菅光霄,王優(yōu)強,*,劉曉玲,張 平,李云凱

(1.青島理工大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院，山東 青島 266520；2.華東理工大學(xué) 機械與動力工程學(xué)院，上海 200237)

0 引言

齒輪系統(tǒng)屬于非線性振動系統(tǒng)，振動會引起載荷和齒輪表面速度的波動。外激勵和內(nèi)激勵是引起齒輪系統(tǒng)振動的根源，外激勵的主要形式為轉(zhuǎn)速和輸入功率的變化，內(nèi)激勵則主要包括誤差激勵和剛度激勵等。剛度激勵是內(nèi)激勵最主要的形式，是產(chǎn)生動載荷的主要原因[1]。對于高速重載的齒輪傳動系統(tǒng)，慣性力和阻尼對其傳動特性有顯著影響，必須進行動力學(xué)分析。

目前，對于齒輪瞬態(tài)彈流的研究，大多以簡化的靜載荷模型來進行。黃興保等[2]對擺動工況下直齒輪的瞬態(tài)彈流進行了研究。王文中等[3]利用數(shù)值模擬的方法，研究了漸開線斜齒輪的非穩(wěn)態(tài)彈流潤滑狀況。時高偉等[4]研究了齒輪加速和制動過程中，變卷吸速度過程對齒輪熱混合潤滑的影響，得到了完全數(shù)值的熱解。以上研究均是基于靜載荷模型進行求解的，并未考慮齒輪傳動過程中沖擊或振動的作用。也有部分學(xué)者考慮了振動或沖擊引起的動載荷對齒輪潤滑的影響，如WANG等[5]研究了嚙入沖擊對齒輪瞬態(tài)彈流潤滑的影響，發(fā)現(xiàn)了油膜壓力和油膜厚度振蕩的滯后效應(yīng)。Cruz等[6]建立齒輪的摩擦動力學(xué)模型，在多軸齒輪傳動系統(tǒng)的瞬態(tài)熱混合潤滑方面做了大量有益的工作，其研究結(jié)果表明油膜厚度及油膜壓力的振蕩加劇了齒輪系統(tǒng)的振動以及噪聲的產(chǎn)生。XUE等[7]基于齒輪的時變嚙合剛度，利用數(shù)值模擬的方法，得到了漸開線直齒輪的動態(tài)特性及動載荷分布。以上研究的不足之處均為在考慮動載荷作用的同時，忽略了沖擊或振動所引起的輪齒表面速度波動的影響，且未能將齒輪系統(tǒng)動力學(xué)與油膜的動態(tài)特性耦合起來加以研究。部分學(xué)者如HUANG和ZHANG等[8-10]對彈流潤滑的油膜剛度特性進行了研究，但未能與齒輪系統(tǒng)動力學(xué)相聯(lián)系。鄒玉靜等[11]基于動力學(xué)理論與載荷分擔(dān)理論，對漸開線直齒輪的動力學(xué)行為與彈流潤滑特性進行了耦合研究，考慮了油膜剛度對齒輪系統(tǒng)振動的影響，但忽略了動力學(xué)模型所反映出的油膜動態(tài)特性，對油膜剛度模型的描述也比較單一。苑士華等[12]考慮了油膜潤滑和齒輪動力學(xué)的耦合效應(yīng)，研究了漸開線斜齒輪混合潤滑狀態(tài)下的油膜壓力和油膜厚度分布以及油膜剛度與潤滑油黏度之間的關(guān)系，其結(jié)果對于后續(xù)的齒輪振動與潤滑的耦合研究具有重大的指導(dǎo)意義。

根據(jù)以上分析，在進行彈流潤滑的研究時，將齒輪的彈流潤滑模型與其動力學(xué)模型相結(jié)合，研究齒輪的動力學(xué)行為及齒面的潤滑特性，并分析不同工況下嚙合力等動態(tài)響應(yīng)在嚙合過程中的變化規(guī)律，以及在動載荷、速度波動作用下油膜厚度和油膜壓力的變化。同時，為了更好地表征油膜的動態(tài)特性，基于彈流潤滑數(shù)值解，建立潤滑油膜的剛度模型，研究不同載荷和齒輪轉(zhuǎn)速下油膜剛度的變化規(guī)律，用以驗證動力學(xué)模型的求解結(jié)果。

1 齒輪動力學(xué)模型

1.1 動力學(xué)模型

圖1為漸開線直齒圓柱齒輪的傳動模型，反映了其一對齒在K點處嚙合的情況。N1、N2為理論嚙入、嚙出點，P為齒輪節(jié)點，rbp、rbg分別為主、從動輪的基圓半徑，它們的角速度分別為ωp和ωg(下標(biāo)p和g分別代表主動輪和從動輪，下同)。A為嚙入點，B為單齒嚙入點，C為單齒嚙出點，D為嚙出點。

