嚴卿

摘 要：規(guī)律是世界萬物運動與變化中存在的本質、必然的聯(lián)系，也是數和形固有的特征或關系。探索規(guī)律是一種十分重要的數學活動，有助于學生抓住數學知識的本質和內在聯(lián)系，進行全面、深入、靈活的思考，透過紛繁復雜的表象發(fā)現(xiàn)內在規(guī)律，為進行更高水平的數學研究和科學創(chuàng)造打好基礎。在探索規(guī)律的教學中，不能僅僅把規(guī)律內容作為教學的重點，而要讓學生經歷規(guī)律的探究過程，掌握科學探索規(guī)律的方法，積累嚴謹論證規(guī)律的經驗，建立規(guī)律之間的整體聯(lián)系。這樣的學習活動才能幫助學生提高探索規(guī)律的能力，體會規(guī)律背后蘊含的數學思想方法，有效地發(fā)展思維水平，提升數學素養(yǎng)。

關鍵詞：感悟規(guī)律;推理論證;驗證

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 收稿日期：2020-04-15 文章編號：1674-120X（2020）27-0068-02

一、猜想—驗證—論證，萌發(fā)探究規(guī)律的方法

運用精心設計的學習材料，使學生在發(fā)現(xiàn)和探究的過程中，養(yǎng)成嚴謹思考的習慣，形成完整科學的探究方法，勝過探索發(fā)現(xiàn)或邏輯推理本身的價值。人們在科學研究中，習慣從已有的知識經驗出發(fā)，先大膽猜想，再進行驗證和推理?！安孪搿炞C”已成為現(xiàn)代科學研究中常用的方法。建立猜想的過程本質上就是由特殊到一般，由具體到抽象的歸納推理過程。引導學生從具體的數據或數學現(xiàn)象出發(fā)進行猜想和驗證，有助于他們感受探索規(guī)律的一般過程和主要特點，逐步增強探究意識，發(fā)展探索規(guī)律的能力。

在研究兩個自然數之和的奇偶性時，教師帶領學生玩拋骰子、轉轉盤的游戲。學生只要將拋骰子得到的數加在一起，并在轉盤上找到對應的結果，就能領取獎品。學生玩了幾次都沒有中獎，他們在失望的同時都很想弄清其中的奧秘。有的學生發(fā)現(xiàn)，獎品只對應著轉盤上的奇數，偶數對應的都是“謝謝參與”。無論拋骰子得到幾，加一遍的結果都是偶數。有的學生提出，只有將骰子連續(xù)拋兩次并將兩次拋到的數相加，才有可能獲獎。教師請學生思考，“兩個數相加之和可能是奇數還是偶數呢？怎樣研究這個問題呢？”學生對偶數加偶數、奇數加奇數、偶數加奇數這三種不同的情形進行了計算，并提出了猜想：偶數加偶數等于偶數，奇數加奇數等于偶數，奇數加偶數等于奇數。并對應猜想列舉 12+18=30，13+27=40，21+36=57 等算式進行驗證。教師請學生思考，“離開具體的算式，怎樣證明任意兩個自然數都符合這個規(guī)律？”學生通過畫圖把偶數表示成若干個2的和，把奇數表示成若干個2與1的和。偶數加偶數，結果還是若干個2，所以和一定是偶數。奇數加奇數， 兩個1合起來是一個2，兩個奇數的和就變成了若干個2，和一定是偶數;奇數加偶數，和仍是若干個2加1，和一定是奇數。

教師通過數學游戲引導學生計算任意兩個自然數的和，猜想和的奇偶性規(guī)律，意在引導學生對和的奇偶性規(guī)律進行簡單歸納以便進一步驗證。學生借助具體數據舉例驗證，證明了猜想的正確性，又從奇數和偶數的普遍意義出發(fā)，通過演繹推理對規(guī)律的合理性與科學性進行論證，從一般的角度增加了規(guī)律的可靠性。

