常宇健，田沃沃，金 格，陳恩利，邢武策

(1.石家莊鐵道大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043)

0 引言

目前針對(duì)汽車懸架系統(tǒng)的主動(dòng)控制主要以線性阻尼模型為研究背景，并沒(méi)有考慮懸架系統(tǒng)中阻尼材料的記憶特性。因此國(guó)內(nèi)外學(xué)者利用分?jǐn)?shù)階模型能夠準(zhǔn)確描述物體記憶特性的優(yōu)點(diǎn)，將分?jǐn)?shù)階微積分引入到汽車懸架系統(tǒng)的建模和控制研究中。文獻(xiàn)[1]首次提出CRONE懸架模型，即利用分?jǐn)?shù)階模型替代傳統(tǒng)被動(dòng)懸架中線性彈簧和阻尼器模型。文獻(xiàn)[2-4]針對(duì)油氣懸架的整數(shù)階模型不能準(zhǔn)確描述其多相介質(zhì)力學(xué)特點(diǎn)，提出采用分?jǐn)?shù)階微積分理論建立其Bagley-Torvik方程，并驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階模型的可行性。文獻(xiàn)[5]將分?jǐn)?shù)階微分引入到液壓氣動(dòng)懸架系統(tǒng)建模中，并通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)證明了分?jǐn)?shù)階液壓氣動(dòng)懸架模型的有效性。文獻(xiàn)[6]提出一種能夠準(zhǔn)確描述空氣彈簧記憶特性的分?jǐn)?shù)階模型。文獻(xiàn)[7]利用分?jǐn)?shù)階模型描述磁流變阻尼器的阻尼特性，該模型比整數(shù)階模型具有更高的擬合精度。文獻(xiàn)[8]建立了MR阻尼器的分?jǐn)?shù)階模型，并且分析了該模型的動(dòng)力學(xué)特性。綜上所述，分?jǐn)?shù)階微積分理論在汽車懸架系統(tǒng)建模中具有更好的適用性及有效性，為今后分?jǐn)?shù)階懸架模型的研究奠定了基礎(chǔ)。

為了改善傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器的性能，文獻(xiàn)[9]提出了分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，由于增加了控制參數(shù)(λ和μ)使得比整數(shù)階PID控制具有更寬的整定參數(shù)范圍[10]。文獻(xiàn)[11-13]分別將分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制算法引入到列車自動(dòng)駕駛系統(tǒng)的速度控制、冷軋液壓伺服位置控制以及汽車電子節(jié)氣門的精確跟蹤控制中，研究結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制算法在速度和位置控制中能夠快速、準(zhǔn)確地跟隨輸入信號(hào)，并且能明顯抑制外在干擾和系統(tǒng)參數(shù)擾動(dòng)?；诜?jǐn)?shù)階PIλDμ控制具有良好的控制性能，眾多學(xué)者針對(duì)非線性懸架系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階PDμ[14-15]、PIλDμ[16-17]和IλDμ[18]控制器，研究結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制具有更靈活的調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)，能夠有效改善汽車的動(dòng)態(tài)性能。

雖然分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制在非線性懸架系統(tǒng)主動(dòng)控制中得到廣泛的研究與應(yīng)用，但是對(duì)于非線性分?jǐn)?shù)階懸架的主動(dòng)控制研究則相對(duì)較少。文獻(xiàn)[19-20]對(duì)汽車懸架系統(tǒng)中的線性阻尼成分進(jìn)行改進(jìn)，建立由分?jǐn)?shù)階阻尼和非線性彈簧組成的懸架系統(tǒng)，并采用整數(shù)階PID控制和分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制改善汽車的行駛性能。然而，該研究?jī)H僅以磁流變懸架系統(tǒng)為研究對(duì)象，而且忽略了分?jǐn)?shù)階磁流變Bingham模型中補(bǔ)償器產(chǎn)生的力和庫(kù)倫阻尼力，從而導(dǎo)致分?jǐn)?shù)階懸架模型的主動(dòng)控制研究具有一定的局限性。因此本文在包含線性剛度和線性阻尼的傳統(tǒng)懸架模型基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，增加了非線性剛度和分?jǐn)?shù)階阻尼，使分?jǐn)?shù)階懸架模型具有更廣的適用范圍。

