廣東省湛江一中培才學(xué)校(524037) 魏 欣

解析幾何是“以代數(shù)方法研究幾何問題”,教學(xué)中要注意代數(shù)運(yùn)算與幾何直觀的相互為用.因?yàn)檠芯繉ο笫菐缀螆D形,所以把握所研究對象的幾何特征、明確面臨的幾何問題.教學(xué)中一定要注意“先用幾何眼光觀察,再用坐標(biāo)法推理、論證和求解”的基本思路.

圓錐曲線的定點(diǎn)、定值和定直線等探索性問題歷來是高考命題中的一個(gè)熱點(diǎn),此類問題往往蘊(yùn)含具有代表性、引申性的數(shù)學(xué)知識、性質(zhì).

2020年高考全國Ⅰ卷解析幾何題,以橢圓、數(shù)量積為背景,主要考查用基本量求曲線方程,直線與橢圓的位置關(guān)系以及直線方程、直線過定點(diǎn)問題,很好的體現(xiàn)了對直線與橢圓的核心內(nèi)容和基本思想方法的考查.同時(shí),考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),考查考生的推理論證能力與運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)試題的區(qū)分功能與選拔功能.這就需要我們進(jìn)一步去揭示問題的本質(zhì)特征,挖掘其潛在的價(jià)值和功能.本文對其進(jìn)行多角度多方法的解答與分析,通過與教材習(xí)題對比、與往年高考試題對比,力求找到命制此題的素材,希望通過加強(qiáng)對高考命題的研究,為師生復(fù)習(xí)備考指明方向,提高教學(xué)質(zhì)量.

一、經(jīng)典試題展示

高考真題(2020年高考全國Ⅰ卷理科第20 題,文科第21 題)已知A,B分別為橢圓E:+y2=1(a＞1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),=8,P為直線x=6 上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.

(1)求橢圓E的方程；

(2)證明：直線CD過定點(diǎn).

點(diǎn)評第(1)問根據(jù)向量的數(shù)量積求出橢圓的方程,多數(shù)學(xué)生都能完成,第(2)問是個(gè)探索性問題,重點(diǎn)考查用坐標(biāo)法研究圓錐曲線中的定點(diǎn)問題,考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、分類討論等基本數(shù)學(xué)思想,同時(shí)考查綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力,考查學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本題的呈現(xiàn)形式“平易近人”,是定點(diǎn)問題,但本題的解決過程卻充分體現(xiàn)了坐標(biāo)法的思想,可以將幾何關(guān)系式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)代數(shù)關(guān)系式,然后再用坐標(biāo)法來處理.本題看起來很平常,實(shí)際上卻背景豐富,有一定難度和區(qū)分度,也有很大的教學(xué)價(jià)值和研究空間,下面重點(diǎn)從多角度研究其解法和相關(guān)結(jié)論與性質(zhì).

二、多角度的解法探究

(1)如圖1所示,由題意,A(-a,0),B(a,0),G(0,1),所以=(a,1),=(a,-1),=a2-1=8,解得a=3,所以橢圓E的方程為+y2=1.

圖1

點(diǎn)評此問題是人教A 版選修2-1 第41 頁的例題3,也涉及橢圓的第三定義問題.教科書中的例題與習(xí)題幫助學(xué)生深入理解圓錐曲線的幾何特征,熟練運(yùn)用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系,并能解決有一定綜合性的問題,通過解題感悟解析幾何中隱含的數(shù)學(xué)思想.

平時(shí)注重一題多解、一題多變的訓(xùn)練是解決此類問題的好幫手.一題多解有利于提高學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性,能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,對于學(xué)生從不同角度、不同側(cè)面去分析問題、解決問題,調(diào)動(dòng)解題積極性,培養(yǎng)發(fā)展思維,創(chuàng)造性品質(zhì)都有著重要的意義.下面從多維度剖析第(2)問.

