易浩然 周坤 代胡亮 王琳 倪樵

(華中科技大學(xué)力學(xué)系,武漢 430074)

引言

輸流管的振動行為是一種典型的流固耦合振動現(xiàn)象,同時作為一種典型的細長結(jié)構(gòu),它廣泛應(yīng)用于海洋工程、核工業(yè)、航空航天以及石油化工等工程領(lǐng)域.因此,輸流管動力學(xué)的研究具有重要的工程意義與學(xué)術(shù)價值[1-2].著名動力學(xué)專家Paidoussis 教授曾經(jīng)指出,輸流管振動仍是當(dāng)今動力學(xué)研究的重要課題之一,主要因為(1)輸流管振動能表現(xiàn)出有趣且復(fù)雜的非線性動力學(xué)行為;(2)可為現(xiàn)代動力學(xué)的發(fā)展提供重要的理論依據(jù)[1-2].

輸流管按照其邊界條件可分為兩端支撐管以及懸臂管.其中,懸臂管是一種非保守系統(tǒng),當(dāng)內(nèi)流流速達到一定值時,會發(fā)生顫振行為.其豐富的動力學(xué)行為吸引大量的學(xué)者對其進行研究.關(guān)于輸流管非線性振動控制方程大多是基于Hamilton 原理推導(dǎo)得到.比如1994 年,Selmer 等[3]基于Hamilton 方程所給出的輸流管二維非線性振動微分方程,是如今運用最廣泛的懸臂輸流管控制方程.2007 年,Wadham等[4]基于修正的Hamilton 原理將懸臂輸流管由二維的動力學(xué)方程擴展至三維構(gòu)型.

隨著對懸臂輸流管非線性動力學(xué)方程的不斷完善,又涌現(xiàn)出了一系列基于不同構(gòu)型懸臂輸流管系統(tǒng)的研究[5-24],以達到控制和利用懸臂輸流管非線性振動的目的.關(guān)于流固耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的建模與分析,主要有數(shù)值模擬和理論模型兩種研究方法[25-26].而在研究輸流管流固耦合問題時,大多采用理論模型來建立動力學(xué)控制方程.比如,2006 年,Yoon 和Son[5]針對含尖端質(zhì)量的旋轉(zhuǎn)柔性懸臂輸流管進行了研究,發(fā)現(xiàn)尖端質(zhì)量對穩(wěn)定性有重要影響.后來,Dai 等[6]提出了雙材料組合構(gòu)型的懸臂輸流管結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)材料的剛度比值對輸流管的顫振失穩(wěn)臨界流速有很大影響.最近,Zhou 等[7]提出了非線性能量匯(NES)的被動控制方法.研究發(fā)現(xiàn),NES 的質(zhì)量、阻尼、剛度和安裝位置對管道臨界流速和振動幅值有重要影響.此外,Liu 等[8]還研究了松動約束下的懸臂輸流管的非線性振動特性,發(fā)現(xiàn)約束間隙能導(dǎo)致輸流管發(fā)生混沌等復(fù)雜動力學(xué)行為.Ni 等[9]研究了懸臂輸流管與兩側(cè)支撐壁面相互作用的非線性動力學(xué)關(guān)系,使用三次彈簧來模擬沖擊力.Yan 等[10]研究了滑動輸流管道的非線性動力學(xué)特征,詳細討論了流速、滑動速率和質(zhì)量比、重力兩個關(guān)鍵參數(shù)對管道動態(tài)特性的影響.周期性輸流管道也成為學(xué)者們研究的熱點之一[11-12],周坤等[11]基于絕對節(jié)點坐標(biāo)法,推導(dǎo)出不同材料組成的周期性懸臂輸流管道在定常內(nèi)流作用下的非線性動力學(xué)方程,對鋁?鋼及鋼?鋁周期性懸臂輸流管道的穩(wěn)定性和非線性動力學(xué)行為進行了研究.值得一提的是,Najjar 等[13]最近研究了附加集中質(zhì)量和彈簧分別對懸臂輸流管失穩(wěn)特性的影響.他們主要研究了集中質(zhì)量條件下管道質(zhì)量比對失穩(wěn)臨界流速的影響規(guī)律,僅限于線性動力學(xué)的分析,且沒有開展實驗研究.王乙坤等[19]在懸臂輸流管的碰撞振動方面做了更深入的研究,基于非光滑理論建立了具有剛性間隙約束簡支輸流管的非線性碰撞振動模型.

