董海峰

[摘? 要] 以函數(shù)為背景的不等式問題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)問題，其中涉及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等知識(shí)，對(duì)于學(xué)生的解題思維有著較高的要求. 解題時(shí)采用構(gòu)造函數(shù)法可以把握問題本質(zhì)，打開突破口. 文章深入剖析構(gòu)造函數(shù)的方法策略，結(jié)合實(shí)例加以探究，并開展教學(xué)反思，提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 不等式;導(dǎo)數(shù);構(gòu)造;函數(shù);單調(diào)性

問題綜述

在近幾年的?？己透呖贾谐霈F(xiàn)了一類較為特殊的不等式問題，融合抽象函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)，具有較強(qiáng)的綜合性. 同時(shí)由于抽象函數(shù)的出現(xiàn)，對(duì)于學(xué)生的解析突破造成了一定的思維障礙，學(xué)生難以選擇突破口，不能合理解析不等式問題. 實(shí)際上，由于該類不等式問題常以函數(shù)為背景，解析時(shí)需聯(lián)想導(dǎo)函數(shù)的分析優(yōu)勢(shì)，構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化求解. 具體思路是把握不等式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合所求問題構(gòu)造相應(yīng)的新函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性來(lái)解析.

構(gòu)造探究

“構(gòu)造函數(shù)，借導(dǎo)探析”是突破函數(shù)背景下不等式問題的有效策略，而其中關(guān)鍵的一步是構(gòu)造輔助函數(shù). 構(gòu)造函數(shù)的方法有多種，所構(gòu)函數(shù)的特征也不盡相同，掌握構(gòu)造函數(shù)的方法十分重要. 高中階段常用的構(gòu)建法有很多，大多基于代數(shù)運(yùn)算來(lái)構(gòu)造，如和差、積商，所構(gòu)函數(shù)的形式也較為多樣，如構(gòu)造具體函數(shù)、構(gòu)造抽象函數(shù)、構(gòu)造“本性”函數(shù)，下面結(jié)合實(shí)例講解問題的構(gòu)造策略.

1. 構(gòu)造具體函數(shù)

構(gòu)造具體函數(shù)是解析函數(shù)不等式的常用方法，“具體函數(shù)”，既包括傳統(tǒng)意義上的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)等常規(guī)函數(shù)，又包括廣義上的有具體形式、確定內(nèi)容的固定函數(shù). 解析時(shí)需要對(duì)不等式問題進(jìn)行恒等變形，從中提取核心內(nèi)容來(lái)構(gòu)造.

例1：設(shè)函數(shù)f（x）=2xex+a，g（x）=ex+ax，其中a<1，如若存在唯一的整數(shù)x■，使得f（x■）

解析：題干給出了函數(shù)f（x）和g（x），并以此為基礎(chǔ)構(gòu)建了不等式f（x■）

將函數(shù)代入不等式f（x）-■時(shí)，h′（x）>0，則在區(qū)間-∞，-■上，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，在區(qū)間-■，+∞上，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增. 所以x=-■時(shí)，函數(shù)h（x）取得最小值，且最小值為h-■=-■. 令y=ax-a，則函數(shù)h（x）和y=ax-a的圖像如圖1所示，其中h（0）=-1，h（-1）=-■，所以h（-1）

解法指點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)形式確定的不等式問題，可以先通過和差、積商轉(zhuǎn)化來(lái)對(duì)不等式恒等變形，然后直接提取不等式內(nèi)容來(lái)構(gòu)造函數(shù)，最后利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)打開解題突破口. 必要時(shí)可以借助函數(shù)的圖像，使問題變得簡(jiǎn)單、直觀，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解析問題. 而對(duì)于較為復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)不等式問題，則可以采用先還原、再構(gòu)造的策略求解.