授之以魚，只供一飯之需;授之以漁，則終身受用無窮。正確的研究方法是科學探究規(guī)律的前提，對學生的數學思考和思維發(fā)展意義重要而深遠。教師需引導學生對學習材料進行充分的觀察和比較，在探究過程中為學生提供猜想的空間，確立“大膽猜想，小心求證”的研究思路，使學生找到系統(tǒng)研究規(guī)律的路徑，豐富探究活動的經驗。在驗證猜想的基礎上，還要引導學生以基本的數學概念和方法為切入點，對規(guī)律的科學性與合理性進行更為嚴密的論證，培養(yǎng)學生嚴謹的思維品質。學生只有完整經歷了“猜想—驗證—論證”的過程，探究規(guī)律的科學方法論的種子才會在內心悄然萌發(fā)。

二、歸納—反思—推理，感悟規(guī)律的科學合理

數學是研究模式和規(guī)律的基礎科學。用數學的眼光發(fā)現(xiàn)事物之間的聯(lián)系，并科學地探究規(guī)律是學生具有良好思維品質的重要表現(xiàn)。學生在提出猜想之后，通過舉例、測量、計算、畫圖等方式驗證猜想，歸納規(guī)律，歸根到底沒有脫離具體的數據，其驗證的對象也是一些特殊的學習材料。我們應該努力超越簡單歸納，從普通的角度培養(yǎng)學生的推理能力，得出一般的結論，使學生對規(guī)律的合理性與普適性形成更為深刻的體驗。學生只有經歷從依靠具體數據或圖形進行初步驗證到根據定義和公理進行一般化推理論證的轉變，才能觸摸到數學的本質，形成嚴謹推理、嚴密論證的數學品格。

以探索多邊形的內角和為例，學生將多邊形分割成若干個三角形，在研究了四邊形、五邊形、六邊形的內角和后，發(fā)現(xiàn)多邊形內角和可以由分成的三角形個數乘180°得到，且三角形的個數等于多邊形的邊數減2。教師引導學生思考：“能用一種大家都理解的方式表示求多邊形內角和的方法嗎？”學生概括出，用n表示圖形邊數，n邊形的內角

和=（n-2）×180°。教師追問：“任意一個多邊形的內角和都可以用這個方法來計算嗎？如何證明這個規(guī)律適用于任意一個多邊形呢？”學生對探索規(guī)律的過程進行了深入的反思，認真觀察了將任意多邊形分割成若干個三角形的方法，提出了兩種論證思路。有的學生從n邊形左下角的頂點出發(fā)，將多邊形分割成若干個三角形。第一個三角形由多邊形的兩條邊和一條對角線圍成，其內角和是180°。在此基礎上增加一條邊和一條對角線，多邊形內角和變成兩個180°，即360°。照這樣推算，每增加一條邊和一條對角線，就多出一個三角形，內角和增加180°。以最開始的兩條邊為基礎，一共增加了（n-2）條邊和（n-2）條對角線，將多邊形共分割成了（n-2）個三角形，其內角和就是（n-2）×180°。

還有學生將n邊形的每個頂點直接連接圖形中心點，將其分割成n個三角形，它們的內角和之和是n 個180°。每個三角形與中心點相連接的角圍成了一個周角，即360°。n個三角形的內角和之和減去這個周角，剩下的角度之和就是n邊形的內角和，根據乘法分配律，180°× n-360°=180 °×n-180°×2=（n-2）×180°。

教師沒有滿足于學生總結出的多邊形內角和的計算方法，而是把學生的思考引向深入，從更一般的角度論證方法的正確性和廣泛性，拓展了規(guī)律的適用范圍，學生在合情推理的過程中感悟了多邊形內角和規(guī)律從特殊到一般的飛躍，通過分析和推理，學生體驗了數形結合與數學建模等思想方法在實現(xiàn)規(guī)律一般化過程中的魅力。

推理是規(guī)律探究和數學思考的基本方法，也是從已有判斷得出新判斷的思維方式。教師要充分重視邏輯推理在規(guī)律探索中的重要作用，包括合情推理和演繹推理。從特殊到一般的思維路徑屬于合情推理，從一般到特殊的思維路徑屬于演繹推理。學生從猜想與驗證開始探索規(guī)律，而邏輯推理可以把學生對規(guī)律的認識推向深入，使其從更一般的角度認識規(guī)律的科學性和廣泛性，養(yǎng)成嚴謹思考、嚴密論證的探究習慣。