在輸流管系統(tǒng)實驗研究方面,鄒光勝等[27]對兩端受扭轉(zhuǎn)彈簧約束的簡支輸流管在簡諧運動激勵下的振動特性問題進行了實驗研究,發(fā)現(xiàn)在某些頻率段上管道會發(fā)生多周期的復(fù)雜運動,并通過倍周期分岔而進入混沌運動.此外,高培鑫[28]用解析分析、數(shù)值計算與試驗測試相結(jié)合的方法,系統(tǒng)研究了航空液壓管路系統(tǒng)的振動特性、泵源脈動激勵和基礎(chǔ)激勵綜合作用下的管路系統(tǒng)動力學(xué)特性以及附加黏彈性約束層阻尼材料的管路系統(tǒng)阻尼減振特性的研究.郭世豪等[29]基于模型試驗研究了柔性輸流管在恒定內(nèi)流速度下由泄漏孔引入的泄流效應(yīng),研究發(fā)現(xiàn)了泄流效應(yīng)對輸流管系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響,并為數(shù)值模擬提供了實驗參照.

本文主要從理論和實驗上研究集中質(zhì)量對懸臂輸流管系統(tǒng)臨界流速、失穩(wěn)模態(tài)和振動幅值等動力學(xué)特性的影響規(guī)律,為輸流管振動控制提供一種可控性策略和實驗數(shù)據(jù).鑒于此,首先基于擴展Hamilton原理建立了含集中質(zhì)量懸臂輸流管的非線性動力學(xué)控制方程; 然后借助Galerkin 技術(shù)將偏微分控制方程離散為常微分方程進行數(shù)值求解; 再通過線性分析和非線性分析方法研究集中質(zhì)量對輸流管振動特性的影響規(guī)律;最后,通過搭建相關(guān)實驗對理論計算結(jié)果進行了驗證對比.

1 動力學(xué)建模與求解

考慮圖1(a)所示的含集中質(zhì)量懸臂輸流管模型,U表示管道內(nèi)流流速;s為管道橫截面位置坐標(biāo);G表示重力加速度方向;右下角給出全局坐標(biāo)系,x代表管道軸向方向,y代表管道橫向方向.坐標(biāo)附加集中質(zhì)量可以沿管道軸向方向進行變化,假設(shè)集中質(zhì)量在沿管道軸向xj處.

圖1 (a)考慮集中質(zhì)量懸臂輸流管構(gòu)型的模型圖(靜止?fàn)顟B(tài));(b)考慮集中質(zhì)量懸臂輸流管構(gòu)型的模型圖(振動狀態(tài))Fig.1 (a)Model diagram considering the configuration of the cantilevered fluid-conveying pipe attached with the lumped mass(rest state);(b)model diagram considering the configuration of the cantilevered fluid-conveying pipe attached with the lumped mass(vibration state)

為方便研究,對輸流管結(jié)構(gòu)和流體屬性做如下假設(shè):(1)流體為定常流且不可壓縮; (2)將具有細長特征(長徑比大)的管視為二維平面上的Euler-Bernoulli梁模型,不考慮管的轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形;(3)忽略了管材的黏彈性阻尼,只考慮實驗中產(chǎn)生的機械阻尼;(4)管道軸線不可伸長且考慮小應(yīng)變.基于以上假設(shè)條件,關(guān)于含集中質(zhì)量輸流管系統(tǒng)的非線性動力學(xué)方程可以通過Hamilton 原理進行推導(dǎo)

其中,Ttot為系統(tǒng)的總動能,Vtot為系統(tǒng)總的勢能,M為單位流體質(zhì)量,u為管內(nèi)流體流速.公式右邊是管道自由端流體流出時作的虛功.r和τ 為管道的位置矢量和切矢量.輸流管系統(tǒng)的總動能分為兩部分