視角一：從點(diǎn)切入

方法一(單刀直入,細(xì)心運(yùn)算)依題意可設(shè)點(diǎn)P(6,m),則直線PA的方程為聯(lián)立得(9+m2)x2+6m2x+9m2-81=0,由韋達(dá)定理有-3xC=即xC=將其代入直線的方程,可得PA,所以

易知直線PB的方程為y=聯(lián)立得(1+m2)x2-6m2x+9m2-9=0.由韋達(dá)定理有3xD=即將其代入直線PB的方程,可得yD=即

當(dāng)m=±時(shí),xC=xD=此時(shí)直線CD的方程為x=即直線CD過定點(diǎn)當(dāng)m≠±時(shí),直線CD的斜率為

進(jìn)而直線CD的方程為y-=化簡得所以直線CD過定點(diǎn)

綜上,直線CD過定點(diǎn)

點(diǎn)評在上面的解法中,我們利用C,D既在直線上又在橢圓上,得到C,D的坐標(biāo)所滿足的方程,解出C,D的坐標(biāo)(用m表示),然后再寫出直線CD的方程,經(jīng)過相對復(fù)雜的運(yùn)算可以完成定點(diǎn)的證明.此法雖然思路自然,但對學(xué)生的意志品質(zhì)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)都有較高的要求.

視角二：嘗試設(shè)線

方法二(設(shè)而不求,自然流露) 設(shè)直線CD的方程為x=ty+n,-3＜n＜3,設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),點(diǎn)P(6,m).聯(lián)立得(9+t2)y2+2tny+n2-9=0.由韋達(dá)定理有y1+y2=由A,C,P三點(diǎn)共線,可得

由D,B,P三點(diǎn)共線,可得

由①式和②式,可得3y1(x2-3)=y2(x1+3),所以3y1y2(x2-3)=y22(x1+3).

又y22=所以(x1+3)(x2+3)+27y1y2=0,即

利用上述韋達(dá)定理的結(jié)論,得到

解得n=或n=3(舍).

綜上,直線CD過定點(diǎn)

點(diǎn)評此法的關(guān)鍵在于方程3y1(x2-3)=y2(x1+3)的兩邊乘以y2,然后再將得到的方程右邊的y22整體代換掉,得到了關(guān)于y1+y2,y1y2,n的方程,再通過少量的運(yùn)算便得到了定點(diǎn).

視角三：恒等變換

方法三(三角變換,多想少算)除了上述設(shè)點(diǎn)的方法,我們還可以利用橢圓的參數(shù)方程,引參設(shè)點(diǎn),借助三角恒等變換證得定點(diǎn),具體過程如下：

設(shè)點(diǎn)P(6,m),則直線PA的方程為y=(x+3),直線PB的方程為y=(x-3),設(shè)C(3 cosα,sinα),D(3 cosβ,sinβ),由A,C,P三點(diǎn)共線,可得3 cosα+3=9 sinα,即tan同理,由D,B,P三點(diǎn)共線,可得又直線CD的方程為

令y=0,可得

綜上,直線CD過定點(diǎn)

點(diǎn)評利用橢圓的參數(shù)方程,引參設(shè)點(diǎn),借助三角恒等變換證得定點(diǎn),大大簡化了運(yùn)算,但該解題思路考生不容易想到,是優(yōu)化后的解法.

視角四：仿射變換

我們知道圓與橢圓有著“千絲萬縷”的聯(lián)系,在仿射變換下橢圓與圓可以實(shí)現(xiàn)“互化”.由于圓有著許多重要的性質(zhì),且在射影幾何中起著舉足輕重的作用,一個(gè)很自然的想法便是我們可否借助圓的基本性質(zhì)(直徑所對的圓周角是直角)這個(gè)“根”來發(fā)橢圓的相關(guān)問題這個(gè)“芽”呢?

方法四(伸縮變換,化橢圓為圓)

圖2

點(diǎn)評通過伸縮變換,將問題放置于單位圓中處理,將定點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為線段比值,借助于梅涅勞斯定理和圓冪定理,順利解題,方法巧妙自然,對學(xué)生平面幾何要求較高,但不失為一個(gè)好方法.

