董慧瑩 秦曉茹 薛文瑞? 程鑫 李寧 李昌勇

1) (山西大學(xué)物理電子工程學(xué)院, 太原 030006)

2) (山西大學(xué)激光光譜研究所, 量子光學(xué)與光量子器件國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 太原 030006)

3) (山西大學(xué), 極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心, 太原 030006)

設(shè)計(jì)了一種涂覆石墨烯的非對(duì)稱(chēng)橢圓電介質(zhì)納米并行線波導(dǎo). 在橢圓柱坐標(biāo)系中, 借助于Mathieu 函數(shù)和坐標(biāo)變換, 采用多極方法對(duì)波導(dǎo)所支持的6 個(gè)最低階模式進(jìn)行了研究, 并分析了這些模式的特性與工作波長(zhǎng)、石墨烯費(fèi)米能以及波導(dǎo)結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的依賴(lài)關(guān)系. 結(jié)果表明, 調(diào)節(jié)波導(dǎo)的工作波長(zhǎng)、石墨烯的費(fèi)米能及納米線之間的間距, 可大幅度調(diào)節(jié)這些模式的特性. 調(diào)節(jié)納米線的半長(zhǎng)軸及半短軸, 可以微調(diào)這些模式的特性. 在兩種條件下, 通過(guò)比較涂覆石墨烯的單根橢圓電介質(zhì)納米線、對(duì)稱(chēng)橢圓電介質(zhì)納米并行線與非對(duì)稱(chēng)橢圓電介質(zhì)納米并行線所支持的基模的性能, 發(fā)現(xiàn)本文所設(shè)計(jì)的波導(dǎo)的性能優(yōu)于其他兩種波導(dǎo). 本文的研究工作可以為涂覆石墨烯的非對(duì)稱(chēng)橢圓電介質(zhì)納米并行線波導(dǎo)的設(shè)計(jì)、制作及應(yīng)用提供理論基礎(chǔ).

1 引 言

石墨烯是單層碳原子以蜂窩狀晶格方式排列而成的一種新型二維結(jié)構(gòu)材料[1?3]. 自2004 年成功制備單層石墨烯以來(lái), 其在雷達(dá)吸收表面[4]、微型傳感器[5]、電磁能量轉(zhuǎn)換[6]、電磁干擾屏蔽[7]等領(lǐng)域引發(fā)了很多研究人員的關(guān)注. 在THz 波段, 石墨烯的表面電導(dǎo)率幾乎是一個(gè)純虛數(shù)[8], 與金屬極為相似, 可以支持表面等離子激元, 且相較于金屬而言, 石墨烯中較低的載流子濃度[9]和較高的遷移率[10]更能保證其具有理想的導(dǎo)電性.

表面等離子激元是一種沿著導(dǎo)體表面?zhèn)鞑サ碾姶挪? 由導(dǎo)體表面振蕩的自由電子與電磁場(chǎng)之間的共振相互作用形成, 可以用來(lái)在亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)中聚焦和導(dǎo)引光[11]. 研究發(fā)現(xiàn), 基于貴重金屬材料的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中[12?15]可以支持表面等離子激元的傳播.但是這些波導(dǎo)的工作波長(zhǎng)大多集中于可見(jiàn)光波段,在中紅外到太赫茲波段內(nèi), 波導(dǎo)對(duì)場(chǎng)的束縛能力明顯變?nèi)鮗16]; 且基于貴重金屬的表面等離子波導(dǎo)只能通過(guò)變更結(jié)構(gòu)參數(shù)來(lái)改善其導(dǎo)波特性. 在特定條件下, 石墨烯的光學(xué)性質(zhì)類(lèi)似于貴重金屬[17], 且與基于貴重金屬的波導(dǎo)相比, 石墨烯波導(dǎo)具有三大優(yōu)勢(shì): 較低的損耗、極強(qiáng)的模式束縛性及可調(diào)的化學(xué)勢(shì)[18]. 利用石墨烯表面支持的表面等離子激元可以在亞波長(zhǎng)范圍內(nèi)對(duì)光波進(jìn)行操控[19]. 這也為波導(dǎo)在中紅外到太赫茲波段內(nèi)實(shí)現(xiàn)高性能有效傳輸提供了一個(gè)新的研究方向. 若在電介質(zhì)波導(dǎo)表面涂覆單層石墨烯, 可以構(gòu)成一種傳輸特性良好的表面等離子體波導(dǎo)[20?32].

