陳超群

摘要：直觀想象是學(xué)生能借助圖形解題。培養(yǎng)學(xué)生直觀想象最常見的課堂途徑就是通過與函數(shù)圖像的數(shù)形結(jié)合。本文以橢圓的定義域標(biāo)準(zhǔn)方程建構(gòu)為核心，依據(jù)教學(xué)目標(biāo)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和心理發(fā)展規(guī)律，從直觀動(dòng)手到圖形，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，形成定義、方程推導(dǎo)、化簡方程、概念應(yīng)用四個(gè)方面設(shè)計(jì)課堂，在問題解決的過程中，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

關(guān)鍵詞：直觀想象；抽象概括；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2020）07-0145

深化課程改革，經(jīng)專家研討、征詢、論證，提出了六大核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。從大方面講，核心素養(yǎng)是深化基礎(chǔ)教育改革、落實(shí)素質(zhì)教育目標(biāo)的關(guān)鍵要素，是素質(zhì)教育研究的再出發(fā)；從學(xué)科教育教學(xué)層面講，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是保障數(shù)學(xué)學(xué)科育人的關(guān)鍵。直觀想象是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要維度。

課堂教學(xué)中如何在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下設(shè)計(jì)教學(xué)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)呢？筆者認(rèn)為，課堂以數(shù)學(xué)知識(shí)的探究學(xué)習(xí)為載體，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，思考如何提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為需要。教師關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和發(fā)展的過程、數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理過程、數(shù)學(xué)探究過程以及數(shù)學(xué)文化的滲透與培養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。本文以人教A版《數(shù)學(xué)》（選修2-1）“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”（第一課時(shí)）的教學(xué)為例，以直觀想象核心素養(yǎng)為主，分享這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)和思考。

一、研究課程目標(biāo)，融入直觀想象

直觀是通過對(duì)客觀事物的直接接觸，而獲得感性認(rèn)識(shí)的一種方式，是數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中可借圖發(fā)揮，和學(xué)生一起觀察、分析問題的方式。需要通過后天的學(xué)習(xí)和教化才能形成的。

想象是人腦對(duì)已有表象進(jìn)行加工改造而形成新形象的心理過程，是以表象為內(nèi)容的特殊的思維活動(dòng)。

“2017年版課標(biāo)”第6頁：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，借助空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，建構(gòu)數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決數(shù)學(xué)問題的思路。

“2017年版課標(biāo)”第44頁：本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程；掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程。橢圓一定要掌握，用橢圓的研究思路去類比學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線，提供研究模式和理論基礎(chǔ)。本節(jié)課是圓錐曲線的起始課，這節(jié)課是否掌握影響圓錐曲線整章的學(xué)習(xí)效果。

筆者分析圓錐曲線是學(xué)生學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)》（必修二）第二章直線與方程、第三章圓與方程后，學(xué)生初步掌握了研究解析幾何的方法，在直角坐標(biāo)系中研究了直線和圓的幾何特征。運(yùn)用代數(shù)的方法進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓錐曲線的性質(zhì)。

教學(xué)目標(biāo)：通過演示畫橢圓，抽象出橢圓的定義（數(shù)學(xué)抽象、直觀想象）；建系推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，使學(xué)生進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法（數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理），并滲透數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想方法，提高運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力。運(yùn)用橢圓的知識(shí)解題即例題分析（數(shù)學(xué)運(yùn)算），課后學(xué)生寫橢圓的反思（數(shù)學(xué)文化）、撰寫小論文；用類比的方法學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線。教學(xué)目標(biāo)制定要研究教材的整體性，思考這節(jié)課在本單元中的地位和作用。關(guān)注學(xué)生，從學(xué)生的學(xué)情出發(fā)，可操作性、可測量。要融入核心素養(yǎng)、突出重點(diǎn)、難點(diǎn)。教學(xué)目標(biāo)在教學(xué)活動(dòng)中具有導(dǎo)向作用。筆者上橢圓前提前布置作業(yè)：先預(yù)習(xí)P38橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。同時(shí)，筆者在教室放四塊美術(shù)課用的畫板，準(zhǔn)備好、鉛筆、白紙、繩子和圖釘，讓學(xué)生在校園內(nèi)或生活中找橢圓、畫橢圓。并分小組做好記錄。

二、注重概念形成落實(shí)核心素養(yǎng)

