姜 雄，蘇中乾

(遼寧科技學(xué)院 基礎(chǔ)部，遼寧 本溪 117022)

1 一類方程的解析解與數(shù)值解

(1) 文獻(xiàn)〔1〕方程

MX″(t)+CX′(t)+KX(t)=F(t)

(1)

稱為剛性動(dòng)力方程。

(2)MX″(t)+CX′(t)+KX(t)=F(t)的解析解

文獻(xiàn)〔1〕將MX″(t)+CX′(t)+KX(t)=F(t)降階為一階方程為：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

其中：V0包括初始條件

V(0)=(x1′(0)x2′(0) ...xn′(0)x1(0)

為了便于計(jì)算，由文獻(xiàn)〔3〕，定義A=-T-1U，R(t)=T-1G(t)中的A,R(t)可以證明寫成：

(8)

(4)參照文〔1〕將eAt用泰勒展開(kāi)式的數(shù)值計(jì)算方法。

(5)參照文〔1〕將e-At用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)數(shù)值計(jì)算方法。

2 微分方程MX″(t)+CX′(t)+KX(t)=F(t)的實(shí)例分析

通過(guò)實(shí)例來(lái)分析方程的解析解。

例1：如圖1是粘滯阻尼媒質(zhì)中的兩質(zhì)—量彈簧系統(tǒng)。

圖1

設(shè)兩質(zhì)量在一媒質(zhì)中運(yùn)動(dòng)，媒質(zhì)的阻尼力正比于速度，設(shè)質(zhì)量m1和m2上分別作用推動(dòng)力為f1(t)和f2(t)，建立x1(t)和x2(t)所需的方程。

解：設(shè)阻尼系數(shù)C，則運(yùn)動(dòng)方程：

矩陣形式為：

即MX″(t)+CX′(t)+KX(t)=F(t)，是文獻(xiàn)〔1〕的微分方程。

由(8)得：

將A,R(t)帶入(8)式，

但是，eAt是難以求出的，所以，當(dāng)矩陣A的秩大于2時(shí)，解析解(8)只能是形式上的。

下面通過(guò)實(shí)例，來(lái)運(yùn)行數(shù)值解的過(guò)程。

例2：如圖2所示。

圖2

開(kāi)關(guān)S在t=0時(shí)閉合的簡(jiǎn)單RLC環(huán)路。

試計(jì)算開(kāi)關(guān)閉合后t=0.3秒時(shí)環(huán)行電流和電荷，初始電流電荷為零，選擇0.1秒。

解：由克希霍夫定律〔4〕，有：

當(dāng)t=nh，

[R((n-1)h)+R(nh)]

當(dāng)n=2，V(0.2秒)

=N{J(0.1秒)+NN10.05[(E+N1)R]}

V(0.2秒)=N{J(0.1秒)+NN10.05[(E+N1)R]}

=J(0.2秒)

當(dāng)n=3，V(0.3秒)

V(0.3秒)=

所以，開(kāi)關(guān)閉合后，當(dāng)t=0.3秒，q′(t)=1.532 13A，q(t)=0.241 6C

通過(guò)實(shí)例分析，我們對(duì)剛性方程的解進(jìn)行了簡(jiǎn)單的討論。考慮到微分方程MX″(t)+CX′(t)+KX(t)=F(t)的解析解計(jì)算復(fù)雜，尤其當(dāng)矩陣的階很大時(shí)，計(jì)算量變得龐大，其數(shù)值解可以用簡(jiǎn)單的程序完成。但這里就不做闡述， 我們只是強(qiáng)調(diào)方程的解法極其模型的建立過(guò)程。