若在圓形介質(zhì)納米線表面涂覆單層石墨烯,可改善波導(dǎo)性能[20]; 若在中空的二氧化硅管中嵌入實(shí)心硅棒后涂覆單層石墨烯, 可進(jìn)一步壓縮模式面積、增加其傳播長(zhǎng)度[22]; 若將多個(gè)外表面涂覆單層石墨烯的中空電介質(zhì)管緊密嵌套, 可實(shí)現(xiàn)極強(qiáng)的模式束縛性[25]; 若將兩根完全一致的涂覆石墨烯的電介質(zhì)納米線以一定間距置于同一軸線上, 可實(shí)現(xiàn)較強(qiáng)的梯度力和場(chǎng)增強(qiáng)[28]. 若在涂覆石墨烯的圓形并行納米線對(duì)的中心軸線上放置一圓形納米線, 可以實(shí)現(xiàn)較為理想的傳播長(zhǎng)度[29];若將兩根完全相同的涂覆雙層石墨烯的電介質(zhì)納米線間隔一定距離置于同一軸線上, 可實(shí)現(xiàn)極強(qiáng)的場(chǎng)增強(qiáng)效應(yīng)[30]; 若在橢圓介質(zhì)納米線表面涂覆單層石墨烯, 可實(shí)現(xiàn)較長(zhǎng)的傳播長(zhǎng)度及更強(qiáng)的模式束縛性[31].

本文設(shè)計(jì)了一種涂覆石墨烯的非對(duì)稱(chēng)橢圓電介質(zhì)納米并行線波導(dǎo), 對(duì)波導(dǎo)的6 個(gè)最低階模式進(jìn)行了命名和分類(lèi), 使用多極方法[33,34]研究了波導(dǎo)的工作波長(zhǎng)、石墨烯的費(fèi)米能以及波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)6 個(gè)最低階模式的模式特性的影響, 并比較了兩種條件下3 種波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的傳輸性能. 本文的研究結(jié)果有望在模式轉(zhuǎn)換[35]及耦合器件[36]中得到應(yīng)用.

2 結(jié)構(gòu)模型和計(jì)算方法

涂覆石墨烯的非對(duì)稱(chēng)橢圓電介質(zhì)納米并行線波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的橫截面如圖1 所示, 它由兩根結(jié)構(gòu)參數(shù)不同的涂覆單層石墨烯的并行橢圓形電介質(zhì)納米線構(gòu)成, 背景為空氣. 將左右兩根納米線分別標(biāo)記為1 號(hào)納米線和2 號(hào)納米線. 以1 號(hào)納米線的對(duì)稱(chēng)中心o1為原點(diǎn), 建立直角坐標(biāo)系o1-xy和橢圓坐標(biāo)系o1-ξ1η1; 以2 號(hào)納米線的對(duì)稱(chēng)中心o2為原點(diǎn), 建立直角坐標(biāo)系o2-x2y2和橢圓坐標(biāo)系o2-ξ2η2; 以o1和o2連線的中點(diǎn)o為原點(diǎn), 建立直角坐標(biāo)系o-xy.橫截面內(nèi)的任意一點(diǎn)在五套坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(ξ1,η1) ,(x2,y2) ,(ξ2,η2)和(x,y) . 坐標(biāo)之間的關(guān)系為x1=x+c,x2=x-c,y1=y2=y,x1=q1coshξ1cosη1,y1=q1sinhξ1sinη1,x2=q2coshξ2cosη2,y2=q2sinhξ2sinη2. 其中a1,b1和a2,b2分別為1 號(hào)和2 號(hào)納米線的半長(zhǎng)軸和半短軸,2c為1 號(hào)2 號(hào)納米線的中心間距,d=2c-a1-a2為1 號(hào)和2 號(hào)納米線的表面間距.q1,q2分別為1 號(hào)和2 號(hào)納米線的半焦距,ξ1和ξ2為徑向坐標(biāo)變量,η1和η2為角向坐標(biāo)變量. 在兩套橢圓坐標(biāo)系下, 1 號(hào)和2 號(hào)納米線邊界處的徑向坐標(biāo)分別為ξ10和ξ20.

