李艷艷 高美平

摘 要：研究解決《離散數(shù)學(xué)》命題邏輯教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題——課本例題雖然經(jīng)典，但是趣味性不足、與實(shí)際生活聯(lián)系不緊密，學(xué)生不能熟練應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題。本文在查閱大量資料的基礎(chǔ)上，收集整理適合有趣的案例，并將它們應(yīng)用于課堂教學(xué)，從而達(dá)到增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的目的。

關(guān)鍵詞：案例教學(xué)法;離散數(shù)學(xué);命題邏輯

中圖分類號(hào)：O151.2 ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

離散數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門(mén)專業(yè)必修課，涉及的主要內(nèi)容之一就是用數(shù)學(xué)方法研究邏輯問(wèn)題的命題邏輯，教學(xué)中占具三分之一的課時(shí)。從使用的教材發(fā)現(xiàn)，課本上所舉的例子雖然很經(jīng)典，但是缺乏與時(shí)俱進(jìn)的趣味性，而且和實(shí)際生活的聯(lián)系也不密切，這就導(dǎo)致了學(xué)生往往已將課本內(nèi)容學(xué)得很熟悉，可卻不會(huì)應(yīng)用它們解決實(shí)際生活中的邏輯問(wèn)題，對(duì)于知識(shí)的學(xué)習(xí)還停留在紙上談兵階段，違背了學(xué)習(xí)邏輯內(nèi)容的本質(zhì)，沒(méi)有達(dá)到學(xué)以致用的效果。關(guān)于命題邏輯部分的教學(xué)，王國(guó)卿、吳群妹在文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[2]做了一定研究，本文從案例教學(xué)法的角度繼續(xù)研究該問(wèn)題。為了解決命題邏輯部分教學(xué)中不能理論聯(lián)系實(shí)際的情況，本文在查閱大量資料的基礎(chǔ)上，收集整理適合有趣的案例，并將它們應(yīng)用于課堂教學(xué)，從而達(dá)到增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的目的。命題邏輯部分的問(wèn)題主要分為三部分：根據(jù)已知條件推斷結(jié)論、增加條件推出結(jié)論和應(yīng)用推理理論推出結(jié)論三種類型。解決的手段主要是等值演算和推理理論。下面對(duì)這三部分內(nèi)容分別給出來(lái)源于實(shí)際生活的生動(dòng)有趣的案例，在案例的解決過(guò)程中，達(dá)到學(xué)以致用、舉一反三的目的。

1 根據(jù)已知條件推斷結(jié)論

例1 紅紅、丹丹、陽(yáng)陽(yáng)、珍珍和慧慧是同一家公司的同事，因工作的需要，她們不能同時(shí)出席公司舉辦的新產(chǎn)品發(fā)布會(huì)。她們的出席情況是：（1）只有紅紅出席，丹丹、陽(yáng)陽(yáng)和珍珍才都出席;（2）紅紅不能出席;（3）如果丹丹不出席，陽(yáng)陽(yáng)也不出席;（4）如果陽(yáng)陽(yáng)不出席，慧慧也不出席;（5）已經(jīng)決定慧慧出席發(fā)布會(huì)。

根據(jù)上述情況，可以推出（ ）。

A.丹丹出席發(fā)布會(huì)，陽(yáng)陽(yáng)和珍珍不出席發(fā)布會(huì)

B.珍珍出席發(fā)布會(huì)，丹丹和陽(yáng)陽(yáng)不出席發(fā)布會(huì)

C.陽(yáng)陽(yáng)和珍珍出席發(fā)布會(huì)，丹丹不出席發(fā)布會(huì)

D.丹丹和陽(yáng)陽(yáng)出席發(fā)布會(huì)，珍珍不出席發(fā)布會(huì)

