李洋洋

[摘? 要] 類(lèi)比思維是一種非常重要的思維方式，學(xué)生只有在不斷地經(jīng)歷類(lèi)比的過(guò)程中才可以逐步積淀充滿(mǎn)感悟的類(lèi)比經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)類(lèi)比思維能力. 文章以“圓錐曲線(xiàn)”的教學(xué)為例，闡述了類(lèi)比思維能力培養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐與思考.

[關(guān)鍵詞] 類(lèi)比思維能力;數(shù)學(xué)能力;培養(yǎng)

類(lèi)比是兩個(gè)具有相同或相似的不同事物建立聯(lián)系的產(chǎn)物，屬于形象思維，是一種推理方法和思維方法，也是一種創(chuàng)造性思維，更是一種良好的學(xué)習(xí)方法，數(shù)學(xué)解題的思路尋求應(yīng)該從已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行類(lèi)比. 正是由于類(lèi)比如此大的功能，縱觀近幾年的高考試題，類(lèi)比思想已然根深蒂固地滲透于方方面面，類(lèi)比題早已成為高考的“新寵”. 因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，類(lèi)比思維能力具有非常重要的體現(xiàn)，教師需有意識(shí)地強(qiáng)化對(duì)學(xué)生類(lèi)比思維能力的訓(xùn)練. 以下，筆者以“圓錐曲線(xiàn)”的教學(xué)為例，談?wù)勅绾伟l(fā)展學(xué)生類(lèi)比思維能力，以期提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

溫故知新，激發(fā)類(lèi)比意識(shí)

類(lèi)比是富有創(chuàng)造性的一種活動(dòng)方法，不僅可以幫助學(xué)生鞏固舊知掌握新知，還是一種良好的探究活動(dòng). 高中生已有了數(shù)十年的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，積累了豐富的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，形成了較好的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu). 因此，在組織教學(xué)前教師需深入學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)考查，從學(xué)生的已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，勾畫(huà)知識(shí)技能框架，設(shè)計(jì)類(lèi)比探究活動(dòng)，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供基本線(xiàn)索. 在教學(xué)過(guò)程中，教師需用類(lèi)比充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，聯(lián)合問(wèn)題與原有知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地參與到探究活動(dòng)中去，有效地喚醒活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生自主進(jìn)行類(lèi)比探究，建構(gòu)知識(shí)，激活類(lèi)比意識(shí).

案例1：雙曲線(xiàn)的定義

（1）溫故知新：回憶并說(shuō)說(shuō)橢圓的定義是什么？

（2）類(lèi)比聯(lián)想：基于橢圓定義中的“和”字展開(kāi)聯(lián)想，你能想到什么？（學(xué)生自然而然地聯(lián)想到“差”，進(jìn)一步類(lèi)比得出“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡會(huì)是什么曲線(xiàn)呢？”）

（3）類(lèi)比推導(dǎo)：已知平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F1（-5，0）和F2（5，0）之間的距離差為8，試求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程. （學(xué)生類(lèi)比橢圓的軌跡方程，進(jìn)一步推導(dǎo)得出點(diǎn)P的軌跡方程為■-■=1）

（4）實(shí)踐操作：類(lèi)比橢圓的性質(zhì)，試著作一作雙曲線(xiàn)的大致圖像. （學(xué)生興致勃勃地投入作圖，并以此聯(lián)想到反比例函數(shù)）

（5）完善定義：

問(wèn)題1：滿(mǎn)足PF1-PF2=8的點(diǎn)的軌跡即為上述曲線(xiàn)嗎？（經(jīng)思考，學(xué)生明晰只有右支點(diǎn)上的點(diǎn)符合）

問(wèn)題2：那左支點(diǎn)上的點(diǎn)滿(mǎn)足什么條件？（學(xué)生賦特值A(chǔ)（-4，0）進(jìn)行檢驗(yàn)，計(jì)算可得AF1-AF2=-8）