考慮齒輪時變嚙合剛度的影響，建立齒輪動力學(xué)模型，該模型僅考慮直齒圓柱齒輪的扭轉(zhuǎn)振動。如圖2所示，其中y軸為沿嚙合線方向。圖中Ip、Ig；θp、θg；Tp、Tg分別表示主動輪和從動輪的轉(zhuǎn)動慣量、扭轉(zhuǎn)角位移和轉(zhuǎn)矩。km和cm分別表示嚙合剛度和嚙合阻尼，et為靜態(tài)傳遞誤差。

忽略制造誤差和幾何誤差的作用，只考慮剛度激勵，故靜態(tài)傳遞誤差為零，只存在動態(tài)傳遞誤差。

齒輪系統(tǒng)的動態(tài)傳遞誤差為

δ(t)=rbpθp(t)-rbgθg(t)，

(1)

輪齒間動態(tài)嚙合力為

(2)

式中，F(xiàn)d為輪齒間動載荷。

由齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)模型，建立其動力學(xué)微分方程為

(3)

采用Weber能量法[6]，求解齒輪的時變嚙合剛度。利用四階Runge-Kutta 法求解動力學(xué)微分方程，計算齒輪嚙合過程中的動載荷和齒輪副振動速度，并將結(jié)果代入彈流潤滑模型，求解齒輪的動態(tài)服役特性及其潤滑工況。

1.2 漸開線直齒輪的接觸參數(shù)

漸開線直齒輪的傳動模型如圖1所示，嚙合點K處的瞬時曲率半徑為

(4)

式中，Rp、Rg分別為主、從動輪在嚙合點的曲率半徑。

則綜合曲率半徑為

(5)

齒輪傳動過程中存在扭轉(zhuǎn)振動，這必然會引起兩輪齒表面的速度波動，兩輪齒表面的切向速度為

(6)

式中，Up和Ug分別為主、從動輪表面的切向速度，兩者的后一項表示由于動載荷的存在，齒輪表面速度的波動值。

兩當(dāng)量圓柱的卷吸速度為

U(t)=[Up(t)+Ug(t)]/2，

(7)

(8)

u為齒輪副振動速度，表示振動引起的卷吸速度的波動值。

2 彈流潤滑模型

2.1 基本控制方程

2.2.1 Reynolds方程

選取牛頓流體，考慮時變效應(yīng)的等溫線接觸彈流的雷諾方程[9]為

(9)

式中，p為油膜壓力(Pa)；h為油膜厚度(m)。

2.2.2 載荷方程

記w為單位長度上的載荷(N/m)，則壓力應(yīng)該滿足載荷方程：

(10)

式中，使用動力學(xué)模型時，w為齒輪動態(tài)嚙合力,w=Fd。

其他潤滑控制方程如黏壓方程、密壓方程、膜厚方程以及各方程的無量綱化見文獻[8]。

2.2 油膜剛度模型

圖3為全局法計算油膜剛度的模型，該方法是通過計算赫茲接觸區(qū)內(nèi)的油膜壓力分布與膜厚分布的改變量來獲得油膜剛度的。在赫茲接觸區(qū)域內(nèi)的每個節(jié)點處，可以將油膜假設(shè)成若干個并聯(lián)的“小彈簧”，然后將這些“小彈簧”的剛度進行疊加，從而得到整個接觸區(qū)域內(nèi)的油膜剛度。

利用全局法計算油膜剛度的具體計算公式為

(11)

式中，n1、n2分別表示進口區(qū)壓力產(chǎn)生、出口區(qū)壓力消失的節(jié)點，Δfi表示在節(jié)點i處，計算載荷fi與下一節(jié)點較重的載荷fi+Δfi的差值。Δfi=BepiΔx，Be為輪齒齒寬，為網(wǎng)格節(jié)點間距，對應(yīng)油膜厚度的改變量為Δhi=hi(fi)-hi(fi+Δfi)。該方法能夠捕捉到赫茲接觸區(qū)內(nèi)各網(wǎng)格節(jié)點的壓力和膜厚特征，具有一定的實用性。

相對于全局法，另一種計算油膜剛度的數(shù)值方法為平均膜厚法：

(12)

