

根據(jù)當前統(tǒng)計模型的意義,將a(k) 在濾波流程中的一步預測值a(k+1|k) 看作在k?t時刻瞬時的當前加速度,即隨機機動加速度的均值,便可得到加速度的均值自適應算法,即設=ax(k+1|k).此時,將加速度的瞬時均值代入卡爾曼濾波公式Xx(k+1|k)=Φx(k+1,k)Xx(k|k)+Ux(k),便可對狀態(tài)轉移矩陣Φx(k+1,k)進行化簡,得到均值自適應的狀態(tài)轉移矩陣

此時,狀態(tài)轉移方程簡化為Xx(k+1|k)=Φx1(k+1,k)Xx(k|k).

考慮y與z方向時,公式推導是類似的,注意此時X(t)=[x,y,z,vx,vy,vz,ax,ay,az]T,F=[αx,αy,αz]T,G(t)=[ωx(t),ωy(t),ωz(t)]T,加速度均值ā 仍然為濾波流程中的一步預測值a(k+1|k).按照同樣的步驟進行積分即可.值得注意的是,此時系統(tǒng)誤差協(xié)方差矩陣Q(k)的推導為

Q(k)為9×9 的矩陣,具體表達式限于篇幅不再詳細給出.

2 主動機動規(guī)避策略設計

假設追蹤器采用比例導引律對逃逸器進行追蹤接近,比例導引律的原理在于抑制追蹤器相對于逃逸器的視線偏轉,使追蹤器一直對準逃逸器.逃逸器想要通過機動規(guī)避追蹤器的接近時,可以通過施加適當方向的加速度使視線偏轉率最大,限制追蹤器機動的作用,使脫靶量最大從而達到規(guī)避的效果.

2.1 追蹤器比例導引制導指令加速度

為便于描述視線偏轉和構造制導指令加速度,建立視線坐標系.以追蹤器質心為原點,X軸指向視線方向,Y軸在軌道面內垂直于X軸,Z軸與X,Y軸構成右手系.按照此定義,易知慣性系首先繞Y軸旋轉qβ角,再繞Z軸旋轉qε角,便可得到視線系.因此,視線系的xA,yA,zA三個坐標軸方向可表示為

三維比例導引律在視線坐標系內的指令加速度為[29]

2.2 逃逸器追蹤器視線角及視線角速率

在視線坐標系中,視線角qε和qθ以及視線角速率和可用以下公式計算[29]

其中,(x,y,z) 表示追蹤器相對于逃逸器的位置,(vx,vy,vz)表示追蹤器相對于逃逸器的速度.

2.3 主動規(guī)避控制加速度

追蹤器采用比例導引率對逃逸器進行追蹤接近,逃逸器采用測角加測距的測量方式,考慮空間中測角和測距的測量誤差,采用當前統(tǒng)計模型對追蹤器進行濾波分析,得到追蹤器在VVLH 坐標系中的位置()、速度() 等濾波信息,將其轉換到慣性系.假設逃逸器自身的位置()、速度() 已知.通過慣性系中的導航數(shù)據(jù),根據(jù)式(10)和式(11)計算追蹤器當前的指令加速度方向,以此為逃逸器當前的逃逸方向.則逃逸器的制導加速度為

其中,aNt為逃逸器的最大推力加速度,即逃逸器始終以最大加速度進行機動.

3 算例分析

3.1 問題配置

逃逸器的初始軌道根數(shù)如表1 所示,逃逸器采用光學相機和激光測距儀對追蹤器進行測量,可以獲得相對距離、俯仰角和方位角.當前統(tǒng)計模型中,x,y,z三個方向的機動頻率設為αx=αy=αz=0.001 Hz,濾波最大加速度設為1.8 m/s2.定義逃逸器的安全距離d=100 m,當追蹤器與逃逸器之間的距離|r|

表1 逃逸器軌道根數(shù)Table 1 The orbit elements of escaper

3.2 仿真分析

本文首先驗證提出的規(guī)避策略的有效性,然后從觀測設備(光學相機、激光測距儀) 的測量精度、工作頻率、逃逸器與追蹤器的初始狀態(tài)、逃逸器的機動能力等方面進行敏感性分析,以保證仿真的全面性和可靠性.