圖1 涂覆石墨烯的非對(duì)稱(chēng)橢圓電介質(zhì)納米并行線波導(dǎo)的橫截面示意圖Fig. 1. The cross section of the double elliptical nano-parallel wires waveguide coated with graphene.

圖1中εd為電介質(zhì)的介電常數(shù), 數(shù)值為2.1025,對(duì)應(yīng)于石英玻璃材料SiO2.εair為空氣的介電常數(shù),數(shù)值為1.0.σg為石墨烯電導(dǎo)率, 其值由兩部分構(gòu)成:帶內(nèi)電導(dǎo)率σintra和帶間電導(dǎo)率σinter, 即σg=σintra+σinter, 其表達(dá)式由庫(kù)珀公式[37]給出:

式中e為電子電量,kB為玻爾茲曼常數(shù),T=300 K為環(huán)境溫度, ? 為約化普朗克常量,ω=2πf是角頻率,Γ=2×1012rad/s 是載流子散射率,Ef為石墨烯的費(fèi)米能, 為了盡可能準(zhǔn)確反映石墨烯實(shí)際傳輸損耗, 在模擬和計(jì)算中將Ef設(shè)置為 0.5 eV[8].

采用多極方法, 假設(shè)1 號(hào)納米線單獨(dú)存在時(shí),其內(nèi)部電場(chǎng)和磁場(chǎng)的z分量為Ez11和Hz11, 外部電場(chǎng)和磁場(chǎng)的z分量為Ez12和Hz12, 它們的表達(dá)式為:

設(shè)2 號(hào)納米線單獨(dú)存在時(shí), 內(nèi)部電場(chǎng)和磁場(chǎng)的z分量為Ez21和Hz21, 外部電場(chǎng)和磁場(chǎng)的z分量為Ez22和Hz22, 它們的表達(dá)式為:

其 中,Am,Bm,Cm,Dm,Em,Fm,Gm,Hm,和為 第m階表達(dá)式的系數(shù), 共16 組.為第m階第一類(lèi)徑向Mathieu 偶函數(shù),為第m階第一類(lèi)徑向Mathieu 奇函數(shù),為第m階第三類(lèi)徑向Mathieu偶函數(shù),為第m階第三類(lèi)徑向Mathieu 奇函數(shù),Sem為第m階角向Mathieu 偶函數(shù),Som為第m階角向Mathieu 奇函數(shù)[38].ε0為真空介電常數(shù),μ0為真空磁導(dǎo)率.

當(dāng)1 號(hào)和2 號(hào)納米線同時(shí)存在時(shí), 在弱耦合的條件下, 根據(jù)場(chǎng)的疊加原理, 在1 號(hào)納米線內(nèi)部,電場(chǎng)和磁場(chǎng)的z分量為:

在2 號(hào)納米線內(nèi)部, 電場(chǎng)和磁場(chǎng)的z分量為:

在1 號(hào)和2 號(hào)納米線外部, 電場(chǎng)和磁場(chǎng)的z分量為:

將(5)式—(10)式代入橢圓坐標(biāo)系下場(chǎng)的橫向分量與縱向分量的關(guān)系式(11)式中, 就可以得到各區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的徑向和角向分量:

計(jì)算中, 所涉及的導(dǎo)數(shù), 可以通過(guò)下面4 個(gè)式子來(lái)解決[39,40]:

其中φ代表徑向Mathieu 函數(shù)與角向Mathieu函數(shù)的乘積, 例如和

把1 號(hào)和2 號(hào)納米線表面涂覆的石墨烯看成具有表面電導(dǎo)率為σg的無(wú)厚度的界面, 采用逐點(diǎn)匹配方法, 在此界面上應(yīng)用切向分量之間的邊值關(guān)系(16)式, 將得一個(gè)線性代數(shù)方程組. 按照線性代數(shù)理論, 其系數(shù)矩陣的行列式(17)式為零時(shí), 才能得到非零解.

系數(shù)矩陣中包含 8×16 個(gè)子矩陣. 受篇幅限制, 這里只給出第一個(gè)子矩陣的元素表達(dá)式:

通過(guò)數(shù)值求解方程(17)式, 就可以得到波導(dǎo)中傳播的模式的場(chǎng)分布、對(duì)應(yīng)的有效折射率以及品質(zhì)因數(shù). 其中, 有效折射率的實(shí)部Re(neff) 直接與波導(dǎo)色散相關(guān), 虛部 I m(neff) 則與衰減有關(guān)[41]. 傳播長(zhǎng)度由公式Lprop=λ/[4πIm(neff)][42]來(lái)定義. 品質(zhì)因數(shù)由 F OM=Re(neff)/Im(neff)[43]給出, 它能夠綜合地表征波導(dǎo)的傳輸性能.