本文基于分?jǐn)?shù)階微積分理論建立了1/4車二自由度非線性分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，采用遺傳算法對(duì)整數(shù)階PID控制器和分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，利用MATLAB/Simulink進(jìn)行主動(dòng)控制仿真研究，并與被動(dòng)控制懸架系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比分析。

1 非線性分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)建模

1.1 1/4車主動(dòng)控制懸架振動(dòng)模型

1/4車二自由度非線性分?jǐn)?shù)階主動(dòng)控制懸架系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

由圖1可知，非線性分?jǐn)?shù)階主動(dòng)控制懸架系統(tǒng)中彈性力包括一次線性恢復(fù)力和三次非線性恢復(fù)力，即

Fs=ks(zs-zu)+εks(zs-zu)3，

(1)

式中，zs為簧載質(zhì)量位移，zu為非簧載質(zhì)量位移，ks為彈簧剛度，εks為非線性彈簧剛度，ε為非線性系數(shù)。

主動(dòng)控制懸架系統(tǒng)中線性阻尼力為

(2)

式中，c為懸架等效阻尼系數(shù)。

分?jǐn)?shù)階微積分主要有3種定義方式[21]，即Riemann-Liouville、Grunwald-Letnikov和Caputo。本文利用Caputo分?jǐn)?shù)階微分描述懸架系統(tǒng)中的分?jǐn)?shù)階阻尼力，Caputo定義式為

(3)

其中，Γ(z)滿足Γ(z+1)=Γ(z)。

分?jǐn)?shù)階阻尼力為

Fc=hDp(zs-zu)，

(4)

式中，Dp是分?jǐn)?shù)階微分算子，h為分?jǐn)?shù)階系數(shù)，p為分?jǐn)?shù)階階次且滿足0≤p≤1。

根據(jù)牛頓第二定律建立該系統(tǒng)的微分方程為

(5)

式中，ms為簧載質(zhì)量，mu為非簧載質(zhì)量，zr為路面位移，kt為輪胎剛度，u為主動(dòng)控制力。

1/4車二自由度非線性分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)參數(shù)選取為ms=240 kg，mu=36 kg，ks=16 000 N/m，ε=0.1，c=1 650 N·s/m，kt=160 000 N/m，h=1 000，p=0.5[22]。

1.2 Oustaloup濾波器設(shè)計(jì)

為了方便利用MATLAB/Simulink對(duì)含分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的非線性懸架系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，本文利用Oustaloup濾波器算法[23]對(duì)懸架系統(tǒng)中分?jǐn)?shù)階微分算子近似計(jì)算，即在選定的頻率段(ωb,ωh)內(nèi)對(duì)sp近似替代，構(gòu)造Oustaloup濾波器為

(6)

式中，M為濾波器階次，濾波器的零點(diǎn)為

極點(diǎn)為

根據(jù)上述Oustaloup濾波器算法，構(gòu)造頻率段為(0.001 rad/s, 1 000 rad/s)，階次為M=5的Oustaloup濾波器。

1.3 隨機(jī)路面輸入建模

為了能夠真實(shí)反映汽車在實(shí)際路面的行駛性能，本文建立隨機(jī)濾波白噪聲數(shù)學(xué)模型作為1/4車二自由度非線性分?jǐn)?shù)階主動(dòng)控制懸架系統(tǒng)的輸入模型，即

(7)

式中，q(t)=zr(t)為路面位移，η1為下截止空間頻率，η1=0.011 m-1，v1為車速，v1=10 m/s，η0為參考空間頻率，η0=0.1 m-1，Gq(η0)為路面不平度系數(shù)，Gq(η0)=256×10-6m2/m-1，w(t)是均值為0、方差為1的Gauss白噪聲。

2 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器設(shè)計(jì)

為了提高汽車的行駛平順性和操縱穩(wěn)定性，本文以非線性分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)的車身加速度、懸架動(dòng)撓度和輪胎動(dòng)位移為控制量，并將其期望值均設(shè)置為0，分別設(shè)計(jì)3個(gè)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器進(jìn)行主動(dòng)控制研究。

構(gòu)造分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器參數(shù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

q3(zu-zr)2]dt，

(8)

式中，q1、q2、q3為加權(quán)系數(shù)，分別取0.5、0.3、0.2。

分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的輸入信號(hào)為

(9)