問(wèn)題3：經(jīng)過(guò)剛才的探究，可知右支上的點(diǎn)滿(mǎn)足PF1-PF2=8，左支上的點(diǎn)滿(mǎn)足AF1-AF2=-8，那該如何定義雙曲線(xiàn)呢？

（6）出示定義：數(shù)學(xué)中很多抽象概念不易理解，引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的概念出發(fā)類(lèi)比，則可以達(dá)到快速理解和掌握的效果. 這樣的類(lèi)比思維方式可以使抽象的、陌生的概念變得具體、熟悉，有效降低學(xué)生的接受難度，提升學(xué)習(xí)興趣. 以上案例中，執(zhí)教者以“橢圓的定義”為載體，探究的關(guān)鍵是類(lèi)比橢圓的相關(guān)知識(shí)，從事物之間的共同屬性來(lái)獲得新知的理解和掌握，幫助學(xué)生更好地復(fù)習(xí)舊知和鞏固新知，建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

深入類(lèi)比，訓(xùn)練類(lèi)比思維

充分利用好類(lèi)比思維中的相似性，引導(dǎo)學(xué)生比較兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，并找尋到他們之間的相似處，從而為研究指明正確方向. 通過(guò)進(jìn)一步延伸猜想這兩個(gè)對(duì)象的其他屬性是否也相同或相似，進(jìn)行一致性和不一致性的類(lèi)比，經(jīng)歷深入類(lèi)比后得出結(jié)論，讓學(xué)生能從宏觀的角度感受到概念或性質(zhì)的相似性，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，訓(xùn)練類(lèi)比思維.

案例2：已知橢圓性質(zhì)：若點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，M，N為橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，且當(dāng)直線(xiàn)PM，PN都存在斜率，并記作kPM，kPN時(shí)，則kPM，kPN之積為與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值. 試著類(lèi)比分析雙曲線(xiàn)■-■=1，找出與其類(lèi)似的性質(zhì)，并予以證明.

類(lèi)比得出類(lèi)似性質(zhì)：若點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，M，N為雙曲線(xiàn)■-■=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，且當(dāng)直線(xiàn)PM，PN都存在斜率，并記作kPM，kPN時(shí)，則kPM，kPN之積為與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值■.

證明：設(shè)P，M的坐標(biāo)為（x，y），（m，n），則N（-m，-n）. 因?yàn)镻，M均在雙曲線(xiàn)■-■=1上，所以y2=■x2-b2，n2=■m2-b2，則kPM·kPN=■·■=■=■·■=■（定值）.

從具體的實(shí)物出發(fā)類(lèi)比，是思考和理解問(wèn)題的基本思路與方法. 上述案例中，從橢圓的性質(zhì)出發(fā)類(lèi)比，進(jìn)一步研究雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，既滲透認(rèn)知指導(dǎo)策略，同時(shí)降低問(wèn)題探究的難度. 學(xué)生經(jīng)過(guò)推導(dǎo)和證明，使得雙曲線(xiàn)性質(zhì)的理解進(jìn)一步深入，體會(huì)雙曲線(xiàn)的一般性和特殊性，讓新知的建構(gòu)自然產(chǎn)生，讓學(xué)生深刻體會(huì)到類(lèi)比思維的合理性和必然性.

強(qiáng)化類(lèi)比訓(xùn)練，磨煉類(lèi)比思維

通過(guò)強(qiáng)化類(lèi)比訓(xùn)練，授予學(xué)生類(lèi)比方法，才能逐步轉(zhuǎn)化為學(xué)生自己的思維方式，因此，在解題教學(xué)中不斷強(qiáng)化類(lèi)比訓(xùn)練是磨煉類(lèi)比思維能力中的重要一環(huán). 只有通過(guò)訓(xùn)練讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想+驗(yàn)證”的驗(yàn)證經(jīng)歷，才能循序提升，逐層培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比思維能力，同時(shí)提升解題能力.

