高春香

[摘? 要] 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的. 文章借助幾何畫板的直觀演示，帶領(lǐng)學(xué)生將“圓的垂徑定理”在圓錐曲線中進(jìn)行推廣探究，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，使學(xué)生在主動(dòng)深入的學(xué)習(xí)探究中構(gòu)建知識(shí)聯(lián)系，抽象問題本質(zhì)，發(fā)展直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 課堂學(xué)習(xí);核心素養(yǎng);圓錐曲線;推廣探究

核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的，所以課堂學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主陣地. 而圓可視為橢圓的特殊情形，學(xué)生對(duì)它的幾何性質(zhì)研究得較為通透，且較為熟悉. 本文立足于高三圓錐曲線的專題學(xué)習(xí)，以“圓的垂徑定理”為切入口，啟發(fā)學(xué)生探究圓錐曲線中點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì)，通過類比、推廣，進(jìn)行深度挖掘，引導(dǎo)學(xué)生積極參與其中，調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，形成一個(gè)完整的知識(shí)體系. 一方面降低知識(shí)點(diǎn)在學(xué)生心中的難度系數(shù)，使學(xué)生認(rèn)知問題本質(zhì)，使以后相關(guān)問題的解決立足點(diǎn)更高，能快速抓住問題本質(zhì)，設(shè)計(jì)解題思路;另一方面在此學(xué)習(xí)過程中培育了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

課堂實(shí)錄

本文所有結(jié)論都基于橢圓■+■=1（a>b>0）、雙曲線■-■=1（a>0，b>0）與拋物線C：y2=2px（p>0）的探究結(jié)果. 同時(shí)由于雙曲線圖形較為復(fù)雜，且結(jié)論不是特別明顯，本文幾何探究與代數(shù)論證多數(shù)以雙曲線為例，旨在通過學(xué)生的自主探究，內(nèi)化知識(shí)，化解難點(diǎn).

垂徑定理在圓錐曲線中的推廣

圓是橢圓的特殊情形，圓的常用性質(zhì)在圓錐曲線上是否有所體現(xiàn)？能否將圓的性質(zhì)在圓錐曲線上進(jìn)行推廣，建立知識(shí)之間的聯(lián)系，構(gòu)成知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 一方面便于對(duì)知識(shí)的識(shí)記，另一面在解決相關(guān)問題時(shí)，能快速準(zhǔn)確地抓取問題核心. 今天我們一起研究圓的垂徑定理在圓錐曲線中的推廣.

師：圓的垂徑定理對(duì)應(yīng)于圓錐曲線中的哪類問題？

生：中點(diǎn)弦問題.

（一）圓錐曲線的中點(diǎn)弦定理

師：受圓的垂徑定理的啟發(fā)，大家一起探究，圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題是否有相關(guān)結(jié)論？（學(xué)生自主探究）

師：下面選擇雙曲線的情形進(jìn)行評(píng)析.

已知雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0），直線l（斜率存在）交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為M（x0，y0），（1）求kAB的值;（2）求中點(diǎn)弦AB所在的直線方程.

解1：設(shè)線，利用韋達(dá)定理，得k=■·■，AB所在直線方程：■-■=■-■.

解2：點(diǎn)差法求解.

評(píng)析：由垂徑定理中的垂直得斜率乘積為-1，自然推測(cè)圓錐曲線中點(diǎn)弦中可能存在的斜率乘積為定值，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生用已經(jīng)學(xué)過的方法（待定系數(shù)法或點(diǎn)差去）去驗(yàn)證猜想. 從新的角度思考舊問題，將知識(shí)歸總，建立聯(lián)系，形成體系. 一方面便于記憶，另一方面在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

結(jié)論1：點(diǎn)M（x0，y0）是弦AB的中點(diǎn)，則（1）中點(diǎn)弦的斜率，橢圓：kABkOM=-■;雙曲線：kABkOM=■;拋物線：kAB=■. （2）中點(diǎn)弦AB所在直線方程，橢圓：■+■=■+■;雙曲線■-■=■-■;拋物線：y0y=px+y■-px■.

應(yīng)用新知

1.已知雙曲線■-y2=1，求以點(diǎn)P（3，2）為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程.

評(píng)析：學(xué)生會(huì)以點(diǎn)差法給出結(jié)論為y-2=■（x-3）的錯(cuò)解. 求中點(diǎn)弦要考慮其存在性，即在利用待定系數(shù)法與點(diǎn)差法求解時(shí)，判別式應(yīng)大于零. 存在性的考查使得，點(diǎn)差法丟失了其“結(jié)構(gòu)一致，運(yùn)算簡(jiǎn)潔”的優(yōu)點(diǎn)，需對(duì)中點(diǎn)弦的存在性做結(jié)論性探究.

（二）圓錐曲線的中點(diǎn)弦存在性探究

師：對(duì)給定的點(diǎn)M（x■，y■），在什么情形下存在以點(diǎn)M（x■，y■）為中點(diǎn)的弦.