3 結(jié)果與討論

3.1 模式分類(lèi)

圖2 給出了在Ef=0.5 eV ,λ=7 μm,a1=90 nm ,b1=70 nm ,a2=80 nm ,b2=60 nm ,d=40 nm條件下, 涂覆石墨烯的非對(duì)稱(chēng)橢圓電介質(zhì)納米并行線波導(dǎo)所支持的6 個(gè)最低階模式的合成圖、電場(chǎng)的z分量分布圖及電場(chǎng)強(qiáng)度分布圖. 其中,圖2(a)—圖2(f)為模式合成圖, 圖2(g)—圖2(l)為電場(chǎng)z分量分布圖, 圖2(m)—圖2(r)為電場(chǎng)強(qiáng)度分布圖. 可以看出, Mode 0 的場(chǎng)分布集中在兩根納米線之間的間隙區(qū)域. Mode 1 的場(chǎng)主要分布在1 號(hào)納米線的左側(cè). Mode 2 和Mode 3 的場(chǎng)分布主要分布在兩根納米線的上方和下方, 基本保持了兩根納米線單獨(dú)存在時(shí)場(chǎng)的特點(diǎn). Mode 4 的場(chǎng)主要分布在2 號(hào)納米線的右側(cè). Mode 5 的場(chǎng)在兩根納米線之間的間隙區(qū)域和外側(cè)區(qū)域的分布均較強(qiáng). Mode 0 和Mode 1 為1 階模, Mode 2—Mode 5為2 階模.

3.2 模式特性的影響因素

在Ef=0.5 eV 時(shí), 設(shè)置波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為a1=90 nm ,b1=70 nm ,a2=80 nm ,b2=60 nm ,d=20 nm , 有效折射率實(shí)部 Re(neff) 、傳播長(zhǎng)度Lprop及品質(zhì)因數(shù)FOM 隨工作波長(zhǎng)λ的變化關(guān)系如圖3(a),(b),(c)所示.

當(dāng)工作 波 長(zhǎng)λ由 6.2 μm 逐步增加到 7.8 μm 時(shí),6 個(gè)最低階模式的有效折射率的實(shí)部單調(diào)減小, 波導(dǎo)對(duì)場(chǎng)的束縛能力減弱, 場(chǎng)分布范圍變大, 場(chǎng)與石墨烯之間的相互作用減弱, 傳輸損耗減小, 傳播長(zhǎng)度變長(zhǎng), 但此過(guò)程中始終維持Mode 0 的FOM 最大; 當(dāng)工作波長(zhǎng)由 6.2 μm 變化到 7.8 μm 時(shí), Mode 0的有效折射率的實(shí)部最大, 傳播長(zhǎng)度最長(zhǎng); Mode 5的有效折射率的實(shí)部最小, 傳播長(zhǎng)度最小; 圖3(d),(e),(f)分別為λ=6.2 , 7 和 7.8 μm 時(shí)基模的電場(chǎng)強(qiáng)度變化圖. 當(dāng)λ=6.2 μm 時(shí), 電場(chǎng)被緊緊地束縛于石墨烯層附近, 此時(shí), 電場(chǎng)強(qiáng)度分布較弱, 波導(dǎo)對(duì)場(chǎng)的束縛能力最強(qiáng), 損耗最大, 傳播長(zhǎng)度最小; 當(dāng)λ=7 μm時(shí), 場(chǎng)分布范圍擴(kuò)大, 強(qiáng)度變大, 場(chǎng)與石墨烯之間的作用減弱, 損耗變小, 傳播長(zhǎng)度增加;當(dāng)λ=7.8 μm 時(shí), 場(chǎng)與石墨烯之間的相互作用最弱,場(chǎng)分布范圍進(jìn)一步擴(kuò)大, 參數(shù)變化范圍內(nèi), 場(chǎng)分布強(qiáng)度最大, 波導(dǎo)整體損耗最小, 傳播長(zhǎng)度最長(zhǎng). 本文所有曲線圖中的實(shí)心點(diǎn)均為多極方法得到的結(jié)果, 實(shí)線均為有限元法得到的結(jié)果, 兩種方法得到的結(jié)果完全一致, 驗(yàn)證了多極方法的正確性. 使用有限元法(COMSOL 5.1)進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí), 也將石墨烯看作是具有表面電導(dǎo)率σg的無(wú)厚度界面.根據(jù)歐姆定律, 設(shè)置界面處的面電流密度Js=σgE即可.