式中,p 和f 分別代表管與流體,v代表速度,m代表管道單位長度質(zhì)量,mj代表附加集中質(zhì)量,xj表示集中質(zhì)量的位置坐標(biāo),s為管道橫截面位置坐標(biāo),有s≈x.考慮重力的影響,系統(tǒng)總勢能分為管道應(yīng)變能和重力勢能.在小應(yīng)變假設(shè)下,管道應(yīng)變能Vs可寫為[30]

將方程(2)～(4)代入方程(1)中,基于變分法,可得到控制方程

其中,w表示管的橫向位移,L為管的長度,M和m分別為流體和管道單位長度的質(zhì)量,δ(x) 表示Dirac delta 函數(shù).為計算方便,引入以下無量綱參數(shù)

則輸液管道系統(tǒng)的無量綱控制方程可表示為

首先采用Galerkin 法對動力學(xué)方程(7) 進行離散,將偏微分方程(PDE)可轉(zhuǎn)化為常微分方程(ODE)進行數(shù)值求解.將振動幅值η(ξ,τ)表示為

綜上所述,主動護理在現(xiàn)代護理中對降低門急診醫(yī)患糾紛發(fā)生率和提高患者滿意度有重要意義,宜在臨床上廣泛應(yīng)用。

其中,φj(ξ)為經(jīng)典的懸臂梁的模態(tài)函數(shù),qj(τ)則為離散系統(tǒng)對應(yīng)的廣義坐標(biāo).

將方程(8) 代入方程(7),然后在方程左端乘上φT,并從0 到1 積分,則可以得到以下關(guān)于質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣的離散方程形式

2 輸流管振動實驗設(shè)計

如圖2 所示,本實驗由自主搭建的懸臂輸流管裝置、高速攝像機以及計算機配合完成.懸臂輸流管裝置中,輸流管內(nèi)流體由水泵提供,水泵入水口連接上方水槽,出水口連接輸流管道,通過調(diào)節(jié)水泵的功率來實現(xiàn)管內(nèi)流速的變化.管道材料為硅橡膠,其具體參數(shù)為:密度ρ=1574.5 kg/m3,彈性模量E=8 MPa,長度L=0.4 m,外徑D=0.008 m,內(nèi)徑d=0.006 m.集中質(zhì)量采用體積為2.826 × 10?7m3的金屬螺母代替,其質(zhì)量大小mj=0.011 kg.水泵可調(diào)節(jié)的流速范圍為0 ～5.72 m/s,轉(zhuǎn)化為無量綱的流速范圍為0 ～11.61.當(dāng)管內(nèi)流速達到臨界流速時,則會引起懸臂輸流管顫振,此時使用高速攝像機錄下輸流管的振動過程.對錄下的視頻文件進行圖像處理以得到輸流管道的振動幅值.首先將圖像進行二值化處理,即將輸流管標(biāo)記為白色,背景標(biāo)記為黑色,之后標(biāo)記出最大連通域圖像.整個圖像可視作一個坐標(biāo)系.在輸流管自由端添加標(biāo)記,即可通過標(biāo)記的坐標(biāo)變化來獲取信號、采樣頻率與時間序列數(shù)據(jù),并以此繪制曲線.

圖2 實驗裝置示意圖Fig.2 Schematic diagram of the experimental apparatus

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼可以通過自由振動實驗[30]得到.通過以上圖像處理方法獲得系統(tǒng)的自由振動幅值,通過結(jié)構(gòu)振動的衰減趨勢以得到衰減系數(shù)η,再由公式得出阻尼比ζ,進一步由公式得到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼c.

通過上述實驗過程,可得到含集中質(zhì)量輸流管的動力學(xué)特性.基于上述輸流管的材料參數(shù),得到系統(tǒng)參數(shù)β=0.313,γ=51.69,μ=0.437,以此作為理論計算的系統(tǒng)參數(shù),即可與本實驗進行對比,以驗證理論計算的準(zhǔn)確性.

