喬宗敏

(合肥師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 合肥 230601)

分數(shù)階混沌系統(tǒng)的控制與同步在保密通訊、信息安全領(lǐng)域有廣泛的應用[1].由于動力系統(tǒng)普遍存在的時滯現(xiàn)象，分數(shù)階時滯系統(tǒng)的控制與同步成為一個具有挑戰(zhàn)性的問題，近年來人們提出了許多分數(shù)階時滯微分方程的控制和同步方法[2-7].但是由于分數(shù)階時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性條件難以驗證和數(shù)值方法的限制，當前對分數(shù)階時滯混沌系統(tǒng)的控制與同步的研究相對較少.

滑?？刂凭哂袑Ψ蔷€性系統(tǒng)的良好控制性能，被廣泛應用于線性與非線性系統(tǒng).由于系統(tǒng)的特性和參數(shù)只取決于設(shè)計的切換超平面,而對參數(shù)變換和擾動不敏感，所以滑模變結(jié)構(gòu)控制具有很強的魯棒性，近來滑?？刂品椒ㄒ驯粦糜诜謹?shù)階微分方程的控制和同步研究[8-9].

論文研究一類分數(shù)階時滯混沌系統(tǒng)的滑模控制同步問題.根據(jù)滑膜控制的思想，基于時滯系統(tǒng)設(shè)計分數(shù)階滑膜面和滑膜控制器,在保證滑膜面穩(wěn)定的條件下，得到了等效誤差控制系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，并通過數(shù)值模擬來驗證所提方法的有效性.

1 預備知識

分數(shù)階微積分導數(shù)的定義主要有3種：Riemann-Liouville, Grünwald-Letnikov和Caputo導數(shù).論文用到的Caputo導數(shù)[10]定義如下

Dαx(t)=Jm-αxm(t),α>0，

其中：m=[α]，為第一個不大于α的整數(shù)，xm(t)是x(t)的m階導數(shù).

Jβ是β階Riemann-Liouville積分算子，即

其中：Γ(·)是Gamma函數(shù).

引理[11]分數(shù)階時滯微分方程

其中：v(t)∈，t∈[0,+∞]是非負連續(xù)函數(shù);φ(t)≥0,t∈[-τ,0]，滿足-a+b<0.則方程的零解是漸近穩(wěn)定的.

2 分數(shù)階時滯系統(tǒng)

考慮以如下分數(shù)階時滯系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)[12]

(1)

其中:分數(shù)階導數(shù)α=0.97;系統(tǒng)參數(shù)a=3,b=0.1,c=1,τ=0.06;初值為x1(0)=-2,y1(0)=5,z1(0)=1.根據(jù)預估-校正算法，用MATLAB求得系統(tǒng)數(shù)值解.圖1為分數(shù)階時滯系統(tǒng)(1)的混沌狀態(tài)圖，由圖1知系統(tǒng)(1)是混沌的.

圖1 分數(shù)階時滯系統(tǒng)(1)的混沌狀態(tài)圖

系統(tǒng)(1)可以改寫為向量形式

Dαx(t)=Ax(t)+Bx(t-τ)+f(x,x(t-τ))，

響應系統(tǒng)為

Dαy(t)=Ay(t)+By(t-τ)+f(y,y(t-τ))+u(t)，

(2)

其中：y(t)=[y1,y2,y3]T為響應系統(tǒng)的狀態(tài)矢量，u(t)是控制項.

定義e(t)=y(t)-x(t)，則誤差系統(tǒng)為

Dαe(t)=Ae(t)+Be(t-τ)+F(x,y)+u(t)，

(3)

其中

F(x,y)=f(y,y(t-τ))-f(x,x(t-τ)).

對誤差系統(tǒng)(3),考慮如何設(shè)計合理的控制器u(t)∈3,使得系統(tǒng)(3)漸近穩(wěn)定，即滿足

從而實現(xiàn)上述時滯驅(qū)動系統(tǒng)(1)與響應系統(tǒng)(2)的同步.

3 分數(shù)階滑?？刂破髟O(shè)計

滑模變結(jié)構(gòu)控制的原理，是根據(jù)系統(tǒng)所期望的動態(tài)特性來設(shè)計系統(tǒng)的切換超平面，通過滑動模態(tài)控制器使系統(tǒng)狀態(tài)從超平面之外向切換超平面收縮.系統(tǒng)到達切換超平面，控制作用將保證系統(tǒng)沿切換超平面到達系統(tǒng)原點.按照主動控制設(shè)計思路，控制輸入向量u(t)為

u(t)=Kw(t)-F(x,y),

(4)

其中:K=[k1,k2,k3]T是常數(shù)向量，w(t)∈為控制輸入且滿足

將(4)式代入(3)式可得誤差系統(tǒng)為

Dαe(t)=Ae(t)+Be(t-τ)+Kw(t)，

(5)

其中：S=S(e)為滿足需要的動態(tài)切換平面.