方法五(平移坐標(biāo)系,齊次化變換) 以A為原點(diǎn),AB所在直線為x′軸建立新平面直角坐標(biāo)系x′Ay′,則橢圓方程變?yōu)榧磝′2+9y′2-6x′=0,在新坐標(biāo)系下設(shè)直線CD的方程為mx′+ny′=1,于是x′2+9y′2-6x′(mx′+ny′)=0,整理得由韋達(dá)定理得kAC ·kAD=解得m=于是直線CD的方程為+ny′=1,過定點(diǎn)故在原坐標(biāo)系下過定點(diǎn)

點(diǎn)評上述解法可謂是“大道至簡”,利用了過原點(diǎn)直線的斜率的簡潔特性,也展現(xiàn)了截距式直線方程在解題中的妙用,大大降低了運(yùn)算,揭示了幾何問題的本質(zhì),同時(shí)也促進(jìn)了學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展.

方法六(熟用結(jié)論,優(yōu)美化簡)設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t),因?yàn)锳(-3,0),B(3,0),所以

由(1),(2)得

同理

由(4),(5)得

淮山中含有豐富的多糖、蛋白質(zhì)、尿囊素和膽堿等多種生物活性物質(zhì)，具有調(diào)節(jié)免疫、抗氧化、抗衰老、降血糖等功效。

又CD的方程為化簡得y=亦即故直線CD過定點(diǎn)

點(diǎn)評這種解法是利用了課本結(jié)論：kAC ·kBC=整體代入消元,大大化簡了運(yùn)算.

三、教材尋根,探究結(jié)論

高考題的命題有些是來源于教材,但往往又高于教材,因而我們的課堂教學(xué)需要回歸教材,扎根教材,根深才能葉茂,源遠(yuǎn)方能流長.2020年高考全國Ⅰ卷解析幾何題第(1)問來源于人教A 版選修2-1 第41 頁的例3.

題目(人教A 版選修2-1 第41 頁的例3) 已知A(-5,0)、B(5,0),直線AC,CB的斜率之積是求點(diǎn)C的軌跡方程.

分析點(diǎn)C的軌跡方程為可以逆向變式如下：

變式已知A(-5,0)、B(5,0)是橢圓的左右頂點(diǎn),點(diǎn)C是橢圓上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),求證：kCA·kCB為定值.

分析設(shè)點(diǎn)C(x,y),則從而y2=所以kCA ·kCB==

結(jié)論1已知A,B是橢圓=1(a＞b＞0)的左右項(xiàng)點(diǎn),點(diǎn)C是橢圓上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),則kCA·kCB=

證明如圖3,設(shè)C(x,y),A(-a,0),B(a,0),kCA=

代入前式得kCA·kCB=

圖3

圖4

結(jié)論2已知A,B是上雙曲線=1(a＞0,b＞0) 的左右項(xiàng)點(diǎn),點(diǎn)C是雙曲線上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),則kCA·kCB=

結(jié)論3已知A,B是橢圓=1(a＞b＞0)上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C是橢圓上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),則kCA·kCB=

證明如圖4,設(shè)C(x,y),A(x0,y0),P(-x0,-y0),則故即所以kCA · kCB==

結(jié)論4已知A,B是雙曲線=1(a＞0,b＞0)上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C是橢圓上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),則kCA·kCB=

四、深化認(rèn)識,性質(zhì)研究

橢圓、雙曲線和拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線,三者之間有很多可類比的性質(zhì),體現(xiàn)了圓錐曲線的內(nèi)在統(tǒng)一.下面主要是對第(2)問進(jìn)行探究,得出如下圓錐曲線的三個(gè)性質(zhì).