圖2 在E f =0.5 eV, λ=7μm, a 1 =90 nm, b1 =70nm, a2 =80nm, b 2 =60 nm,d=40 nm 條件下, 6 個(gè)最低階模式的模式合成圖(a)?(f)、電場(chǎng)的z分量分布圖(g)?(l)和電場(chǎng)強(qiáng)度分布圖(m)?(r)Fig. 2. Ef=0.5 eV , λ=7 μm, a1 =90nm, b1 =70nm, a2 =80nm, b2 =60 nm and d=40 nm, pattern composition diagram (a)?(f), the z-component of electric field Ez (g)?(l) and the electric field distribution |E| for the six lowest order modes(m)?(r).

設(shè)置波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為a1=90 nm ,b1=70 nm ,a2=80 nm ,b2=60 nm ,d=20 nm ,改 變石墨烯的費(fèi)米能級(jí)Ef, 有效折射率實(shí)部 Re(neff) 、傳播長(zhǎng)度Lprop及品質(zhì)因數(shù)FOM 隨Ef在λ=7 μm處的變化關(guān)系如圖4(a),(b),(c)所示. 當(dāng)Ef從0.44 eV 向 0.60 eV 變化過(guò)程中, 波導(dǎo)支持的6 個(gè)最低階模式的有效折射率實(shí)部變小, 場(chǎng)與石墨烯之間的相互作用由強(qiáng)變?nèi)? 波導(dǎo)對(duì)場(chǎng)的束縛能力逐漸變?nèi)? 損耗減小, 傳播長(zhǎng)度增大; 至0.60 eV時(shí), 場(chǎng)與石墨烯之間的作用最弱, 傳播長(zhǎng)度最大.在石墨烯的費(fèi)米能變化過(guò)程中, 各個(gè)模式的有效折射率實(shí)部及傳播長(zhǎng)度之間始終保持較為穩(wěn)定的間 距 差; Mode 0 始 終 以 較 高 的FOM 優(yōu) 于 其 他模式.

圖3 當(dāng) E f =0.5 eV , a 1 =90 nm , b 1 =70 nm , a 2 =80 nm , b 2 =60 nm,d=20 nm 時(shí), (a)有 效 折 射率 Re(neff) 、(b)傳 播 長(zhǎng)度 L prop 、(c)品質(zhì)因數(shù)FOM 隨工作波長(zhǎng) λ 變化關(guān)系圖; (d) λ=6.2 μm , (e) λ=7 μm , (f) λ=7.8 μm 時(shí)基模的電場(chǎng)強(qiáng)度變化圖Fig. 3. The dependence of (a) the effective refractive index Re(neff),(b) the propagation length L prop , (c) the quality factor FOM for the six lowest order modes on the wavelength λ at E f =0.5 eV , a 1 =90 nm , b 1 =70 nm,a 2 =80 nm , b 2 =60 nm ,d=20 nm . And the electric field distribution | E| for (d) λ=6.2 μm,(e) λ=7 μm , (f) λ=7.8 μm .

令結(jié)構(gòu)參數(shù)a1=90 nm ,b1=70 nm ,a2=80 nm ,b2=60 nm , 當(dāng)Ef=0.5 eV 時(shí), 有 效 折 射 率 實(shí) 部Re(neff) 、傳播長(zhǎng)度Lprop及品質(zhì)因數(shù)FOM 在λ=7 μm處隨兩納米線間距d的變化關(guān)系如圖5(a),(b),(c)所示. 逐漸增加兩根納米線之間的距離,Mode 0 和Mode 2 的有效折射率實(shí)部下降, Mode 3的有效折射率實(shí)部略有增加, Mode 1, Mode 4 的有效折射率實(shí)部并無(wú)明顯變化; 當(dāng)兩納米線間距由15 nm 增至 3 5 nm 時(shí), Mode 0 的傳播長(zhǎng)度達(dá)到最長(zhǎng),繼續(xù)增大兩納米線之間的距離, Mode 0 的傳播長(zhǎng)度減小; 隨著兩納米線間距不斷增大, Mode 2 的傳播長(zhǎng)度變小, Mode 5 的傳播長(zhǎng)度增加, 其他模式傳播長(zhǎng)度無(wú)明顯改變. 結(jié)果表明, 增大兩納米線間距, Mode 0, Mode 2 的傳輸性能下降, Mode 5的傳輸性能得以改善; 其余幾個(gè)模式對(duì)納米線間距這一參數(shù)變化并不敏感.