3 數(shù)值方法、結(jié)果與討論

編程進行數(shù)值求解，采用Weber能量法，求解齒輪的時變嚙合剛度。利用四階Runge-Kutta法求解齒輪的動力學(xué)方程。考慮上一瞬時計算結(jié)果對下一瞬時計算結(jié)果的影響，嚙合力和齒輪副振動速度的收斂條件是：下一瞬時的計算值與上一瞬時的計算值之差的絕對值不超過0.001。將動力學(xué)求解結(jié)果代入齒輪的彈流潤滑模型進行分析?；谟湍偠饶Ｐ?，分析油膜的剛度特性。

進行潤滑求解時，將潤滑控制基本方程量綱一化后進行離散。選取牛頓流體，油膜壓力的求解采用多重網(wǎng)格法[14]，彈性變形和油膜厚度的求解采用多重網(wǎng)格積分法[14]。壓力的計算域為Xin=-4.6，Xout=1.4，采用W循環(huán)，利用多重網(wǎng)格法進行計算，劃分網(wǎng)格共6層，每層節(jié)點數(shù)分別為31、61、121、241、481、961。每一瞬時壓力計算的迭代初值使用前一瞬時壓力迭代的結(jié)果，每層網(wǎng)格上均使用Gauss-Seidel低松弛迭代，迭代收斂判據(jù)為每個瞬時壓力和載荷的相對誤差小于0.001。油膜剛度的收斂判據(jù)為每一瞬時油膜剛度的相對誤差不超過0.000 1。

某航空用齒輪傳動和潤滑的基本參數(shù)見表1。

表1 齒輪傳動和潤滑的基本參數(shù) Tab.1 Basic parameters for gear and lubrication

3.1 動力學(xué)特性分析

圖4為齒輪傳動過程中嚙合剛度隨時間的變化曲線。A為嚙入點，B為單齒嚙入點，C為單齒嚙出點，D為嚙出點，在單雙齒嚙合的交替處(B、C兩點)，嚙合剛度值均存在突變，從而使齒輪系統(tǒng)產(chǎn)生換齒沖擊。

圖5(a)反映了齒輪傳動過程中動態(tài)傳遞誤差隨時間的變化規(guī)律。在單齒嚙合區(qū)和雙齒嚙合區(qū)，動態(tài)傳遞誤差的平衡值不同。傳動誤差動態(tài)響應(yīng)的平衡位置即為靜態(tài)傳動誤差，在齒輪剛度的突變處(B、C點)，由于存在剛度激勵，產(chǎn)生了阻尼振蕩效應(yīng)，并且其振蕩幅值隨著時間的推移越來越小。

圖5(b)所示為振動所引起的卷吸速度的波動值，即齒輪副振動速度的變化。從圖中可以看出，與傳遞誤差的情況相同，在單齒嚙合區(qū)，齒輪副振動速度較大，卷吸速度波動變化大。這是因為在單齒嚙合區(qū)，單對齒承載，所受載荷大，且嚙合剛度小。

與雙齒嚙合區(qū)相比，單齒嚙合區(qū)內(nèi)動態(tài)傳遞誤差和齒輪副振動速度的穩(wěn)態(tài)值及振幅均較大，動態(tài)傳遞誤差和齒輪副振動速度的這種變化規(guī)律可以反映出單齒嚙合區(qū)內(nèi)齒輪傳動的傳動平穩(wěn)性差。

3.2 潤滑特性分析

圖6為給定工況下基于動力學(xué)模型與靜載模型所計算的載荷譜。考慮振動時，齒輪的承載也呈現(xiàn)出衰減振蕩的變化規(guī)律。在單雙齒嚙合的交替處，齒輪載荷譜產(chǎn)生突變，這是由齒輪剛度的突變引起的。與雙齒嚙合區(qū)不同，在單齒嚙合區(qū)內(nèi)，由于嚙合剛度小，載荷的振幅較大。

圖7(a)、7(b)分別反映了最小油膜厚度和油膜壓力沿嚙合線的變化規(guī)律。無論是基于何種載荷模型進行求解，最小油膜厚度和中心壓力的分布基本是一致的。考慮振動時，油膜厚度和油膜壓力不是一條平滑的曲線，而表現(xiàn)為一定的“振蕩效應(yīng)”。這種“振蕩效應(yīng)”通常會引起齒輪潤滑供油量的“脈動變化”，對于齒輪潤滑是極為不利的。在B、C點，油膜壓力存在突變，A、B點油膜壓力的振幅較大，因此，嚙入點以及單雙齒嚙合的臨界點是齒輪彈流潤滑的危險點。