根據(jù)滑膜控制理論[13]，采用分數(shù)階積分形式的滑模面

S(t)=CDα-1e(t)，

(6)

其中：C=[c1,c2,c3]是常數(shù)向量.當?shù)竭_滑膜面時，滿足滑膜面穩(wěn)定條件

(7)

由(5)，(7)式可得

(8)

因此等效控制weq=-(CK)-1CAe(t)-(CK)-1Be(t-τ)，使得狀態(tài)軌跡保持在切換面.

為了保證系統(tǒng)狀態(tài)遠離切換超平面時能較快速地趨近S=S(e)，需要適當選擇切換控制率wd，這里采用一般滑膜控制器滑膜控制律

(9)

其中：sgn(·)表示符號函數(shù)；μ>0,η>0是常數(shù)，其選擇滿足滑膜條件并且保證了滑膜運動能夠發(fā)生.

由(7)，(9)式可得轉(zhuǎn)換控制為

wd(t)=-(CK)-1(μS+ηsgn(S))，

從而得到控制輸入

w(t)=wd(t)+weq=-(CK)-1CAe(t)-(CK)-1CBe(t-τ)-(CK)-1(μS+ηsgn(S)).

(10)

證明考慮如下李雅普諾夫函數(shù)

則由(5)式可得

ST(t)(-μS-ηsgn(S))=-μ‖S(t)‖2-η‖S(t)‖≤0.

由李雅普諾夫穩(wěn)定理論知滑膜面是漸近穩(wěn)定.

在到達滑膜面時，等效控制系統(tǒng)為

Dαe(t)=A*e(t)+B*e(t-τ)，

(11)

其中

A*=A-K(CK)-1CA,B*=B-K(CK)-1CB.

選擇適當C,K就可以保證等效誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，有下面的定理2.

定理2若存在C,K，使得A*+A*T+B*B*T+I<0，則誤差系統(tǒng)(5)零解漸近穩(wěn)定，從而分數(shù)階時滯混沌驅(qū)動系統(tǒng)(1)與響應系統(tǒng)(2)同步.

證明構(gòu)造系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)

V(t)=eT(t)e(t)，

則由引理1知，V(t)沿系統(tǒng)(10)的分數(shù)階導數(shù)為

DαV(t)≤2eT(t)Dαe(t)≤2eT(t)(Ae(t)+Be(t-τ))≤

2eT(t)(A*e(t)+B*e(t-τ))≤2eT(t)A*e(t)+2eT(t)B*e(t-τ)≤

eT(t)(A*+A*)e(t)+eT(t)B*B*Te(t)+eT(t-τ)e(t-τ)≤

eT(t)(A*+A*T+B*B*T)e(t)+eT(t-τ)e(t-τ)，

如果A*+A*T+B*B*T+I<0，則存在a<1,b=1，有不等式

DαV(t)≤-aeV(t)+bV(t-τ)，

再由引理1知等效誤差控制系統(tǒng)(10)零解漸近穩(wěn)定，從而可以實現(xiàn)分數(shù)階時滯系統(tǒng)的滑膜控制同步.

4 數(shù)值仿真

為了驗證滑膜控制同步方法的有效性，在誤差系統(tǒng)到達滑模面時，結(jié)合線性矩陣不等式的數(shù)值解法，選取控制器參數(shù)K=[-6,-1,-9]T,C=[2,3,5],滿足定理2的條件

A*+A*T+B*B*T+I<0,

從而等效誤差控制系統(tǒng)(10)零解漸近穩(wěn)定.

對系統(tǒng)進行MATLAB仿真時，驅(qū)動系統(tǒng)初值x(0)=[0.1,2,0.5]T，響應系統(tǒng)初值為y(0)=[-1,-2,-2]T.圖2(a)～(c)分別是系統(tǒng)各狀態(tài)變量的同步情況，圖3(a)～(c)分別是誤差系統(tǒng)狀態(tài)變量隨時間的變化曲線，圖3(d)是滑膜面隨時間的變化曲線.由于采用的是符號函數(shù)切換控制器，所以滑膜面曲線有振動現(xiàn)象[13-14]，如果選取其他連續(xù)切換控制器，便可以消除此振動現(xiàn)象.仿真結(jié)果表明，所設(shè)計的滑膜控制和同步方法是有效的.論文方法可以推廣到其他分數(shù)階時滯混沌系統(tǒng)的控制和同步，另外也可以進一步研究帶有不確定項和外部擾動條件的滑膜控制和同步.

圖2 驅(qū)動和響應系統(tǒng)各狀態(tài)變量的同步情況

圖3 驅(qū)動和響應系統(tǒng)的誤差隨時間變化的曲線