2. 構(gòu)造抽象函數(shù)

抽象函數(shù)是相對(duì)于具體函數(shù)的一種函數(shù)形式，而構(gòu)造的抽象函數(shù)是對(duì)原函數(shù)不等式性質(zhì)特征的高度集合. 往往新函數(shù)綜合了目標(biāo)函數(shù)的關(guān)鍵特點(diǎn)，其中可能含有一些復(fù)合函數(shù)，可借助所構(gòu)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)開展問題分析.

例2：已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足e4（x+1）f（x+2）=f（-x），設(shè)f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)于任意的x≥1均有f′（x）+2f（x）>0，則下列選項(xiàng)一定正確的是（? ? ）

A. e4f（2）>f（0）

B. e3f（3）>f（2）

C. e6f（3）>f（-1）？搖？搖

D. e10f（3）>f（-2）

解析：題干給出了函數(shù)f（x）所滿足的條件，以及與其導(dǎo)函數(shù)f′（x）之間的不等關(guān)系，可以從四個(gè)選項(xiàng)中提取、歸納共性，構(gòu)建相應(yīng)的特征函數(shù)，然后利用對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)來(lái)確定函數(shù)性質(zhì)，進(jìn)而分析選項(xiàng)正誤.

根據(jù)選項(xiàng)所涉不等式的特征，設(shè)新函數(shù)F（x）=e2x·f（x），導(dǎo)函數(shù)F′（x）=2e2xf（x）+e2xf′（x）=e2x[2f（x）+f′（x）]. 因?yàn)閷?duì)于任意的x≥1均有f′（x）+2f（x）>0，顯然F′（x）>0，即函數(shù)F（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，則有F（x+2）=e2（x+2）·f（x+2），F(xiàn)（-x）=e-2x·f（-x）. 因?yàn)閑4（x+1）f（x+2）=f（-x），則e2x+4·f（x+2）=e-2x·f（-x），所以F（x+2）=F（-x），則函數(shù)F（x）關(guān)于x=1對(duì)稱，可知F（-2）=F（4）. 根據(jù)函數(shù)F（x）的單調(diào)性可知F（3）F（2），所以e2f（3）>f（2），則選項(xiàng)B正確.

解法指點(diǎn)：上述采用的是典型的構(gòu)建抽象函數(shù)的方法，從選項(xiàng)的函數(shù)不等式形式中提取共有特點(diǎn)，然后構(gòu)建抽象函數(shù). 構(gòu)造函數(shù)可輔助思考問題，降低思維難度，打開解題突破口. 一般抽象函數(shù)的構(gòu)建策略有兩種：（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”，從中提取不等式的特征來(lái)構(gòu)造;（2）若為函數(shù)不等式選擇題，則可以總結(jié)選項(xiàng)中的共性特點(diǎn)來(lái)構(gòu)造函數(shù)，如本題所示.

3. 構(gòu)造“本性”函數(shù)

構(gòu)造“本性”函數(shù)，即構(gòu)造可以反映問題本質(zhì)內(nèi)容的函數(shù)，因此在構(gòu)造過程中需要把握問題本質(zhì)，進(jìn)行等效轉(zhuǎn)化，使抽象問題具體化，然后結(jié)合不等式內(nèi)容來(lái)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù). 總結(jié)構(gòu)造“本性”函數(shù)的過程，可以概括為：等效探源，本質(zhì)構(gòu)造.

例3：定義在R上函數(shù)f（x）滿足條件f（-x）=f（x），且對(duì)于任意的不等式實(shí)數(shù)x■，x■∈[0，+∞）均有■<0. 若關(guān)于x的不等式f（2mx-lnx-3）≥2f（3）-f（-2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為____________.

解析：上述同為以函數(shù)為背景的不等式問題，根據(jù)條件“f（-x）=f（x）”可推知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，由條件“x■，x■∈[0，+∞）均有■<0”可推知函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減. 突破的核心是對(duì)后續(xù)不等式成立的剖析，顯然不適合直接構(gòu)造函數(shù)，需要對(duì)函數(shù)不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，從中獲得反映不等式本質(zhì)的內(nèi)容，然后據(jù)此構(gòu)造“本性”函數(shù).