3.2.1 規(guī)避策略有效性驗證

設光學相機的角度測量誤差標準差為 εr=0.001 rad,激光測距儀的距離測量誤差標準差為εd=10 m.光學相機和激光測距儀的工作頻率設為f=1 Hz.在以逃逸器質心為原點的VVLH坐標系中,追蹤器相對于逃逸器的位置為rrel=[?21 000 m,0 m,12 000.0 m]T,速度為vrel=[23.0 m/s,0 m/s,?14.0 m/s]T.逃逸器的最大推力加速度為aNt=1.0 m/s2,追蹤器的最大推力加速度為aNc=1.05 m/s2.為有效分析提出的規(guī)避策略的有效性,設計以下4 組對比工況:(1)逃逸器不機動;(2)逃逸器按照固定方向機動(α=30?,β=180?);(3)逃逸器按照固定方向機動(α=?30?,β=180?); (4)逃逸器按照最大化視線偏轉率的主動規(guī)避策略進行機動.

仿真結果如圖2 所示,其中,橫軸表示仿真時間,縱軸表示追蹤器相對于逃逸器的距離(下同).

圖2 規(guī)避策略有效性驗證Fig.2 Validation of evasion strategies

由圖2 可知,逃逸器不機動時,追蹤器在193 s 成功接近逃逸器;逃逸器按照α=30?,β=180?的固定方向機動時,追蹤器在142 s 成功接近逃逸器;逃逸器按照α=?30?,β=180?的固定方向機動時,追蹤器無法接近到逃逸器的安全距離以內,在190 s 時,追蹤器與逃逸器視線方向的相對速度變?yōu)榇笥? 時,發(fā)生脫靶,此時追蹤器與逃逸器的相對距離為3 038 m;逃逸器按照機動規(guī)避策略進行機動時,追蹤器無法接近到逃逸器的安全距離以內,在287 s,追蹤器與逃逸器視線方向的相對速度變?yōu)榇笥? 時,發(fā)生脫靶,此時追蹤器與逃逸器的相對距離為11 142 m.綜上分析,最大化視線偏轉率的主動規(guī)避策略可以有效提高逃逸器的生存能力.

3.2.2 測量精度敏感性分析

分析光學相機和激光測距儀的測量精度對規(guī)避策略的影響.設計三組對比工況,角度測量誤差標準差εr和距離測量誤差標準差εd分別為(1)εd=1 m,εr=0.000 1 rad; (2) εd=10 m,εr=0.001 rad;(3) εd=100 m,εr=0.01 rad.其余參數(shù)設置與3.2.1相同.仿真結果如圖3 所示.

由圖3 可知,測量精度下降導致濾波精度下降,εd=100 m,εr=0.01 rad 對應的曲線不如其余兩種情況平滑,但是逃逸器規(guī)避機動的效果并無明顯區(qū)別,即說明規(guī)避策略對觀測設備的測量精度不敏感.

圖3 測量精度敏感性分析Fig.3 Measurement accuracy sensitivity analysis

3.2.3 工作頻率敏感性分析

分析光學相機和激光測距儀的工作頻率對規(guī)避策略的影響.設計3 組對比工況,工作頻率f分別取(1)f=1 Hz; (2)f=10 Hz; (3)f=0.1 Hz.其余參數(shù)設置與3.2.1 節(jié)相同.仿真結果如圖4 所示.

圖4 工作頻率敏感性分析Fig.4 Frequency sensitivity analysis

由圖4 可知,工作頻率降低同樣導致濾波精度下降,仿真后期f=0.1 Hz 對應的曲線與其余兩種工況有一定誤差,但是逃逸器規(guī)避機動的效果并無明顯區(qū)別,即說明規(guī)避策略對觀測設備的工作頻率不敏感.