性質(zhì)1已知A,B分別是橢圓E:=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn),不過坐標(biāo)原點(diǎn)O的動(dòng)直線CD與E交于C,D兩點(diǎn),若直線AC與BD相交于點(diǎn)P,則交點(diǎn)P在x=(|m|＜a,m≠0)上的充要條件是直線CD恒過定點(diǎn)(m,0).

特別地,當(dāng)m=±c,則交點(diǎn)P在右(左)準(zhǔn)線上的充要條件是直線CD恒過橢圓右(左)焦點(diǎn).

證明先證明充分性.設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),A(-a,0),B(a,0),由結(jié)論1 得kCA·kCB=即=

設(shè)直線l:x=ty+m,代入橢圓方程+=1 得(a2+t2b2)y2+2tmb2y+(m2-a2)b2=0,則y1+y2=因此ty1y2=

直線AC的方程為y=(x+a),直線BD的方程為y=(x-a),AC與BD相交于點(diǎn)P,故即因?yàn)?/p>

所以x=

再證明必要性.(1) 當(dāng)直線CD斜率不存在時(shí),設(shè)CD:x=x0,設(shè)C(x0,y0),D(x0,-y0)(y0≠0),直線AC的方程為y=直 線BD的 方程為y=(x-a),AC與BD相交于點(diǎn)P,故解得x0=m.直線CD過定點(diǎn)(m,0).

(2)當(dāng)直線CD斜率存在時(shí),設(shè)直線CD的方程為y=kx+t,C(x1,y1),D(x2,y2),聯(lián)立直線CD與橢圓方程消去y得,(a2k2+b2)x2+2a2ktx+a2t2-a2b2=0,由韋達(dá)定理得

直線AC的方程為y=(x+a),直線BD的方程為AC與BD相交于點(diǎn)P,故即兩邊平方得代入橢圓方程化簡得(m2+a2)(x1+x2)-2mx1x2=2a2m,代入韋達(dá)定理結(jié)果得=2a2m,化簡為(t+mk)tm+a2k=0,所以t=-mk或t=當(dāng)t=-mk時(shí),直線CD的方程為y=k(x-m),此時(shí)直線CD過定點(diǎn)(m,0)；當(dāng)t=時(shí),直線CD的方程為y=此時(shí)直線CD過定點(diǎn)不滿足題意,舍去.綜上直線CD過定點(diǎn)(m,0).

性質(zhì)2已知A,B分別是雙曲線E:=1(a＞0,b＞0) 的左、右頂點(diǎn),不過坐標(biāo)原點(diǎn)O的動(dòng)直線CD與E交于C,D兩點(diǎn),若直線AC與BD相交于點(diǎn)P,則交點(diǎn)P在x=上的充要條件是直線CD恒過定點(diǎn)(m,0).

特別地,當(dāng)m=±c,則交點(diǎn)P在右(左)準(zhǔn)線上的充要條件是直線CD恒過雙曲線右(左)焦點(diǎn).

性質(zhì)2 的證明類似性質(zhì)1 的證明,此處不再贅證.

性質(zhì)3已知點(diǎn)O為拋物線E:y2=2px(p＞0)的頂點(diǎn),不過坐標(biāo)原點(diǎn)O的動(dòng)直線CD與E交于C,D兩點(diǎn),若過點(diǎn)C且平行于對稱軸(x軸)的直線與直線OD相交,則交點(diǎn)在定直線x=-m(m≠0)上的充要條件是直線CD過定點(diǎn)(m,0).

特別地,當(dāng)m=則交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x=上的充要條件是直線CD恒過拋物線焦點(diǎn)

證明先證明充分性.設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),CD直線方程為x=ty+n,聯(lián)立y2=2px得y2-2pty-2pn=0,y1y2=-2pn,由P,A,D三點(diǎn)共線,則

化簡為y1y2=-2pm,又y1y2=-2pn,所以n=m,即直線CD方程為x=ty+m,該直線過定點(diǎn)(m,0).