解：命題符號(hào)化：設(shè) p：紅紅出席，q：丹丹出席，r：陽(yáng)陽(yáng)出席，s：珍珍出席，t：慧慧出席，則出席情況為：

（（q∧r∧s）→p）∧p∧（q→r）∧（r→t）

對(duì)上式等值演算，得：

（（q∧r∧s）→p）∧p∧（q→r）∧（r→t）

p∧q∧r∧s∧t

則得出紅紅、珍珍、慧慧不出席，丹丹、陽(yáng)陽(yáng)出席的結(jié)論，即答案為D。

例2 如果張三作案，那么李四一定是主犯;如果張三沒(méi)作案，那么王五參與作案。如果李四不是主犯，那么王五沒(méi)有參與作案。

由此可以推出以下哪項(xiàng)？（ ）

1.張三沒(méi)作案

2.李四一定是主犯

3.李四不一定是主犯

4.王五參與作案

5.張三作案

解：命題符號(hào)化：設(shè) p：張三作案，q：李四為主犯，r：王五參與作案，則已知事實(shí)為（p→q）∧（p→r）∧（q→r）。

（q→p）∧（p→r）∧（q→r）（q→r）∧（q→r）1

所以q的真值為0，那么q的真值就為1。從而推斷李四一定為主犯，答案為B。

例3 小軒和小萌的媽媽買(mǎi)了一個(gè)精美的小蛋糕放在冰箱，早晨起床發(fā)現(xiàn)蛋糕不見(jiàn)了，經(jīng)詢問(wèn)，兩個(gè)小朋友都說(shuō)自己沒(méi)有吃。于是媽媽就充當(dāng)警察，尋找偷吃蛋糕的小饞貓。已知事實(shí)如下：（1）小軒或小萌吃了蛋糕;（2）若小軒吃了蛋糕，則偷吃時(shí)間不能發(fā)生在午夜前;（3）若小萌說(shuō)的正確，則午夜時(shí)屋里燈光未滅;（4）若小萌說(shuō)的不正確，則偷吃時(shí)間發(fā)生在午夜之前;（5）午夜時(shí)屋里燈光滅了。

則，偷吃蛋糕的是（ ）。

解：命題符號(hào)化：設(shè)p：小軒偷吃了蛋糕;q：小萌偷吃了蛋糕;r：偷吃時(shí)間發(fā)生在午夜前;s：小萌說(shuō)的正確;t：午夜時(shí)屋里燈光未滅。

根據(jù)媽媽已查明的事實(shí)，p∨q，p→r，s→t，s→r，t的值都為真，由此推出p或q。

下面尋找上述各式的合取式的成真賦值。

（p∨q）∧（p→r）∧（s→t）∧（s→r）∧（t）

（p∨q）∧（p∨r）∧（s∨t）∧（s∨r）∧（t）

（p∨q）∧（p∧s∧r∧t）

（p∧s∧r∧t）

它的成真賦值是p=0，q=1，s=0，r=1，t=0，由此可知，小萌偷吃了蛋糕。

2 增加條件推出結(jié)論

例4 如果甲和乙考試都沒(méi)及格的話，那么丙就一定及格了。上述前提再增加以下哪項(xiàng)，就可以推出“甲考試及格了”的結(jié)論。

1.丙及格了

2.乙和丙都沒(méi)有及格

3.丙沒(méi)有及格

4.乙和丙都及格了

解：命題符號(hào)化：設(shè)p：甲考試及格，q：乙考試及格，r：丙考試及格，則命題為（p∧q）→r。

由等值演算知（p∧q）→r（r∧q）→p，所以再增加條件：當(dāng)乙和丙考試都沒(méi)有及格時(shí)，就可以推出甲考試及格了，因此選B。

例5 某高校外語(yǔ)教研室新招進(jìn)五位外語(yǔ)老師，每位老師只教授一門(mén)外語(yǔ)，并且滿足以下條件：（1）如果小錢(qián)教德語(yǔ)，那么小孫不教俄語(yǔ);（2）或者小李教德語(yǔ)，或者小錢(qián)教德語(yǔ);（3）如果小孫不教俄語(yǔ)，那么小趙不教法語(yǔ);（4）或者小趙教法語(yǔ)，或者小周不教英語(yǔ)。

以下哪項(xiàng)如果為真，可以得出“小李教德語(yǔ)”的結(jié)論？

1.小孫不教俄語(yǔ)

2.小錢(qián)教德語(yǔ)

3.小周教英語(yǔ)

4.小趙不教法語(yǔ)

解：命題符號(hào)化：設(shè) p：小錢(qián)教德語(yǔ)，q：小孫教俄語(yǔ)，r：小李教德語(yǔ)，s：小孫教德語(yǔ)，t：小趙教法語(yǔ)，t：小周教英語(yǔ)，則題目滿足條件為：