可將f（2mx-lnx-3）≥2f（3）-f（-2mx+lnx+3）轉(zhuǎn)化為f（2mx-lnx-3）≥f（3）在x∈[1，3]上恒成立，則2mx-lnx-3≤3，即0≤2mx-lnx≤6對(duì)于x∈[1，3]恒成立，進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得2m≥■且2m≤■對(duì)于x∈[1，3]恒成立. 令函數(shù)g（x）=■，則導(dǎo)函數(shù)g′（x）=■，分析可知g（x）在區(qū)間[1，e）上單調(diào)遞增，在（e，3]上單調(diào)遞減，則g（x）max=■;再令函數(shù)h（x）=■，則導(dǎo)函數(shù)h′（x）=■<0，所以函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，則有h（x）min=■;所以需滿足2m≥■，且2m≤■，即m∈■，1+■.

解法指點(diǎn)：構(gòu)造“本性”函數(shù)，實(shí)則反映的是一種構(gòu)造解析函數(shù)不等式的策略，即等效轉(zhuǎn)換，特征構(gòu)造. 與前兩種構(gòu)造方式最大的不同是在構(gòu)造之前需對(duì)不等式問題進(jìn)行“本性”挖掘. 運(yùn)用該種構(gòu)造方式可以抓住問題本質(zhì)，化抽象為具體，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題效果.

反思建議

以函數(shù)為背景的不等式問題是高中數(shù)學(xué)的典型問題，通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)可以簡(jiǎn)化問題，高效求解. 上述所探討的函數(shù)構(gòu)造策略也是該類問題常用的構(gòu)造方法，可以有效挖掘問題本源，降低思維難度，構(gòu)建直切主體的解析思路. 下面對(duì)問題本質(zhì)及構(gòu)造方法進(jìn)行深入反思，提出相應(yīng)的學(xué)習(xí)建議.

1. 關(guān)于問題構(gòu)造方法的反思

對(duì)于函數(shù)不等式問題，其核心是處理不等式關(guān)系，但解析的關(guān)鍵是聯(lián)系函數(shù)背景來(lái)探究不等式的問題根本，因此“不等關(guān)系”是問題的表象，“函數(shù)關(guān)系”才是問題的本質(zhì)核心. 在解析問題過程中需要聯(lián)合函數(shù)背景來(lái)剖析不等式，結(jié)合已知條件和問題來(lái)挖掘不等式與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)合構(gòu)造法構(gòu)造輔助函數(shù)、求解導(dǎo)函數(shù)，合理利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和最值來(lái)研究不等式. 上述所呈現(xiàn)的三種構(gòu)造策略，其核心在于把握函數(shù)不等式的表象特征、共性特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系、本質(zhì)根源，構(gòu)造的過程不是改變問題本身，而是借助函數(shù)模型來(lái)研究性質(zhì)，利用性質(zhì)來(lái)推理結(jié)論.

2. 關(guān)于構(gòu)造函數(shù)解題的建議

函數(shù)不等式問題具有極強(qiáng)的綜合性，利用構(gòu)造策略求解問題過程中，除了需要利用構(gòu)造技巧外，還需要用到函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、不等式性質(zhì)等知識(shí)，上述知識(shí)是問題突破的基礎(chǔ)儲(chǔ)備. 在學(xué)習(xí)過程中需要牢實(shí)基礎(chǔ)，把握知識(shí)聯(lián)系，關(guān)注函數(shù)與不等式的關(guān)聯(lián)，為后續(xù)基于不等式形式構(gòu)造函數(shù)做基礎(chǔ). 考慮到構(gòu)造函數(shù)過程需要挖掘不等式問題的特征內(nèi)涵，教學(xué)中建議引導(dǎo)學(xué)生合理聯(lián)想，發(fā)散思維，提升學(xué)生的思維品質(zhì).