農(nóng)學(xué)寧

初中學(xué)業(yè)水平考試（簡稱中考）是我國義務(wù)教育階段的終結(jié)性考試，中考數(shù)學(xué)壓軸題因其分值高、難度大、考驗(yàn)學(xué)生綜合能力、能夠拉開學(xué)生成績差距即所謂區(qū)分度高而受到師生的重點(diǎn)關(guān)注.近年來，全國范圍內(nèi)的中考數(shù)學(xué)壓軸題都主選了拋物線型綜合題（又叫函數(shù)型綜合題），因此，對這類試題的命題和破題研究一直都在同步進(jìn)行：一方面是命題教師精心研究，秉持穩(wěn)中求變、變中求新的命題思想，努力尋求考查方式、考查內(nèi)涵上的突破;另一方面是一線教師精心研究題型變化，努力破解這一類試題的求解思路和方法. 2020年廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)中考數(shù)學(xué)拋物線型壓軸題從核心概念入手，注重考查考生對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)理解和關(guān)鍵能力習(xí)得，努力突破一線教學(xué)中模型僵化的應(yīng)試策略，在發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)方面進(jìn)行了一次有益的探索.本文擬從命題者角度，以2020年廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)中考數(shù)學(xué)拋物線型壓軸題的命制為例，與大家分享命制該題的立意和思路，希望能夠?qū)σ痪€教學(xué)研究帶來一些啟發(fā).

一、厘清命題立意

（一）題型分析

拋物線型綜合題考查的基礎(chǔ)知識主要是二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，并綜合平面幾何的證明與求值;涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要有待定系數(shù)法、函數(shù)與方程思想以及分類討論思想;問題設(shè)置主要有求角、線段長、面積、周長以及這些數(shù)學(xué)量的最值，還有關(guān)于特殊圖形（等邊三角形、直角三角形、平行四邊形等）的存在性討論.這類題型因其綜合性強(qiáng)、運(yùn)算量大，對學(xué)生的空間想象能力、分類與整合能力、分析問題和解決問題能力的要求都比較高.

（二）歷年命題思想中的問題分析

往年命制這類拋物線型綜合題，為了提高該題的區(qū)分度，命題教師往往關(guān)注以下“兩個著力”：一是著力在運(yùn)算量上提高要求，偏重于高中解析幾何思想方法的滲透;二是著力融合一些較高難度的幾何推理技巧，從中考查考生的綜合能力.然而，這兩種命題思路往往與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱課標(biāo)）中的有關(guān)要求相悖.

為了應(yīng)對第一個“著力”，一線教師在教學(xué)中不得不在代數(shù)運(yùn)算上對學(xué)生拔高要求，部分學(xué)校甚至?xí)诮虒W(xué)中增加高中解析幾何知識，這就在客觀上造成了初中生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過重，導(dǎo)致試題偏離考查的核心知識.事實(shí)上，解析幾何的基本思想與函數(shù)的思想并不相同：解析幾何是在直角坐標(biāo)系中，利用數(shù)形結(jié)合思想，把圖形問題代數(shù)化，通過代數(shù)計(jì)算得出代數(shù)結(jié)果，再將代數(shù)結(jié)果幾何化，最終得出幾何結(jié)論的過程;而函數(shù)思想是通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，再對該模型進(jìn)行研究的過程.

至于第二個“著力”，因其追求較高難度的幾何推理證明與求值，既會造成與試卷前面的問題類型重復(fù)，又因其過高的思維技巧而與初中教學(xué)導(dǎo)向背離.

（三）回歸課標(biāo)要求，實(shí)現(xiàn)命題立意上的守正創(chuàng)新

教育部在2019年底印發(fā)的《關(guān)于加強(qiáng)初中學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見》中明確指出：“初中學(xué)業(yè)水平考試的主要任務(wù)是衡量學(xué)生達(dá)到國家規(guī)定學(xué)習(xí)要求的程度，兼顧學(xué)生畢業(yè)和升學(xué)需要;試題命制既要注重考查基礎(chǔ)知識、基本技能，還要注重考查思維過程、創(chuàng)新意識和分析問題、解決問題的能力.”而課標(biāo)對函數(shù)及二次函數(shù)的學(xué)習(xí)要求包括：能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡單實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系;結(jié)合對函數(shù)關(guān)系的分析，能對變量的變化情況進(jìn)行初步討論;會用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象，通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì).

綜上，試題命制組確立了該題的命題立意：第一，試題應(yīng)考查函數(shù)的基本概念，即兩個變量之間的關(guān)系;第二，試題應(yīng)體現(xiàn)二次函數(shù)圖象的性質(zhì);第三，在變量的變化中體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想;第四，穩(wěn)中求變，變中求新，新中求異，有效規(guī)避一線教學(xué)中的各類備考模式;第五，以教材例題或練習(xí)為問題原型，堅(jiān)持教材學(xué)習(xí)和教材知識應(yīng)用的教學(xué)導(dǎo)向.