3 線性動力學(xué)特征分析

為研究含集中質(zhì)量輸流管結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性,首先進行線性動力學(xué)特征分析.通過臨界流速,固有頻率和失穩(wěn)模態(tài)等特性來表征輸流管系統(tǒng)的穩(wěn)定性.針對矩陣方程(9),去掉非線性項后,得到的線性矩陣方程可以寫成如下形式

通過Galerkin 前四階模態(tài)截斷,ML,CL,KL無量綱形式可以表示為

從上式中可以明顯看出集中質(zhì)量對ML和KL矩陣帶來的影響.其中φ 為懸臂輸流管的模態(tài)函數(shù),可以表示為

其中i=1,2,3,4;即φ 為4 乘1 的向量.φTφ 則為4乘4 的矩陣,所以ML,CL,KL也分別為4 乘4 的矩陣.可以定義以下矩陣和向量

則矩陣方程(10)可化為

令Z=Aeλit=Aeiωit,λi=iωi.則矩陣方程(17)轉(zhuǎn)化為特征值問題

在計算過程中,如上節(jié)所述,取系統(tǒng)參數(shù)值β=0.313,γ=51.69,μ=0.437.圖3 給出的當(dāng)集中質(zhì)量被安裝在輸流管不同位置時,管道系統(tǒng)的前四階復(fù)頻率隨流速變化的Argand 圖.橫坐標(biāo)是復(fù)頻率的實部,代表的輸流管結(jié)構(gòu)的固有頻率.縱坐標(biāo)是復(fù)頻率的虛部,代表的是結(jié)構(gòu)的阻尼.隨著內(nèi)流速的增大,實部和虛部值會發(fā)生變化,當(dāng)虛部由正值變?yōu)樨?fù)值時,系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn).此時內(nèi)流速為系統(tǒng)的臨界流速.選取的位置為ξj=0,0.25,0.75 和0.95 處.顯然,當(dāng)ξj=0 時相當(dāng)于輸流管不含有集中質(zhì)量.從圖3 的計算結(jié)果可以看出,隨著集中質(zhì)量所處位置的變化,管道系統(tǒng)的臨界流速以及對應(yīng)失穩(wěn)模態(tài)也發(fā)生了較大的變化.比如,當(dāng)ξj=0 時,即,輸流管不含有集中質(zhì)量,此時輸流管結(jié)構(gòu)的臨界流速為10.33,且發(fā)生的是二階模態(tài)失穩(wěn).當(dāng)ξj=0.25 時,由于集中質(zhì)量的影響,輸流管結(jié)構(gòu)的臨界流速增大到10.48,且對應(yīng)的失穩(wěn)模態(tài)階數(shù)為三階.這說明引入集中質(zhì)量可以增大臨界流速從而提高輸流管系統(tǒng)的穩(wěn)定性.比較有趣的是,當(dāng)集中質(zhì)量位于0.75 處時,輸流管系統(tǒng)的臨界流速有所降低,變?yōu)?.76,失穩(wěn)模態(tài)變?yōu)槎A.當(dāng)集中質(zhì)量在0.95 處時,此時臨界流速又增大到10.2,且對應(yīng)的失穩(wěn)模態(tài)轉(zhuǎn)遷為三階.這說明,當(dāng)集中質(zhì)量的安裝位置從輸流管固定端變化到自由端時,管道系統(tǒng)的臨界流速呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性變化趨勢,這與失穩(wěn)模態(tài)的轉(zhuǎn)遷有很大的關(guān)系.