（p→q）∧（p∨r）∧（q→t）∧（t∨n）

等值演算得：

（p→q）∧（p∨r）∧（q→t）∧（t∨n）（t∨n）→r

故要得到小李教德語(yǔ)，只需增加小趙教法語(yǔ)或小周教英語(yǔ)就可以。則答案選C。

3 用推理理論推出結(jié)論

例6 已知：（1）如果甲和乙是肇事者，丙就不是肇事者;（2）如果丁是肇事者，那么乙就是肇事者;（3）甲和丙都是肇事者。

由此推出：（ ）

A.乙和丁都是肇事者

B.乙和丁都不是肇事者

C.乙是肇事者，丁不是肇事者

D.乙不是肇事者，丁是肇事者

解：命題符號(hào)化：設(shè) p：甲是肇事者，q：乙是肇事者，r：丙是肇事者，s：丁是肇事者。則已知前提為：（p∧q）→r，s→q，p∧r。

使用推理理論求解結(jié)論：

①（p∧q）→r 前提引入 ⑤ s→q 前提引入

②（p∧r）→q ①置換 ⑥s ④⑤拒取式

③p∧r 前提引入 ⑦q→s ⑤置換

④q ②③假言推理 ⑧q∧s ④⑥假言推理

那么可知，乙和丁都不是肇事者，故B選項(xiàng)正確。

例7 如果阿根廷參加聯(lián)盟，則巴西和智利將抵制聯(lián)盟。如果巴西和智利有一國(guó)抵制聯(lián)盟，那么聯(lián)盟就會(huì)名存實(shí)亡。而聯(lián)盟沒(méi)有名存實(shí)亡。

從這段文字可以推出：

A.巴西沒(méi)有參加聯(lián)盟;B.巴西參加聯(lián)盟;C.智利和巴西至少有一國(guó)沒(méi)有參加聯(lián)盟;D.阿根廷沒(méi)有參加聯(lián)盟

解：命題符號(hào)化：

設(shè) p：阿根廷參加聯(lián)盟;q：巴西抵制聯(lián)盟;r：智利抵制聯(lián)盟;s：聯(lián)盟名存實(shí)亡

則已知前提為：p→（q∧r），（p∨q）→s，s

使用推理理論求解結(jié)論：

①（p∨q）→s 前提引入 ?②s 前提引入

③p∧q ①②拒取式 ④q ③化簡(jiǎn)

⑤p→（q∧r） 前提引入 ⑥（p→q）∧（p→r） ⑤置換

⑦p→q ⑥化簡(jiǎn) ⑧p ④⑦拒取式

則得到結(jié)論阿根廷沒(méi)有參加聯(lián)盟，選D。

例8 如果今天星期三，則要進(jìn)行線性代數(shù)或概率論期中測(cè)試。如果線代老師有會(huì)，則不考線代，線代老師有會(huì)。所以進(jìn)行概率論期中測(cè)試。

解：命題符號(hào)化：

設(shè)p：今天星期三;q：進(jìn)行線性代數(shù)期中測(cè)試;r：進(jìn)行概率論期中測(cè)試;s：線代老師有會(huì)。

則已知前提為：p→（q∨r），s→q，p，s

結(jié)論：r

證明：

①p→（q∨r） 前提引入 ?②p 前提引入

③ q∨r ①②假言推理 ④s→q 前提引入

⑤s 前提引入 ⑥q ④⑤假言推理

⑦ r ③⑥析取三段論

由以上證明知，進(jìn)行概率論期中測(cè)試。

例9 如果小明是計(jì)算機(jī)類專業(yè)學(xué)生，他必學(xué)好離散數(shù)學(xué)。如果他不是計(jì)算機(jī)類專業(yè)學(xué)生，他必須是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生。他沒(méi)學(xué)好離散數(shù)學(xué)。所以他是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生。

解：命題符號(hào)化：p：小明是計(jì)算機(jī)類專業(yè)學(xué)生;q：他學(xué)好離散數(shù)學(xué);r：他是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生。

前提：p→q，r→p，q

①p→q 前提引入; ?②q 前提引入

③p ①②拒取式 ④r→p 前提引入

⑤r③④拒取

由上可知，他是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生。

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)選用九個(gè)典型實(shí)際案例，讓學(xué)生在解決案例的過(guò)程中達(dá)到熟悉、強(qiáng)化知識(shí)的目的，這樣做不僅提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也讓學(xué)生進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活的本質(zhì)。該教學(xué)法給原本枯燥乏味的數(shù)學(xué)課堂注入了活力，使學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)離自己的生活是那樣近，在提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主動(dòng)性的同時(shí)，也學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)的眼光看待并解決問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]王國(guó)卿.“離散數(shù)學(xué)”命題邏輯的教與學(xué)研究[J].無(wú)線互聯(lián)科技，2019，8：151-152.

[2]吳群妹.淺談怎樣學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)中的命題邏輯[J].科技信息，2009，9：169-170.

基金項(xiàng)目：文山學(xué)院《高等代數(shù)》精品課程建設(shè)項(xiàng)目

作者簡(jiǎn)介：李艷艷（1982—），女，甘肅慶陽(yáng)人，碩士，副教授，研究方向：矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用、數(shù)值分析，大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。