分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的輸出信號(hào)為

(10)

式中，kPi、kIi、kDi(i=1、2、3)分別為比例、積分和微分系數(shù)。

通過(guò)對(duì)式(10)進(jìn)行拉普拉斯變換可得分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器傳遞函數(shù)為

(11)

式中，sμ、s-λ為分?jǐn)?shù)階微積分算子，本文利用Oustaloup濾波器算法對(duì)其進(jìn)行近似計(jì)算。

因此，基于分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的非線性分?jǐn)?shù)階主動(dòng)控制的總控制律為

(12)

2.2 遺傳算法優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器

由于遺傳算法全局搜索能力較強(qiáng)，搜索效率較高，因此本文針對(duì)三個(gè)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器共有15個(gè)未知參數(shù)需要尋優(yōu)的情況，采用遺傳算法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)。遺傳算法參數(shù)優(yōu)化流程圖如圖2所示。

遺傳算法參數(shù)整定步驟如下：

1) 設(shè)置種群規(guī)模為150，迭代次數(shù)為N=50，交叉概率為0.6。

2) 采用實(shí)數(shù)編碼方式對(duì)種群中的個(gè)體進(jìn)行編碼。

3) 隨機(jī)生成若干個(gè)體組成的初始種群。

4) 計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)值。

5) 通過(guò)遺傳算法產(chǎn)生新種群。

6) 重新計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)值。

7) 判斷迭代次數(shù)是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，如果到達(dá)，則結(jié)束程序；否則返回第(4)步。

3 仿真分析

根據(jù)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)整數(shù)階PID控制器，并利用MATLAB/Simulink分別建立基于分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器和基于整數(shù)階PID控制器的主動(dòng)控制懸架仿真模型。兩種主動(dòng)控制懸架和被動(dòng)控制懸架的時(shí)域響應(yīng)對(duì)比分別如圖3～5所示，且3種懸架性能指標(biāo)均方根值如表1所示。

圖4 懸架動(dòng)撓度時(shí)域響應(yīng)對(duì)比
Fig.4 Comparison of suspension dynamicresponse in time domain

由表1可知，兩種主動(dòng)控制懸架分別使車身加速度降低到75.41%和80.56%、懸架動(dòng)撓度增加到103.62%和108.31%、輪胎動(dòng)位移降低到69.45%和79.97%。兩種主動(dòng)控制方式都能有效改善汽車懸架的性能，但是前者控制效果更為顯著，這是因?yàn)榕c整數(shù)階PID控制相比，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制增加了兩個(gè)參數(shù)λ和μ，從而具有更為靈活的調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)，控制效果更好。因此能夠更好地抑制懸架的振動(dòng)和減少路面對(duì)懸架的沖擊，但是由于這3個(gè)性能指標(biāo)相互制約相互影響，在改善非線性分?jǐn)?shù)階懸架舒適性時(shí)，使得懸架動(dòng)變形增大。

表1 3種懸架性能指標(biāo)均方根值表Tab.1 Root mean square values of three suspensionperformance indexes

分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制和整數(shù)階PID控制的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值隨遺傳代數(shù)的曲線圖如圖6所示。

由圖6可知，在遺傳優(yōu)化40代之后目標(biāo)函數(shù)趨于穩(wěn)定，而且整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制的目標(biāo)函數(shù)變化較小且目標(biāo)函數(shù)值更優(yōu)，因此分?jǐn)?shù)階PIλDμ在對(duì)非線性分?jǐn)?shù)階懸架進(jìn)行控制時(shí)更具有優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

本文基于分?jǐn)?shù)階微積分理論建立了一種更能準(zhǔn)確描述汽車懸架系統(tǒng)非線性及粘彈性特性的非線性分?jǐn)?shù)階懸架模型，并利用遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器和整數(shù)階PID控制器對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行主動(dòng)控制對(duì)比仿真研究。仿真結(jié)果表明，基于分?jǐn)?shù)階PIλDμ主動(dòng)控制懸架系統(tǒng)的性能指標(biāo)整體優(yōu)于整數(shù)階PID主動(dòng)控制，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了非線性分?jǐn)?shù)階懸架模型的合理性和分?jǐn)?shù)階PIλDμ主動(dòng)控制的有效性。