3.2.4 初始狀態(tài)敏感性分析

分析追蹤器相對于逃逸器的初始狀態(tài)對規(guī)避策略的影響.設追蹤器的軌道低于逃逸器120 km,追蹤器位于逃逸器后方,相位相差??,其余軌道根數(shù)相同.設計四組對比工況,相位差?? 分別取(1) ??=0.1?,(2)??=0.2?,(3)??=0.3?,(4)??=0.4?,其余參數(shù)設置與3.2.1 節(jié)相同.仿真結果如圖5 所示.

圖5 初始狀態(tài)敏感性分析Fig.5 Sensitivity analysis of initial state

相位差?? 越大,意味著逃逸器越早收到預警信息開始機動.由圖5 可知,逃逸器收到預警信息越早,發(fā)生脫靶時,追蹤器相對于逃逸器的距離越遠,即逃逸器的安全性越高,規(guī)避效果越好.

3.2.5 逃逸器機動能力敏感性分析

分析逃逸器機動能力對規(guī)避策略的影響.設追蹤器的最大推力加速度為aNc=1.0 m/s2,逃逸器的最大推力加速度為aNt=kt×aNc,其余參數(shù)設置與3.2.1 節(jié)相同.針對不同的系數(shù)kt設計5 組對比工況,分別為(1)kt=10%,(2)kt=30%,(3)kt=50%,(4)kt=60%,(5)kt=80%.仿真結果如圖6 所示.

圖6 逃逸器機動能力敏感性分析Fig.6 Sensitivity analysis of escaper maneuverability

由圖6 可知,隨著kt變大,逃逸器機動能力逐漸增強,當kt=50%,逃逸器不能逃脫追蹤器的跟蹤,當kt=60%,逃逸器可有效規(guī)避追蹤器的異常接近.因此可取門限值kt=60%,即逃逸器的機動能力達到追蹤器的60%以上時,逃逸器的最大化視線偏轉率的規(guī)避策略有效.

設置不同的工況驗證60% 的門限值是否有效.針對??=0.1?,??=0.2?,??=0.3?,??=0.4?四種情況分別設計(1)kt=50%,(2)kt=60%兩組對比工況,仿真結果如圖7 所示.

圖7 不同初始狀態(tài)對kt 的影響Fig.7 The influence of different initial states on kt

由圖7 可知,針對不同的相位差??,逃逸器的機動能力達到追蹤器的60%時,逃逸器可有效規(guī)避追蹤器的異常接近,即60%的門限值有效.

針對追蹤器不同的機動能力aNc設計3 組對比工況,逃逸器機動能力為aNt=60% ×aNc,追蹤器機動能力取(1)aNc=0.5 m/s2,(2)aNc=1 m/s2,(3)aNc=2 m/s2.

仿真結果如圖8 所示.分析可知,針對追蹤器不同的機動能力aNc,逃逸器的機動能力達到追蹤器的60% 以上時,逃逸器可有效規(guī)避追蹤器的異常接近,即60%的門限值有效.

綜上分析,對于提出的最大化視線偏轉率的主動規(guī)避策略,可以設置門限值為60%,即逃逸器的機動能力達到追蹤器的60%以上時,規(guī)避策略有效.

4 結論

圖8 追蹤器機動能力對kt 的影響Fig.8 The influence of chaser’s maneuverability on kt

本文在航天器近距離追逃博弈的背景下,對逃逸器的主動規(guī)避策略進行了研究.建立了基于當前統(tǒng)計模型的機動目標濾波算法,基于比例導引律抑制視線偏轉率的基本原理,從最大化視線偏轉率的角度入手得到了逃逸器的規(guī)避加速度,降低了追蹤器比例導引制導率的有效性.通過仿真分析可得出以下結論:設追蹤器通過比例導引率異常接近逃逸器,安全距離為100 m,則逃逸器的機動能力達到追蹤器的60%以上時,逃逸器采用基于最大化視線偏轉率的規(guī)避策略進行機動可有效規(guī)避追蹤器的異常接近;規(guī)避策略對觀測設備的測量精度和工作頻率不敏感;逃逸器收到預警信息越早,規(guī)避效果越好.提出的規(guī)避策略意義明確、形式解析、易于工程實現(xiàn).