師：首先借助幾何直觀性，對(duì)中點(diǎn)弦存在問題進(jìn)行初步探討，以雙曲線為例（配幾何畫板動(dòng)態(tài)演示文件）.

師：若弦AB繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)的過程中，由MA>MB轉(zhuǎn)變?yōu)镸A

結(jié)論：定點(diǎn)M在蝴蝶型區(qū)域時(shí)，過點(diǎn)M的中點(diǎn)弦不存在.

評(píng)析：解析幾何就是用代數(shù)知識(shí)解決幾何問題，因此它的計(jì)算量大且煩瑣，此課利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，借助幾何直觀先讓學(xué)生感受問題，一方面利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的接收與記憶，形成知識(shí)網(wǎng)，另一方面可以培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).

師：下面以雙曲線的情形為例進(jìn)行推理證明.

求證：對(duì)雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0），定點(diǎn)M（x■，y■）滿足■-■>1或■-■<0或M（0，0），則過點(diǎn)M的中點(diǎn)弦存在.

師：此問題中，點(diǎn)M（x■，y■）是定點(diǎn)，即x■，y■視作常數(shù). 由上面求解可知，若中點(diǎn)弦存在，則中點(diǎn)弦所在直線斜率為k=■■. 那么問題就轉(zhuǎn)化為當(dāng)x■，y■滿足什么條件時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn).

解：（1）當(dāng)y■≠0時(shí)，直線l的方程為：y-y■=k（x-x■），k=■■.

記t=y■-kx■，k=■■，則y=kx+t，

■-■=1，y=kx+t？圯（b2-a2k2）x2-2kta2x-（a2t2+a2b2）=0.

由已知b2-a2k2≠0，Δ>0？圳t2+b2-a2k2>0？圳b2-a2k2≠0，（x■-a2）k2-2x0y0k+b2+y■>0.

由k=■■，得■-■■-■-1>0，即■-■>1或■-■<0.

（2）當(dāng)y■=0時(shí)，顯然當(dāng)x■∈[-a，0）∪（0，a]時(shí)，中點(diǎn)弦不存在;

當(dāng)x■∈（-∞，-a）∪（a，+∞）∪{0}時(shí)，中點(diǎn)弦存在.

綜上，當(dāng)點(diǎn)M滿足■-■>1或■-■<0或M（0，0）時(shí)，中點(diǎn)弦存在.

評(píng)析：本題的證明構(gòu)架為解析幾何的基本處理方法，在雙曲線相關(guān)問題的待定系數(shù)法的規(guī)范解答中，記t=y■-kx■，引導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算中抓住主要變量，利用整體化思想進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力. 本題字母較多，要求學(xué)生在解題過程認(rèn)清各個(gè)量的身份與地位，頂層設(shè)計(jì)計(jì)算方法. 同時(shí)，通過推理認(rèn)證，將直觀感知的數(shù)學(xué)結(jié)論定理化，使學(xué)生一方面感知數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性，另一方面培養(yǎng)學(xué)生研究能力，發(fā)展邏輯推理能力.

結(jié)論2：以定點(diǎn)M（x■，y■）為中點(diǎn)的弦存在的條件（1）橢圓：■+■<1;（2）雙曲線：■-■>1或■-■<0或M（0，0）;（3）拋物線：y■<2px0.

應(yīng)用新知

2. （2019年黃浦區(qū)二模卷）雙曲線Γ：x2-■=1（b>0），斜率為2的直線與Γ交于A，B兩點(diǎn)，試根據(jù)常數(shù)b的不同取值范圍，求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.

解1：設(shè)AB中點(diǎn)為M（x■，y■），直線AB的方程為：y=2x+t，

x2-■=1，y=2x+t？圯（b2-4）x2-4tx-（t2+b2）=0，

b2-4≠0，Δ=4b2（b2+t2-4）>0，

且x=■=■，y=■=■，得M中點(diǎn)的軌跡方程y=■x.

下求變量的取值范圍，即y=■x上的點(diǎn)要做弦中點(diǎn)，有b2-4≠0，t2>4-b2成立.

當(dāng)b>2時(shí)，t∈R，則所求中點(diǎn)弦方程為y=■x，x∈R;

當(dāng)0■，即x>■，所求中點(diǎn)弦方程為y=■x，x>■.

評(píng)析：本題為雙曲線的平行中點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡問題，難點(diǎn)在于雙曲線在變動(dòng)的前提下對(duì)軌跡方程中變量范圍的求解. 學(xué)生不知道b2-4≠0，Δ=4b2（b2+t2-4）>0 的限制有什么用，又如何用，較為抽象. 字母地位的辨識(shí)非常重要，求中點(diǎn)軌跡方程時(shí)，b視作常值，給一個(gè)b，出一個(gè)軌跡方程.