史寧中教授說過：“數(shù)學(xué)知識(shí)的形成依賴于直觀，數(shù)學(xué)知識(shí)的確定依賴于推理?！币簿褪钦f，在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來的而不是“證”出來的。所謂“看”是一種自覺判斷，這種直覺判斷建立在長期的、有效能的觀察和思考的基礎(chǔ)上。一節(jié)有效的課堂厘清學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)課，積極參與課堂活動(dòng)，落實(shí)以學(xué)生為主體的教學(xué)理念。在本節(jié)課的教學(xué)活動(dòng)中，筆者以橢圓的定義為核心，依據(jù)教學(xué)目標(biāo)及其標(biāo)準(zhǔn)方程為核心，依據(jù)教學(xué)目標(biāo)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和心理發(fā)展規(guī)律，從形成定義、推導(dǎo)方程、化簡方程、概念應(yīng)用四個(gè)方面設(shè)計(jì)問題，在解決過程中，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

1.動(dòng)手直觀成曲線，推理想象成概念

首先交流周末作業(yè)。

交流一，找到的橢圓：鏡子、草坪、標(biāo)語牌、圓柱、圓臺(tái)形的玻璃杯傾斜的液面等；想象的橢圓有行星運(yùn)行的軌道，圓的直觀圖；電腦里找到很多橢圓的圖形。

交流二，畫橢圓，第一種：在畫板上，根據(jù)橢圓的定義畫的橢圓；第二種：電腦上用幾何畫板畫橢圓。

小結(jié)：生活中有很多橢圓的例子，我們要用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)。圓柱形的玻璃杯的傾斜的液面，這個(gè)橢圓很好，當(dāng)杯子平放時(shí)是一個(gè)圓，傾斜是一個(gè)橢圓。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言：一個(gè)圓柱面，平放時(shí)即用一個(gè)平行于底面的截面去截圓柱面，截得圓；用傾斜的面去截，截得橢圓。高考欣賞：（2008浙江理科第10題）如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）

A.圓B.橢圓

C.一條直線D.兩條平行直線

點(diǎn)評(píng)：因?yàn)椤鰽BP的面積為定值，所以點(diǎn)P的軌跡是圓柱面，又因?yàn)辄c(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)P是橢圓。

教師：準(zhǔn)備好一個(gè)茶葉罐，上蓋是傾斜的。我直接把（蓋子）斜面在紙上畫下來，展示是一橢圓。圓臺(tái)形的杯子，圓臺(tái)形的杯子所在的面延長，是一圓錐面。教師用PPT展示圓錐面，用一個(gè)垂直于圓錐軸的平面截圓錐，截口曲線是圓。那橢圓是怎么截得呢？

學(xué)生A：平面不垂直軸時(shí)是橢圓。

教師：一定嗎？馬上展示：當(dāng)平面與圓錐母線平行時(shí)，得到截扣曲線是不封閉的，不是橢圓？當(dāng)平面和圓錐對(duì)稱軸平行時(shí)，得到的截口曲線有上下兩支，也是不封閉的，它又是什么曲線呢？

學(xué)生B：他馬上翻書，后面是雙曲線，拋物線。也是本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

筆者：用一個(gè)不垂直于圓錐軸的平面截圓錐面，當(dāng)截面與圓錐夾角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線。我們通常把圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線。這就是這一章標(biāo)題是圓錐曲線與方程的原因。

交流三，畫板上的橢圓交流，畫出的每個(gè)橢圓大小不一樣？筆者請(qǐng)其中一組交流。學(xué)生很快畫好橢圓。筆者用幾何畫板畫橢圓，讓學(xué)生感受橢圓的動(dòng)態(tài)生成。兩定點(diǎn)為F1，F(xiàn)2。

教師：在畫橢圓時(shí)，哪些量是變的，哪些量是不變的？

小組長：繩子的長不變，兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2間距離||F1F2不變。

教師：繩子的長和兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離||F1F2有什么關(guān)系？

小組長：繩子的長大于兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離||F1F2。

教師：繩子長等于兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離||F1F2，是什么軌跡？

小組長：就畫不出橢圓，線要多一點(diǎn)，這時(shí)軌跡是兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2之間的線段。

教師：繩子長小于兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離||F1F2，軌跡是什么？

小組長：沒有圖形，不可能。

教師：是的，軌跡不存在。從而和學(xué)生一起歸納得出橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離等于常數(shù)（大于||F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。