圖3 集中質(zhì)量處于不同位置時,管道系統(tǒng)的前四階復(fù)頻率隨流速變化的Argand 圖Fig.3 Argand diagram of the first four order complex frequencies varying with the flow velocity of the pipe system when the lumped mass is at different positions

為了進一步了解集中質(zhì)量位置對輸流管系統(tǒng)臨界流速的影響規(guī)律,圖4 給出了臨界流速隨位置變化關(guān)系曲線.藍色的線是理論計算的結(jié)果,可以看出,當(dāng)集中質(zhì)量位置從固定端(ξj=0)調(diào)節(jié)到自由端(ξj=1)時,臨界流速大小呈現(xiàn)出先增大后減小,再增大再減小的趨勢.比如,當(dāng)集中質(zhì)量位置在ξj=0.5之前時,系統(tǒng)的臨界流速隨ξj增大表現(xiàn)出小幅增加趨勢.當(dāng)ξj從0.5 增大到0.75 時,臨界流速開始逐漸降低,大約在ξj=0.75 處,臨界流速降到低谷.隨后,當(dāng)ξj從0.75 增大到0.9 時,臨界流速反而表現(xiàn)出增大的趨勢.最后,隨著位置越來越靠近自由端,輸流管系統(tǒng)的臨界流速再次逐漸下降并降到最低.

圖4 管道系統(tǒng)失穩(wěn)臨界流速隨集中質(zhì)量位置變化曲線Fig.4 curve graph of the critical velocity of the pipe system instability varying with the lumped mass position

將理論計算結(jié)果與實驗測試進行了對比,紅色圓圈代表實驗測試結(jié)果.在實驗中,隨著流速的增大,當(dāng)輸流管將要或剛發(fā)生振動時,記錄此時的流速為臨界流速.從實驗可以看出,當(dāng)集中質(zhì)量位于ξj=0.5之前時,臨界流速基本不發(fā)生變化.當(dāng)集中質(zhì)量的位置大于ξj=0.5 時,實驗測得的臨界流速同樣表現(xiàn)出先減小后增大,然后再次減小的趨勢.這與理論預(yù)測結(jié)果是一致的,且從對比中可以看出,臨界流速值大小相差不大.需要指出的是,在靠近自由端時,理論與實驗得到的臨界流速大小有所差異,這是因為,一是集中質(zhì)量在輸流管上占據(jù)了一定的體積,導(dǎo)致在自由端位置的測試不夠準(zhǔn)確; 二是集中質(zhì)量靠近自由端時,輸流管可能發(fā)生非平面等復(fù)雜動力學(xué)行為,與本文采用的平面振動假設(shè)理論有一定偏差.因此,從理論上預(yù)測臨界流速時與實驗測試存在一定的誤差.

圖5 集中質(zhì)量置于不同位置時,管道系統(tǒng)失穩(wěn)臨界流速隨集中質(zhì)量比變化曲線Fig.5 curve graph of the critical velocity of the pipe system instability varying with the lumped mass ratio at different lumped mass position

圖5 給出的是集中質(zhì)量的質(zhì)量比對輸流管系統(tǒng)臨界流速的影響,質(zhì)量比表示的是集中質(zhì)量與管道系統(tǒng)的質(zhì)量之比.可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)集中質(zhì)量處于不同位置時,其質(zhì)量比對臨界流速影響的變化趨勢也不盡相同.比如,當(dāng)安裝位置ξj從0.1 變化到0.5 時,如圖5(a)和圖5(b)所示,隨著質(zhì)量比μ從0 增大到1,臨界流速先減小后增大.當(dāng)質(zhì)量比μ < 0.2 時,集中質(zhì)量所處的位置(ξj)對臨界流速幾乎沒有影響;質(zhì)量比μ>0.2 時,可以看到,ξj越大,臨界流速也越大.然而,當(dāng)安裝位置ξj從0.5 增大到0.8 時,雖然隨著質(zhì)量比μ從0 增大到1,臨界流速也表現(xiàn)出先減小后增大的趨勢,但是ξj越大,臨界流速卻越小,這與安裝位置在0.1 到0.5 之間的臨界流速變化情況有所不同.隨著安裝位置ξj的進一步增大(越靠近自由端),從圖4(c)可以得到,臨界流速隨質(zhì)量比增大表現(xiàn)出的變化趨勢越來越復(fù)雜.具體表現(xiàn)為,隨著質(zhì)量比從0 增大到1,臨界流速先減小再增大;然后存在一個轉(zhuǎn)折點,此時臨界流速值急劇下降,最后逐漸增大.當(dāng)集中質(zhì)量離自由端越來越近(ξj越來越大),這個轉(zhuǎn)折點會逐漸左移.且隨著ξj從0.9 增大到1,輸流管系統(tǒng)的臨界流速是逐漸降低的.這種臨界流速的變化與振動模態(tài)的轉(zhuǎn)遷有很大的關(guān)系,也說明集中質(zhì)量的安裝位置(ξj) 和質(zhì)量比(μ) 對輸流管系統(tǒng)的振動模態(tài)有很大的影響.