圖4 當(dāng) λ=7 μm , a 1 =90 nm , b 1 =70 nm,a 2 = 8 0 nm , b 2 =60 nm,d=20 nm 時(shí) (a)有效折射率 Re(neff) 、(b)傳播 長(zhǎng)度Lprop 和(c)品質(zhì)因數(shù)FOM 隨石墨烯費(fèi)米能 Ef 變化關(guān)系圖Fig. 4. The dependence of (a) the effective refractive index Re(neff),(b) the propagation length L prop and (c) the quality factor FOM for the six lowest order modes on the graphene Fermi levels E f at λ=7 μm , a 1 =90 nm,b 1 =70 nm,a 2 =80 nm ,b2 =60 nm , d=20 nm .

以基模為例, 分析調(diào)節(jié)兩納米線距離時(shí)電場(chǎng)分布變化: 當(dāng)d=15 nm 時(shí), 電場(chǎng)在兩納米線靠近部分呈現(xiàn)反對(duì)稱(chēng)分布, 電場(chǎng)強(qiáng)度最大, 耦合作用較強(qiáng),傳播損耗較大, 傳播長(zhǎng)度最小; 進(jìn)一步增加納米線間距至 3 5 nm 時(shí), 電場(chǎng)強(qiáng)度變?nèi)? 兩納米線之間的耦合作用減弱, 此時(shí)損耗變小, 傳播長(zhǎng)度增加; 當(dāng)d=55 nm時(shí), 兩納米線之間的耦合作用最弱, 波導(dǎo)整體損耗增加, 傳播長(zhǎng)度下降, 兩根納米線上的場(chǎng)分布趨向于單根納米線單獨(dú)存在時(shí)的場(chǎng)分布; 可以推斷, 若兩納米線之間的距離增大至某一特定數(shù)值, 兩納米線之間的耦合作用將完全消失, 此時(shí),兩根納米線上的場(chǎng)分布將呈現(xiàn)單根納米線單獨(dú)存在時(shí)的特點(diǎn).

在λ=7 μm,Ef=0.5 eV 時(shí), 保持結(jié)構(gòu)參數(shù)b1=70 nm ,a2=80 nm ,b2=60 nm ,d=30 nm 不變, 有效折射率實(shí)部 Re(neff)、傳播長(zhǎng)度Lprop及品質(zhì)因數(shù)FOM 隨a1的變化關(guān)系如圖6(a),(b),(c)所示. 當(dāng)1 號(hào)納米線的半長(zhǎng)軸由 7 3 nm 增加至97 nm時(shí), Mode 0 有效折射率實(shí)部略有下降, Mode 1 和Mode 4 有效折射率實(shí)部基本保持不變, Mode 2和Mode 3 有效折射率實(shí)部緩慢上升; 隨著a1的逐漸增加, Mode 0, Mode 2, Mode 4 的傳播長(zhǎng)度基本保持不變, Mode 3 的傳播長(zhǎng)度緩慢增加, Mode 1的傳播長(zhǎng)度略有減小; 在所選參數(shù)變換范圍內(nèi), Mode 0的品質(zhì)因數(shù)最高, 性能最佳, 其余模式的FOM 按照Mode 2, Mode 3, Mode 1, Mode 4 的順序降低.