設(shè)計(jì)意圖：先從現(xiàn)實(shí)生活中找橢圓，畫板上動(dòng)手畫橢圓，動(dòng)態(tài)演示，真切感受橢圓的形成過程，學(xué)生由直觀形象抽象概括形成橢圓的定義。通過直觀感知、歸納推理和抽象概括等思維活動(dòng)，提升學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)。

2.建系設(shè)點(diǎn)，推導(dǎo)方程，落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)

首先：建系設(shè)點(diǎn)

設(shè)計(jì)意圖：例1是利用橢圓的定義判斷點(diǎn)的軌跡是否為橢圓、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。通過學(xué)生探索，使學(xué)生加深對(duì)橢圓概念的理解，理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b，c的關(guān)系。學(xué)會(huì)用定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。通過例題講解，培養(yǎng)學(xué)生做圓錐曲線題的基本方法：建坐標(biāo)系畫圖，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)，通過求解標(biāo)準(zhǔn)方程培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

三、直觀想象數(shù)學(xué)反思

1.課前準(zhǔn)備思考

橢圓是圓錐曲線這一章的起始課，這節(jié)課是否聽懂，影響整章學(xué)習(xí)的興趣。筆者從學(xué)生的學(xué)情和學(xué)校的教學(xué)進(jìn)度考慮，布置一個(gè)課外學(xué)生能完成的作業(yè)。讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，可以發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)的模型。通過動(dòng)手畫橢圓，幾何畫板展示，讓學(xué)生感知橢圓的形成，充分尊重學(xué)生的認(rèn)知心理和認(rèn)知規(guī)律，使一切教學(xué)活動(dòng)服從于知識(shí)的合理延伸，服從于學(xué)生思維的步步深入，這樣做符合數(shù)學(xué)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，更返璞歸真。

2.課中探究思考

先分析課前作業(yè)，動(dòng)手畫橢圓、幾何畫板演示橢圓，創(chuàng)設(shè)知識(shí)性和趣味性的情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生找橢圓、畫橢圓的過程中，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。讓學(xué)生直觀感知橢圓的形成。通過不同的實(shí)物橢圓，抽象到數(shù)學(xué)中的模型，通過圓柱、圓臺(tái)的玻璃杯的液面，引出圓錐曲線的由來，學(xué)生理解了三種曲線都是不同平面從圓錐面上截得。凸顯本課的主題，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

學(xué)生從橢圓的發(fā)現(xiàn)到橢圓的定義，過渡極為自然，學(xué)生易接受。為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，教師要巧設(shè)疑問，活躍課堂氛圍，凸顯學(xué)生的主體性，通過學(xué)生的自主分析和探究，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，課堂提倡學(xué)生自主探究，教師應(yīng)該成為課堂的組織者和引導(dǎo)者。

3.課后數(shù)學(xué)文化

筆者設(shè)計(jì)研究橢圓的方法，用類比的方法畫雙曲線。在畫板上畫，筆者用吸管代替拉鏈，學(xué)生可以畫出雙曲線。筆者用下面的習(xí)題，用幾何畫板畫橢圓，讓學(xué)生理解橢圓的畫法。（選修2-1課本第49頁第7題：圓O半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？）課后學(xué)生自己畫一圓，可以按照題目折出橢圓，進(jìn)一步激起學(xué)生學(xué)習(xí)橢圓的興趣。當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí)，點(diǎn)Q軌跡就是雙曲線。用類比的方法研究雙曲線。

拓展思考：傾斜蓋子的茶葉罐，筆者在罐子外貼一張紙，把曲線畫下來，有興趣的學(xué)生可以證明，是一正弦曲線，并寫成小論文。

四、結(jié)束語

教學(xué)中一定要精心備課，深入鉆研課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際，以學(xué)生為主體，一定要充分利用一切可供想象的空間來教學(xué)，對(duì)教學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行充分挖掘，利用有效的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象力，促進(jìn)學(xué)生從題目想到圖形，又從圖形解釋題目的過程。要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題，周密考慮、精心安排學(xué)生活動(dòng)，設(shè)計(jì)每一節(jié)課，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升目標(biāo)落實(shí)到教學(xué)中。

參考文獻(xiàn)：

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[3]倪樹平.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下課堂教學(xué)設(shè)計(jì)之思考——以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)為例[J].數(shù)學(xué)通訊，2018（8）：23-27.

（作者單位：浙江省桐鄉(xiāng)第二中學(xué)314511）