4 非線性振動特征分析

通過前面的分析可知,引入集中質(zhì)量可以改變輸流管系統(tǒng)的臨界流速和失穩(wěn)模態(tài),從而影響系統(tǒng)的非線性振動行為.因此,本節(jié)研究了集中質(zhì)量對輸流管系統(tǒng)非線性振動特性的影響規(guī)律.主要分析了集中質(zhì)量位置對輸流管振動模態(tài)和振動幅值的影響,并將理論計算結(jié)果與實驗測試進行了對比.取集中質(zhì)量安裝在0.25,0.75 和0.95 位置處,無量綱內(nèi)流速取11.03.根據(jù)圖6 可知,當(dāng)集中質(zhì)量在0.25 位置處時,輸流管結(jié)構(gòu)發(fā)生了二階模態(tài)的顫振行為.圖6(a)和圖6(b)分別代表理論計算出的不同時刻輸流管振動構(gòu)型,圖6(c) 表示理論計算得到的輸流管的振動軌跡,圖6(d) 為實驗中觀測的輸流管振動構(gòu)型.可知,對輸流管振動模態(tài)的研究,理論預(yù)測與實驗觀察具有一致性.同樣,當(dāng)ξj=0.75 時,理論計算輸流管結(jié)構(gòu)發(fā)生的是二階模態(tài)顫振,實驗中輸流管振動也表現(xiàn)為很明顯的二階模態(tài)振動行為,如圖7 所示.而當(dāng)ξj=0.95 時,輸流管的振動模態(tài)由二階轉(zhuǎn)遷為三階,理論和實驗對比結(jié)果如圖8 所示.在同一流速下,對比圖6 ～圖8 可以看出,無論是理論計算還是實驗測試結(jié)果,輸流管自由端部(ξ=1)的振動幅值隨著安裝位置(ξj)的不同發(fā)生了較大的變化.當(dāng)ξj=0.75時,輸流管振動幅值明顯要高于在0.25 和0.95 處時的振幅.

圖6 集中質(zhì)量處于0.25 位置時,輸流管結(jié)構(gòu)的振動行為Fig.6 The vibration behavior of the fluid-conveying pipe structure at the lumped position 0.25

圖7 集中質(zhì)量處于0.75 位置,輸流管結(jié)構(gòu)的振動行為Fig.7 The vibration behavior of the fluid-conveying pipe structure at the lumped position 0.75

圖8 集中質(zhì)量處于0.95 位置,輸流管結(jié)構(gòu)振動行為Fig.8 The vibration behavior of the fluid-conveying pipe structure at the lumped position 0.95

為了進一步研究集中質(zhì)量位置對輸流管振動幅值的影響規(guī)律,取ξj=0,0.35,0.55,0.75 和0.95 五種情況,理論計算結(jié)果與實驗測試數(shù)據(jù)進行了對比,如表1 所示.由于實驗中所用水泵的流速范圍較窄,只選取了兩種流速分別為u=11.03 和11.61 進行實驗.實驗結(jié)果表明,當(dāng)集中質(zhì)量位置從0 增大到0.95 時,對于給定的流速,輸流管振動幅值會先增大后減小.在ξj=0.75 處時,輸流管振幅有最大值.隨著流速從11.03 增大到11.61,輸流管的振動幅值也有所增大.從表1 中得出,理論計算結(jié)果與實驗測試數(shù)據(jù)的誤差大多都在10%左右,由此證明理論模型的準(zhǔn)確性.根據(jù)計算結(jié)果和實驗測試數(shù)據(jù)可知,當(dāng)集中質(zhì)量安裝在0 到0.75 位置范圍內(nèi)時,輸流管振動主要表現(xiàn)出二階模態(tài)顫振行為,且隨著ξj的增大,振幅越來越大.當(dāng)集中質(zhì)量位置越靠近自由端時(比如ξj>0.75),輸流管振動模態(tài)由二階轉(zhuǎn)遷為三階,振幅會有所下降.圖9 給出了當(dāng)ξj=0.75 時,輸流管道自由端的振動幅值隨流速變化的分岔圖,理論計算結(jié)果與實驗測試數(shù)據(jù)進行了對比.可知,當(dāng)流速超過臨界值時,隨著流速的增大,輸流管振動幅值逐漸增大.圖10 給出的是當(dāng)流速分別為9.87 和11.03 時輸流管振動的時間歷程曲線.