二、命題過程中的思考和試題打磨

（一）構(gòu)建模型的過程及問題分析

涉及二次函數(shù)的試題模型主要包括給出拋物線圖形和動點(diǎn)運(yùn)動兩種情況.鑒于第一種情況容易讓命題者陷入“兩個著力”的慣性思維誤區(qū)，于是，命題組決定將動點(diǎn)問題作為建模的起點(diǎn).其中單動點(diǎn)（單一的動點(diǎn)在某直線或曲線上運(yùn)動）模型比較常見，但問題是難以達(dá)到本題對區(qū)分度的要求，于是命題組決定以雙動點(diǎn)為主要命題思路，通過幾何畫板工具模擬建模.

第一次構(gòu)建模型，命題組想到了兩種構(gòu)建方式：一種是面積重合問題，一種是特殊圖形的構(gòu)建.

關(guān)于面積重合問題：如圖4，一個正方形與一個三角形相向運(yùn)動，以重合部分的面積（[s]）與[BE=t]建立函數(shù)關(guān)系，如圖5.

關(guān)于特殊圖形的構(gòu)建：如圖6，在拋物線上取一個動點(diǎn)B，與定點(diǎn)C連接，然后作BC的垂線AB交直線[l]于點(diǎn)A，連接AC，從而得到Rt△ABC，以Rt△ABC的面積（[s]）與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)（[t]）建立函數(shù)關(guān)系，如圖7.

以上兩種構(gòu)建方式中，前面的面積重合問題模型，因在歷年中考中廣泛采用，顯得問題形式不夠新穎，且右邊曲線的分段有三個部分，只要把三角形的面積[s]用[t]表示出來就可以，整個解題過程只涉及一種方法，解決問題的方式比較單一;而后面的特殊圖形構(gòu)建模型雖然方式新穎，所得到的函數(shù)不易想象，且當(dāng)Rt△ABC為等腰直角三角形時可以出現(xiàn)三種分類討論情況，但問題在于，圖7的拋物線出現(xiàn)了三次方，超出了中考考試的范圍.

于是，在第二次構(gòu)建模型時，命題組決定把思路調(diào)整為通過設(shè)計(jì)一個動點(diǎn)的線性變化來構(gòu)建一個二次函數(shù)模型，引導(dǎo)學(xué)生分類討論特殊圖形的存在性問題.具體構(gòu)建如下：如圖8，定直線[l1]，[l2]，定點(diǎn)C在[y]軸上，過[l2]上的動點(diǎn)A作[l1]上的垂線AB，連接AC，BC，構(gòu)成△ABC，于是三角形的面積（[s]）與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)（[t]）形成函數(shù)關(guān)系，如圖9.

通過幾何畫板模擬可以看出，這樣的模型將出現(xiàn)三種直角三角形存在性的情況（如圖10、11、12），有利于展開分類討論，且呈現(xiàn)的函數(shù)關(guān)系是學(xué)生可以理解、能夠探究的二次函數(shù)關(guān)系，符合預(yù)期的考查目標(biāo).

（二）合理設(shè)問

中考試題的設(shè)問需要考慮問題的目標(biāo)性、梯度性和連貫性.第一問，應(yīng)先求某一個特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，再順勢引出后面兩問;第二問，通過觀察兩個圖形的相關(guān)情況，發(fā)現(xiàn)兩個圖形的關(guān)聯(lián)性，探索[s]與[t]的關(guān)系，進(jìn)而求出圖9的函數(shù)解析式;第三問，對直角三角形的存在性問題進(jìn)行分類討論.

（1）當(dāng)[t]=3時，求出點(diǎn)B的坐標(biāo);

（2）[s]關(guān)于[t]的函數(shù)圖象為分段拋物線，如圖14所示，結(jié)合圖13、14的信息，求出[s]關(guān)于[t]的函數(shù)解析式;

（3）在[l2]上是否存在點(diǎn)A，使得△ABC是直角三角形？若存在，請求出此時點(diǎn)A的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

（三）細(xì)節(jié)打磨

細(xì)節(jié)打磨，主要是打磨題目的科學(xué)性、解法的連貫性，適當(dāng)控制題目的難度和梯度，注意題干表述的簡捷、流暢.

打磨1，科學(xué)性問題：當(dāng)[t]=-1或[t]=5時，△ABC不存在，因此在繪制圖14時，這兩處就不能以實(shí)心點(diǎn)的形式出現(xiàn)，而應(yīng)該是空心點(diǎn)（如圖15）.