再證明必要性.設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),CD直線方程為x=ny+m,聯(lián)立y2=2px得y2-2pny-2pm=0,Δ＞0,pn2+2m＞0,y1y2=-2pm,聯(lián)立直線CP、PA方程解得又y1y2=-2pm,所以xP=-m,故動(dòng)點(diǎn)P在定直線x=-m上.

五、回顧真題,應(yīng)用性質(zhì)結(jié)論

由以上性質(zhì)結(jié)論不難發(fā)現(xiàn),在2019 全國ⅠⅠ卷理科第21題、2013 全國大綱卷理科第8 題、2016 山東卷理科第21 題、2010年高考江蘇卷18 題、2010年高考全國Ⅰ卷理第21 題、2013年全國高中數(shù)學(xué)競賽、2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽,2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽貴州預(yù)賽,2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽遼寧預(yù)賽節(jié)選,也均可以應(yīng)用以上圓錐曲線的性質(zhì)結(jié)論,體現(xiàn)了高考和競賽試題“常考常新,推陳出新”的理念.均可以用上述的通性通法來解答,由于篇幅關(guān)系,此處之作簡析.

例1(2019 全國ⅠⅠ卷理科第21 題節(jié)選)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交曲線C:=1 于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長交C于點(diǎn)G.證明：ΔPQG是直角三角形.

圖5

證明如圖5,設(shè)G(x,y),P(x0,y0),Q(-x0,-y0),E(x0,0),由結(jié)論3 得kGP · kGQ=又因?yàn)閗GQ=kEQ=所以kGP=因此kGP ·kPQ==-1,所以GP⊥PQ,所以ΔPQG是直角三角形.

例2(2013 全國大綱卷理科第8 題)橢圓C:=1 的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,點(diǎn)P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[-2,-1],那么直線PA1斜率的取值范圍是( ).

解析由結(jié)論1 得kPA1· kPA2=故因?yàn)楣蔬xB.

例3(2016 山東卷理科第21 題節(jié)選)已知以A,B為左右兩個(gè)頂點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是=1,若P是直線x=4 上且不在x軸上任意一點(diǎn),直線PA,PB與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別是M,N,證明直線MN過定點(diǎn)．

簡證由性質(zhì)1 得直線MN過定點(diǎn)橢圓的右焦點(diǎn)(1,0).

例4(2010年高考江蘇卷18 題節(jié)選)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,如圖6,已知橢圓=1 的左、右頂點(diǎn)為A,B,右焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)T(t,n)的直線TA,TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1,y1)、N(x2,y2),其中t＞0,y1＞0,y2＜0.設(shè)t=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與t無關(guān)).

圖6

簡證由性質(zhì)1 得,a2=9,t=9,T(9,n),設(shè)定點(diǎn)為D(m,0),則定直線t=所以=t,即=9,所以m=1.所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D(1,0).

例5(2010年高考全國Ⅰ卷理第21 題節(jié)選)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)K(-1,0)的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D.證明：點(diǎn)F在直線BD上.

簡證由性質(zhì)3 得,直線BD必過拋物線的焦點(diǎn)F(1,0).

例6(2013年全國高中數(shù)學(xué)競賽節(jié)選) 已知橢圓的離心率為且過點(diǎn)D(2,1).點(diǎn)A、B分別為C的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)Q(2,0)的直線與橢圓C交于E、F兩點(diǎn),AE與直線x=3 交于點(diǎn)M,試判斷F,B,M三點(diǎn)是否共線,并證明你的結(jié)論.

簡析由性質(zhì)1 得,a2=6,b2=3,m=2,即可得F,B,M三點(diǎn)共線.

例7(2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽節(jié)選) 已知橢圓C的離心率e=長軸的左右端點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0).設(shè)直線x=my+1 與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),直線A1P與A2Q交于點(diǎn)S,試問：當(dāng)m變化時(shí),點(diǎn)S是否恒在一條定直線上?若是,請寫出這條直線方程,并證明你的結(jié)論；若不是,請說明理由.