案例3：已知點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓■+■=1（a>b>0）的內(nèi)部，則直線(xiàn)■+■=1與橢圓■+■=1（a>b>0）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是________？

本題需要判斷直線(xiàn)與橢圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比，首先需思考類(lèi)比對(duì)象，學(xué)生經(jīng)過(guò)聯(lián)想，不難將類(lèi)比對(duì)象定位在圓上. 進(jìn)一步地，類(lèi)比橢圓與圓：已知點(diǎn)P（x0，y0）在圓O：x2+y2=r2的內(nèi)部，則直線(xiàn)xx0+yy0=r2與圓O：x2+y2=r2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0（相離），據(jù)此猜想得出本題交點(diǎn)個(gè)數(shù)也是0. 下一步自然是求解，一些學(xué)生在求解本題時(shí)會(huì)不假思索通過(guò)一般性方法解題，將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程后通過(guò)判別式進(jìn)一步確定交點(diǎn)個(gè)數(shù). 在求解過(guò)程中，還需分類(lèi)討論，過(guò)程較為煩瑣，運(yùn)算難度也較大. 是否有其他簡(jiǎn)單思路進(jìn)行處理呢？我們可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類(lèi)比思想大膽猜想和合情推理，由于本題是一道填空題，可以運(yùn)用特殊與一般的方法進(jìn)行類(lèi)比：已知點(diǎn)P（1，0）在橢圓C：■+y2=1的內(nèi)部，則直線(xiàn)■=1與橢圓C：■+y2=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是0.

此處將本題特殊化處理，回避了繁雜的運(yùn)算，磨煉學(xué)生的類(lèi)比思維，符合新課標(biāo)下的“以能力立意”的數(shù)學(xué)理念，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維. 當(dāng)然，這里需要說(shuō)明的是在選用特殊值時(shí)需避免問(wèn)題出現(xiàn)漏解的情況.

應(yīng)用類(lèi)比，提升類(lèi)比思維

類(lèi)比是幫助學(xué)生理解、掌握和鞏固知識(shí)的一種行之有效的方法，可以使學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)化和網(wǎng)絡(luò)化. 類(lèi)比解題法在近幾年的高考中頻頻出現(xiàn)，因此，教師需在習(xí)題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類(lèi)比思想分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提升類(lèi)比思維能力.

案例4：過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F作一直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P，Q，若PF，QF的長(zhǎng)分別為m，n，則■+■=_______.

類(lèi)比問(wèn)題1過(guò)橢圓■+■=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)F作一直線(xiàn)，與橢圓交于點(diǎn)P，Q，若PF，QF的長(zhǎng)分別為m，n，則■+■=________.

類(lèi)比問(wèn)題2過(guò)雙曲線(xiàn)■-■=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)F作一直線(xiàn)，與雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)P，Q，若PF，QF的長(zhǎng)分別為m，n，則■+■=________.

觀察以上問(wèn)題，可以看出上面三題不論在條件結(jié)構(gòu)還是問(wèn)題結(jié)構(gòu)形式上均相同，唯一不同的就是條件背景不同，通過(guò)以上拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)三者之間的類(lèi)比探究，相得益彰，使問(wèn)題快速獲解，同時(shí)尋到處理這一類(lèi)問(wèn)題的通法.

綜上，類(lèi)比是一種創(chuàng)造性的思維方式，數(shù)學(xué)知識(shí)有千千萬(wàn)萬(wàn)，在研究方法上具有相同性或相似性，在類(lèi)比思維能力的培養(yǎng)過(guò)程中，我們要合理運(yùn)用類(lèi)比的方法進(jìn)行教學(xué)，幫助學(xué)生巧妙越過(guò)思維障礙，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維、發(fā)散性思維，發(fā)展學(xué)生的聯(lián)想能力和遷移能力，促進(jìn)學(xué)生綜合能力的發(fā)展，更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維價(jià)值.