打磨2，解法的連貫性：第一問當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同時，圖形過于特殊，對后續(xù)問題的啟發(fā)性不足，因此，可以把問題改為“當(dāng)[t]=2時，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)”.

打磨3，難度控制：第一問求點(diǎn)B的坐標(biāo)，需要經(jīng)過一系列運(yùn)算，為了減少書寫量，可以把問題簡化為“直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)”;第二問，由圖15可知，關(guān)于變量[s]與[t]的函數(shù)圖象是一個分段函數(shù)，學(xué)生沒有經(jīng)過高中階段的學(xué)習(xí)，很難求解這種函數(shù)的解析式，如此命題有“超綱”嫌疑，可以改為先給出函數(shù)的分段解析式，再通過待定系數(shù)法求出解析式中的常數(shù)值——如此設(shè)問，既免除了“超綱”嫌疑，又保留了通過在圖13中尋找合適的點(diǎn)進(jìn)行求解的探究過程，可謂一舉兩得.

（四）合成真題

三、在回顧與反思中提升對兩個導(dǎo)向的認(rèn)識

回顧2020年廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)中考數(shù)學(xué)壓軸題的命制過程，可以看到命題組在命題過程中的兩個重要導(dǎo)向.

（一）命題導(dǎo)向

1.緊扣核心概念.縱觀近幾年全國中考試卷中的拋物線型綜合題，基本都是平面幾何的知識點(diǎn)，在試題中披上二次函數(shù)的外殼，問題設(shè)計(jì)思路則是利用代數(shù)方法解決幾何問題，或者純粹利用幾何知識進(jìn)行推理來解決幾何問題.這樣的考查思路在不知不覺中已經(jīng)偏離了拋物線問題的核心思想——函數(shù)思想.而本年度的拋物線型綜合題設(shè)計(jì)，其創(chuàng)新之處在于，把動點(diǎn)問題與函數(shù)的變量關(guān)系對應(yīng)起來，讓學(xué)生可以充分感知函數(shù)概念的本意即兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，并嘗試應(yīng)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)知識解決問題.命題立意緊扣知識的核心意義即核心概念，而不強(qiáng)求解題技巧如何繁雜，有效破解了一線應(yīng)試教學(xué)中的各種僵化套路.

2.用好教材習(xí)題.本題的設(shè)計(jì)思路在初中人教版教材中均可找到問題的原型，如九年級上冊第41頁習(xí)題22.1第8題、第52頁習(xí)題22.3第6題和第7題、第57頁復(fù)習(xí)題22第9題等.本題正是從這些題源中抽取到了此類試題的核心思想，通過模型變化拓展而來.解決這一類問題的方法和思路，也是教材上的通法和基本的數(shù)學(xué)思想方法，如待定系數(shù)法、模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等.

（二）教學(xué)導(dǎo)向

1.注意問題分析與推理，確保分類討論思想的完備性.對于存在性問題，在初中階段教學(xué)中，教師常常是先讓學(xué)生在圖中尋找符合條件的情況，再讓學(xué)生進(jìn)行證明.將這樣的方法用于應(yīng)試，極易導(dǎo)致部分學(xué)生在實(shí)際做題過程中丟失某些分類情況.比如本年度的這道壓軸題，對于命題者有意加入的“不存在”情況，絕大多數(shù)學(xué)生都“粗心地”漏掉了.之所以出現(xiàn)這樣的情況，是因?yàn)閷W(xué)生在解決這一類問題時解題思路上有問題：原本應(yīng)該從問題分析與推理入手，在解題過程中做到把幾何問題與代數(shù)運(yùn)算相結(jié)合，利用一元二次方程根的個數(shù)或勾股定理的代數(shù)式即可解決，而不應(yīng)僅從幾何作圖的角度進(jìn)行簡單的直觀想象，進(jìn)而脫離了函數(shù)學(xué)習(xí)的本質(zhì).當(dāng)然，不可否認(rèn)，直觀想象也是學(xué)生有待發(fā)展的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一.

2.注重數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力的培養(yǎng).數(shù)學(xué)核心概念及其思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心.概念的理解源于教學(xué)中對知識發(fā)生發(fā)展過程的充分體驗(yàn)，學(xué)生只有在探索、體驗(yàn)的過程中不斷嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法去解決問題，才能慢慢感受到數(shù)學(xué)的魅力，掌握附著在數(shù)學(xué)知識中的核心的數(shù)學(xué)思想方法.這就要求教師，在平時的教學(xué)中充分利用教材中的各種教學(xué)資源，深度挖掘這些資源中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，注重培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)中的關(guān)鍵能力.

（責(zé)編 白聰敏）