解2：設(shè)AB中點(diǎn)為M（x，y），則kABkOM=b2，即M中點(diǎn)的軌跡方程y=■x.

下求變量的取值范圍，即要求y=■x不在蝴蝶型區(qū)，

當(dāng)b>2時(shí)，y=■x，x∈R;

當(dāng)01y=■x？x>■，即y=■x，x>■.

評(píng)析：解法2利用中點(diǎn)弦的存在性定理，借助幾何直觀，使得題目難度大幅降低. 有利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，正向培養(yǎng)了其直觀想象的核心素養(yǎng).

上述課堂學(xué)習(xí)，以落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，從“圓為特殊的橢圓”的角度著眼，通過“圓的垂徑定理”的數(shù)學(xué)化描述，借助幾何直觀與數(shù)學(xué)推理，歸納猜測(cè)出“中點(diǎn)弦斜率、中點(diǎn)弦的存在性”等相關(guān)結(jié)論，并利用解析法進(jìn)行嚴(yán)格證明，形成了完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，也還原了數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程. 這有利于學(xué)生形成數(shù)學(xué)的研究方法，以便在以后的學(xué)習(xí)與生活中用數(shù)學(xué)的思維處理問題，用聯(lián)系發(fā)展的眼光看待問題，培養(yǎng)發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)感悟

此課堂學(xué)習(xí)實(shí)踐，構(gòu)建了“解析幾何復(fù)習(xí)的專題”之一，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)體系，注重知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展與形成過程，并將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)在課堂學(xué)習(xí)之中，真正做到了潤(rùn)物細(xì)無聲. 下面結(jié)合本課對(duì)核心素養(yǎng)在課堂上的落實(shí)，談幾點(diǎn)感悟.

（一）借助幾何直觀理解與解決問題，落實(shí)直觀想象核心素養(yǎng)

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象來感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決問題的素養(yǎng). 本課學(xué)習(xí)借助幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生感受圖形的變化，結(jié)合邏輯推理挖掘出“中點(diǎn)弦的存在性”，使學(xué)生獲得“由幾何圖形的形象關(guān)系直接感知數(shù)量關(guān)系”學(xué)習(xí)體驗(yàn)，習(xí)得相關(guān)知識(shí)技能的同時(shí)，使直觀想象核心素養(yǎng)在課堂中落地.

（二）通過深度學(xué)習(xí)，建立知識(shí)之間的聯(lián)系，發(fā)展邏輯推理核心素養(yǎng)

邏輯推理主要表現(xiàn)為掌握推理基本形式和規(guī)則，發(fā)現(xiàn)問題和提出命題，探索和表述論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達(dá)與交流. 本課是“解析幾何中點(diǎn)弦問題”的深度學(xué)習(xí)，以圓的垂徑定理理解為基礎(chǔ)，圓與橢圓的關(guān)系為思考點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出“中點(diǎn)弦的存在性”，建立了知識(shí)間的聯(lián)系，形成完整的知識(shí)體系，發(fā)展了學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng).

（三）辨識(shí)運(yùn)算對(duì)象，設(shè)計(jì)運(yùn)算思路，巧用整體代換，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)運(yùn)算主要表現(xiàn)為理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等. 本課用嚴(yán)格數(shù)學(xué)推理論證了“中點(diǎn)弦的存在性”. 解析幾何是用代數(shù)方法解決幾何問題，數(shù)學(xué)運(yùn)算就是論證相關(guān)問題的關(guān)鍵. 本課問題論證用到解析幾何中基本的待定系數(shù)法，但因本課結(jié)論均為圓錐曲線的通用結(jié)論，方程自身帶有參數(shù)，運(yùn)算過程中字母繁多，需要引導(dǎo)學(xué)生辨識(shí)運(yùn)算對(duì)象，頂層設(shè)計(jì)計(jì)算方法，并用整體代換的方式簡(jiǎn)化運(yùn)算量. 體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

（四）借助典型題目，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，夯實(shí)核心素養(yǎng)

本課結(jié)合知識(shí)構(gòu)架，選取典型的有思維價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷解題思路的探究過程，規(guī)范表達(dá)，明確解題步驟，提煉通性、通法，讓學(xué)生在解題過程中明確問題本質(zhì)，學(xué)會(huì)知識(shí)遷移、融會(huì)貫通，強(qiáng)化通性、通法，進(jìn)一步夯實(shí)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

結(jié)束語

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，課堂是學(xué)習(xí)的主陣地，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用是核心素養(yǎng)培養(yǎng)的營(yíng)養(yǎng)基. 在核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下，對(duì)高三復(fù)習(xí)進(jìn)行專題設(shè)計(jì)，經(jīng)過數(shù)學(xué)知識(shí)的再整合，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 通過類比、聯(lián)想、特殊化、一般化等思維活動(dòng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行深度挖掘，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題，形成研究思路，找到研究方法，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)落地，推動(dòng)學(xué)生不斷成長(zhǎng).