由以上分析，基于齒輪的動力學(xué)模型進行彈流潤滑的求解時，油膜壓力和油膜厚度表現(xiàn)出一定的動態(tài)特性，當(dāng)改變載荷和齒輪轉(zhuǎn)速時，油膜壓力、厚度的振幅和振頻應(yīng)當(dāng)不同。這種振幅和振頻的變化可以反映出油膜剛度隨載荷和齒輪轉(zhuǎn)速的變化。

為進一步說明動力學(xué)模型所反映出的油膜的動態(tài)特性，采用不同的齒輪載荷和轉(zhuǎn)速，使用已有的油膜剛度模型求解油膜剛度，同時與動力學(xué)模型的求解結(jié)果所反映出的油膜振蕩特性進行對比。

3.3 油膜剛度的討論

3.3.1 載荷對油膜剛度的影響

給定主動輪轉(zhuǎn)速np=1 600 r/min,分別取3種載荷：F=100 kN/m、120 kN/m、150 kN/m，首先求解3種載荷下齒輪的時變嚙合剛度，然后基于動力學(xué)模型求解3種工況下的油膜厚度。齒輪嚙合剛度和中心膜厚的求解結(jié)果分別由圖8～9。

從圖8中可以看出，在保證不失效的載荷作用范圍內(nèi)，隨著載荷的增大，齒輪的嚙合剛度增大。齒輪動力學(xué)的求解是以剛度激勵為基礎(chǔ)的，剛度的變化影響動力學(xué)模型的求解結(jié)果，動力學(xué)的求解結(jié)果會進一步影響油膜厚度和油膜壓力等潤滑特性的變化。

從圖9中可以看出，隨著載荷的增大，中心膜厚不斷減小；且其振幅也在逐漸減?。煌瑫r，振頻逐漸增高，這表明轉(zhuǎn)速一定時，油膜的剛度隨著載荷的增大而增大。

為了驗證上述結(jié)論，基于動力學(xué)模型與油膜剛度模型，求解不同載荷下的油膜剛度。齒輪節(jié)點處油膜剛度的求解結(jié)果如圖10所示。kave與kglo分別表示基于平均膜厚法與全局法計算的結(jié)果。如圖10所示，轉(zhuǎn)速一定時，隨著載荷的增大，油膜剛度不斷增大。這表明隨著載荷的增大，油膜難以被壓縮，這與文獻[15]中楊靜等的試驗結(jié)果也是一致的。

3.3.2 齒輪轉(zhuǎn)速對油膜剛度的影響

給定載荷F=100 kN/m，分別取主動輪轉(zhuǎn)速np=1 000 r/min、2 000 r/min、2 700 r/min，基于動力學(xué)模型，求解3種工況下的油膜厚度，結(jié)果如圖11所示。

從圖11中可以看出，油膜厚度隨轉(zhuǎn)速的增加而增大，但是其振幅卻明顯增大，這表明隨著齒輪轉(zhuǎn)速的增加，油膜剛度減小。

為了驗證上述結(jié)論，基于動力學(xué)模型與油膜剛度模型，進行不同轉(zhuǎn)速下油膜剛度的求解。kave與kglo分別表示基于平均膜厚法與全局法計算的結(jié)果。圖12(a)描述了載荷一定而轉(zhuǎn)速不同時，齒輪節(jié)點處油膜剛度隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律；圖12(b)描述了載荷一定而轉(zhuǎn)速不同時，齒輪嚙合線上各點油膜剛度的分布情況。從圖中可以看出，油膜剛度隨著轉(zhuǎn)速的增加而減小。

4 結(jié)論

考慮齒輪時變嚙合剛度的影響，基于靜載荷模型與齒輪動力學(xué)模型，分析齒輪的彈流潤滑特性；建立油膜的剛度模型，對動力學(xué)模型的求解結(jié)果加以驗證，得到如下結(jié)論：

1) 對齒輪系統(tǒng)進行彈流潤滑分析時，無論是采用簡化的靜載荷模型還是動力學(xué)模型，得到的齒輪載荷譜、油膜厚度以及油膜壓力的分布大致相同。對于低速輕載的齒輪系統(tǒng)，可使用簡化的靜載荷模型分析，但對于高速重載的齒輪系統(tǒng)，必須進行動力學(xué)分析。

2) 基于動力學(xué)模型進行齒輪的彈流潤滑分析時，油膜厚度和油膜壓力表現(xiàn)出一定的“振蕩效應(yīng)”，其振幅和振頻可以反映油膜的剛度特性，載荷和齒輪轉(zhuǎn)速的改變會影響其振幅和振頻。

3) 齒輪傳動過程中，轉(zhuǎn)速一定時，隨著載荷的增大，油膜的剛度增大；載荷一定時，隨著齒輪轉(zhuǎn)速的提高，油膜剛度減小。