在λ=7 μm,Ef=0.5 eV 時(shí),保持結(jié)構(gòu)參數(shù)a1=90 nm ,a2=80 nm ,b2=60 nm ,d=35 nm , 改變1 號(hào)納米線的半短軸長(zhǎng)度b1,有效折射率實(shí)部 Re(neff) 、傳播長(zhǎng)度Lprop及品質(zhì)因數(shù)FOM 隨b1的變化關(guān)系如圖7(a),(b),(c)所示. 逐漸將1 號(hào)納米線半短軸長(zhǎng)由 6 1nm 增加至 85 nm , Mode 0, Mode 1, Mode 5的有效折射率實(shí)部明顯增加, Mode 2 的有效折射率實(shí)部略有下降, Mode 3 和Mode 4 的有效折射率實(shí)部無(wú)明顯變化; 同時(shí), Mode 0 的傳播長(zhǎng)度基本不變, Mode 2, Mode 3, Mode 4 的傳播長(zhǎng)度略有下降, Mode 1 和Mode 5 的傳播長(zhǎng)度緩慢增加;在參數(shù)所選變化范圍內(nèi), Mode 0 的傳輸性能最好.

圖5 當(dāng) λ=7 μm , E f =0.5 eV , a 1 =90 nm,b 1 =70 nm , a 2 =80 nm , b 2 =60 nm (a)有效折射率 Re(neff) , (b)傳 播 長(zhǎng) 度Lprop , (c)品質(zhì)因數(shù)FOM 隨兩納米線間距d 變化關(guān)系圖; (d) d=15 nm , (e) d=35 nm , (f) d=55 nm 時(shí)基模的電場(chǎng)強(qiáng)度變化圖Fig. 5. The dependence of (a) the effective refractive index Re(neff),(b) the propagation length L prop , (c) the quality factor FOM for the six lowest order modes on the distance d between two nanowires at λ=7 μm , E f =0.5 eV , a 1 =90 nm , b 1 =70 nm ,a2 =80 nm , b 2 =60 nm ; the electric field distribution | E| for (d) d=15 nm , (e) d=35 nm , (f) d=55 nm .

3.3 與其他兩種波導(dǎo)的比較分析

為了說(shuō)明涂覆石墨烯的非對(duì)稱(chēng)橢圓電介質(zhì)納米并行線(結(jié)構(gòu)1)的傳輸性能的優(yōu)越性, 以基模為例, 在兩種條件下, 與涂覆石墨烯的單根橢圓電介質(zhì)納米線(結(jié)構(gòu)2)和涂覆石墨烯的對(duì)稱(chēng)橢圓電介質(zhì)并行納米線(結(jié)構(gòu)3)的傳輸性能進(jìn)行了對(duì)比.

設(shè)置波導(dǎo)的費(fèi)米能為Ef=0.5 eV , 假設(shè)結(jié)構(gòu)1 的 參 數(shù) 為a1=90 nm ,b1=85 nm ,a2=80 nm ,b2=60 nm ,d=40 nm ; 結(jié)構(gòu)2 的結(jié)構(gòu)參數(shù)為a2=80 nm ,b2=60 nm ; 結(jié) 構(gòu)3 的 參 數(shù) 為a1=a2=80 nm ,b1=b2=60 nm ,d=40 nm . 改變工作波長(zhǎng), 三種結(jié)構(gòu)的有效折射率實(shí)部、傳播長(zhǎng)度及品質(zhì)因數(shù)如圖8(a),(b),(c)所示, 當(dāng)工作波長(zhǎng)由5.0 μm增加至 6.8 μm 時(shí), 三種波導(dǎo)所支持的基模的有效折射率實(shí)部均減小, 傳播長(zhǎng)度及FOM 增大. 可以看出, 本文所討論的結(jié)構(gòu)1 的傳輸性能優(yōu)于其他兩種波導(dǎo)結(jié)構(gòu).

圖6 當(dāng)λ=7 μm , E f =0.5 eV , b 1 =70 nm,a 2 =80 nm ,b2 =60 nm , d=30 nm 時(shí), (a)有效折射率實(shí)部 Re(neff) 、(b)傳播長(zhǎng)度 L prop 和(c)品質(zhì)因數(shù)FOM 隨1 號(hào)納米線半長(zhǎng)軸 a 1 變化關(guān)系圖Fig. 6. When λ=7 μm , E f =0.5 eV , b 1 =70 nm , a2 =80 nm , b 2 =60 nm,d=30 nm , the dependence of (a) the effective refractive index Re(neff) , (b) the propagation length L prop , and (c) the quality factor FOM for the six lowest order modes on the length of a1 on the No.1 nanowire.