表1 不同集中質(zhì)量位置下輸流管結(jié)構(gòu)振動幅值Table 1 Vibration amplitude of the fluid-conveying pipe__structure at different concentrated mass locations

5 結(jié)論

圖9 當(dāng)ξj=0.75 時,輸流管自由端的位移隨流速變化分岔圖Fig.9 Bifurcation diagram of the tip displacement of the fluid-conveying pipe varying with the velocity when the model at ξj=0.75

本文基于哈密頓原理對附加集中質(zhì)量的懸臂輸流管系統(tǒng)進行了數(shù)學(xué)建模,推導(dǎo)出了附加集中質(zhì)量懸臂輸流管系統(tǒng)的非線性動力學(xué)方程.通過數(shù)值求解以及實驗的方法對該理論模型進行驗證,并對附加集中質(zhì)量的懸臂輸流管系統(tǒng)的穩(wěn)定性與非線性動力學(xué)行為進行了研究.揭示了附加集中質(zhì)量對懸臂輸流管系統(tǒng)所帶來的動力學(xué)影響.可以得到如下結(jié)論:

(1)附加集中質(zhì)量會導(dǎo)致懸臂輸流管結(jié)構(gòu)失穩(wěn)臨界流速的降低,以及振幅的增大.

(2)集中質(zhì)量的放置位置與質(zhì)量比是影響懸臂輸流管系統(tǒng)穩(wěn)定性以及非線性響應(yīng)的重要因素.懸臂輸流管結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)臨界流速隨集中質(zhì)量的放置位置與質(zhì)量比的變化而變化.同時,集中質(zhì)量的位置對懸臂輸流管結(jié)構(gòu)的振動幅值也有較大影響.當(dāng)ξj=0.75時,懸臂輸流管系統(tǒng)的失穩(wěn)臨界流速最低,且振動幅值最大.

(3)當(dāng)集中質(zhì)量接近自由端時,懸臂輸流管結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)會發(fā)生轉(zhuǎn)遷; 質(zhì)量比足夠大時也會導(dǎo)致懸臂輸流管結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)轉(zhuǎn)遷.當(dāng)集中質(zhì)量位于ξj=0.95 時,懸臂輸流管結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)由二階轉(zhuǎn)變?yōu)槿A,其失穩(wěn)臨界流速進一步降低,振動幅值反而減小.由此推斷振動模態(tài)的變化導(dǎo)致了失穩(wěn)臨界流速與振幅的減小.當(dāng)ξj=1,即集中質(zhì)量位于自由端時,懸臂輸流管結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)臨界流速達到最低.

圖10 ξj=0.75,(a)和(b)無量綱內(nèi)流速為9.87,(c)和(d)無量綱內(nèi)流速為11.03 時輸流管結(jié)構(gòu)振動的時間歷程曲線;(a)和(c)理論預(yù)測結(jié)果曲線;(b)和(d)實驗測得結(jié)果曲線Fig.10 Time history curves of the fluid-conveying pipe structure vibration with a dimensionless velocity of(a),(b)9.87;(c),(d)11.03 at ξ j=0.75;(a)and(c)are the resulting curves of theoretical predictions;(b)and(d)are experimental results