三、比較—分析—建構，把握規(guī)律間的整體聯(lián)系

數學知識不是孤立的，而是內部聯(lián)系緊密的系統(tǒng)化的整體。變化和聯(lián)系的觀點是數學研究的核心思想，因而數學規(guī)律既可以從一種形式轉化為另一種形式，又可以從一種數學規(guī)律出發(fā)探索出其他規(guī)律。學生對規(guī)律的探索是一個從不同角度、不同層次逐步豐富認識、加深理解的過程。在探索規(guī)律的同時，我們要重視引導學生對規(guī)律進行比較和分析，幫助學生很好地建立起規(guī)律之間的結構性認識，促進學生的數學思維水平伴隨著數學規(guī)律的整體建構而不斷提高。

研究圖形變化時，學生提出了“如果將一個立體圖形按n∶1的比例放大，放大后與放大前體積的比應該是n3∶1”的猜想，并通過舉例驗證和實際測量驗證，證明了長方體、正方體、圓柱體、圓錐體的體積變化規(guī)律都符合這個猜想。教師繼續(xù)引導學生脫離具體圖形和特殊數據，從計算體積的基本公式出發(fā)，從更一般的角度推理論證了所有的立體圖形都符合這個規(guī)律。學到這里，教師請學生反思：“立體圖形體積的變化規(guī)律、平面圖形面積的變化規(guī)律、線段長度的變化規(guī)律三者之間有什么聯(lián)系？”有的學生發(fā)現(xiàn)，將一個圖形按n∶1的比例放大，放大后與放大前圖形對應邊長度的比是n∶1，面積的比是n2∶1，體積的比是n3∶1。也有學生發(fā)現(xiàn)，對應邊長的比和圖形放大的比是一致的，面積的比是放大的比的平方，體積的比是放大的比的立方，只要知道了三者中任意一個比就能推算出其他兩個比。還有學生結合之前對規(guī)律一般化的推理過程，以長方體為例，總結出在一維空間里，線段變化只受線段長度本身的影響;在二維空間里，面積變化要受到長度和寬度兩個乘數的影響;在三維空間里，體積變化要受到長度、寬度和高度三個乘數的影響。每增加一個維度，對應的乘積就要多受一個乘數的影響。

教師引導學生站在思維的制高點，從不同維度對線、面、體的變化規(guī)律進行分析和比較，將一個圖形按照n∶1的比例放大時的對應邊長比、面積比、體積比建立起整體聯(lián)系，發(fā)展了空間觀念。學生完善了圖形變化規(guī)律的知識結構，實現(xiàn)了主體思維的不斷強化。在反思規(guī)律間聯(lián)系的過程中，學生豐富了探索規(guī)律的經驗，實現(xiàn)了數學的深度思考，發(fā)展了思維水平。

在探索規(guī)律的過程中，教師要引導學生及時反思新舊知識間的關系，體會探究活動更深層次的意義和價值。并引導學生站在數學的視角，通過對規(guī)律的比較與分析，拓展數學思維，按照由簡單到復雜、由低緯到高緯的邏輯順序去建立規(guī)律間的聯(lián)系，為今后研究更復雜的規(guī)律積累經驗，也為從事更高水平的數學研究和創(chuàng)造活動打好基礎。

維果斯基認為，學習過程是概念轉換的過程，即學生受到新的知識經驗影響而改變認知，對原有概念重新建構的過程。學生掌握了探索規(guī)律的科學方法，實現(xiàn)了規(guī)律的深入理解和自主建構，可以有效地提高數學概念轉換的效果。在探索規(guī)律的教學活動中，我們要充分引導學生用數學的眼光觀察，善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，勇于提出猜想;用數學的思維思考，對規(guī)律進行廣泛驗證，嚴密求證;用數學的語言交流，把握規(guī)律間的聯(lián)系，感受數學的魅力。這樣既能充分發(fā)揮探索規(guī)律的教學價值，又能使學生收獲真正的數學素養(yǎng)，提升我們的教學品位。

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