在上述結(jié)構(gòu)參數(shù)下, 設(shè)置石墨烯的工作波長(zhǎng)λ=7 μm, 改變石墨烯的費(fèi)米能, 三種結(jié)構(gòu)所支持的基模的有效折射率實(shí)部, 傳播長(zhǎng)度及品質(zhì)因數(shù)變化如圖9(a),(b),(c)所示. 可以看出, 當(dāng)石墨烯的費(fèi)米能級(jí)由 0.39 eV 增加至 0.53 eV 時(shí), 三種波導(dǎo)所支持的基模的有效折射率實(shí)部都呈現(xiàn)下降趨勢(shì), 傳播長(zhǎng)度及FOM 都逐漸增大. 可以看出, 本文所討論的結(jié)構(gòu)1 的傳輸性能優(yōu)于其他兩種波導(dǎo)結(jié)構(gòu).

圖7 當(dāng) λ=7 μm , E f =0.5 eV , a 1 =90 nm , a 2 =80 nm ,b2 =60 nm , d=35 nm 時(shí), (a)有效折射率實(shí)部 Re(neff) 、(b)傳播長(zhǎng)度 L prop 和(c)品質(zhì)因數(shù)FOM 隨1 號(hào)納米線半短軸b1 變化關(guān)系圖Fig. 7. When λ=7 μm , E f =0.5 eV , a 1 =90 nm , a2 =80 nm , b 2 =60 nm,d=35 nm , the dependence of (a) the effective refractive index Re(neff) , (b) the propagation length L prop and (c) the quality factor FOM for the six lowest order modes on the length of b1 on the No.1 nanowire.

需要說(shuō)明的是, 如果在非弱耦合的條件下,(5)式—(10)式表示的場(chǎng)分布的線性疊加需要修正[44?46]. 本文結(jié)果僅在弱耦合的條件下成立.

圖8 當(dāng) E f =0.5 eV 時(shí), 三種波導(dǎo)結(jié)構(gòu)所支持的基模的(a)有效折射率 Re(neff) 、(b)傳播長(zhǎng)度和 L prop 和(c)品質(zhì)因數(shù)FOM 隨波長(zhǎng) λ 變化的關(guān)系圖Fig. 8. When E f =0.5 eV , the dependence of (a) the effective refractive index Re(neff) , (b) the propagation length Lprop and (c) the quality factor FOM of the fundamental mode supported by the three structures on the wavelength λ .

圖9 當(dāng) λ=7μm 時(shí),三種波導(dǎo)結(jié)構(gòu)所支持的基模的(a)有效折射率 Re(neff)、(b)傳播長(zhǎng)度 L prop 和(c)品質(zhì)因數(shù)FOM 隨石墨烯的費(fèi)米能級(jí)變化的關(guān)系圖Fig. 9. When λ=7μm , the dependence of (a) the effective refractive index Re(neff),(b) the propagation length Lprop and (c) the quality factor FOM of the fundamental mode supported by the three structures on the Fermi levels.

4 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一種涂覆石墨烯的非對(duì)稱(chēng)橢圓電介質(zhì)納米并行線光波導(dǎo), 對(duì)其前6 個(gè)模式進(jìn)行了分類(lèi), 研究了波導(dǎo)的工作波長(zhǎng)、石墨烯的費(fèi)米能及結(jié)構(gòu)參數(shù)與前6 個(gè)模式性能之間的依賴(lài)關(guān)系. 結(jié)果表明: 改變波導(dǎo)的工作波長(zhǎng)及石墨烯的費(fèi)米能級(jí), 波導(dǎo)基模的傳輸性能有明顯改善, 增大兩納米線間距時(shí), Mode 0 的傳輸性能下降, Mode 5 的傳輸性能得以改善; 調(diào)節(jié)1 號(hào)納米線的結(jié)構(gòu)參數(shù)時(shí), 可對(duì)波導(dǎo)傳輸性能進(jìn)行微調(diào); 同時(shí), 比較了在不同工作波長(zhǎng)和費(fèi)米能下三種結(jié)構(gòu)的波導(dǎo)性能, 結(jié)果表明, 在特定條件下, 涂覆石墨烯的非對(duì)稱(chēng)橢圓電介質(zhì)納米并行線光波導(dǎo)的傳輸性能優(yōu)于其他兩種結(jié)構(gòu)波導(dǎo).