簡析如圖7,由性質(zhì)1 得,a2=4,b2=1,直線x=my+1 過定點(diǎn)(1,0),當(dāng)m變化時(shí),點(diǎn)S是恒在一條定直線x=4 上.

圖7

圖8

例8(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽貴州預(yù)賽)如圖,已知A、B是橢圓(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn),P、Q是該橢圓上不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn),且直線AP與QB、PB與AQ分別交于點(diǎn)M、N.證明：若弦PQ過橢圓的右焦點(diǎn)F2,求直線MN的方程.

簡析如圖8,由性質(zhì)1 得,m=c,即可得直線MN是右準(zhǔn)線x=

例9(2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽遼寧預(yù)賽節(jié)選) 已知橢圓=1(a＞b＞0) 的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F(c,0),且2b、a、c成等比數(shù)列.過點(diǎn)F的直線與橢圓相交于M、N兩點(diǎn),直線AM、AN分別與右準(zhǔn)線l相交于P、Q兩點(diǎn),求證：為定值.

簡析由性質(zhì)1 得kFP kFQ==-1,便可順利得證=0.

六、備考建議

1.要掌握圓錐曲線核心概念.

根據(jù)圓錐曲線的方程,a,b,c,p,e等是決定圓錐曲線性質(zhì)的關(guān)鍵量.圓錐曲線的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、軸、準(zhǔn)線、弦及其中點(diǎn)、切線、焦距、長(短)軸的長、焦半徑、面積、內(nèi)接圖形(特別是內(nèi)接三角形、內(nèi)截矩形等)、角(與焦點(diǎn)、中心等相關(guān))等以及它們之間的相互關(guān)系,都可以用這些不變量來表示.對此展開一番研究,能極大地提升學(xué)生對圓錐曲線的認(rèn)識水平.解題過程,先是把握圓錐曲線的基本要素、不變量,然后從“相互關(guān)系”“相互轉(zhuǎn)化”等角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、獲得性質(zhì),然后再通過邏輯推理證明其正確性.在發(fā)現(xiàn)曲線性質(zhì)的過程中,運(yùn)算、距離、角度、斜率、不變量等核心概念提供了基本思路和方法.綜合與聯(lián)系的目光要聚焦在核心概念上,目的在于促使學(xué)生從整體上更好地把握圓錐曲線.

2.解析幾何的核心方法是用代數(shù)的方法研究幾何問題.

在解題過程中,首先要將文字信息、圖形條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換,通過代數(shù)語言描述幾何要素及其關(guān)系,將已知的幾何條件表示成代數(shù)式,然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)算得出代數(shù)結(jié)果,最后通過分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義解決幾何問題.在這個(gè)過程中要經(jīng)歷文字信息、圖形特征和符號語言之問的多重轉(zhuǎn)換,因此,我們必須重視對幾何關(guān)系的深入研究,探究用何種代數(shù)形式能恰當(dāng)表示題目中的幾何關(guān)系,同時(shí)有利于代數(shù)運(yùn)算,從而形成正確的解題策略.

3.重視解析幾何的運(yùn)算教學(xué).

解析幾何的學(xué)習(xí)對運(yùn)算能力的要求頗高.鑒于當(dāng)前學(xué)生運(yùn)算技能水平不高的實(shí)際狀況,為了使學(xué)生更好地把握坐標(biāo)法的基本思想,控制代數(shù)運(yùn)算的難度和技巧是必須的.但必要的運(yùn)算是不可避免的,這是由解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)決定的.關(guān)鍵是要把握解析幾何中運(yùn)算的特點(diǎn).解析幾何中的運(yùn)算是建立在幾何背景下的代數(shù)運(yùn)算,所以先用幾何眼光觀察,分析清楚幾何圖形的要素及其基本關(guān)系,再用代數(shù)語言表達(dá),而且在運(yùn)算過程中時(shí)刻注意利用圖形的幾何特征及圖形間的關(guān)系來簡化運(yùn)算,這是解析幾何教學(xué)中突破運(yùn)算難點(diǎn)的關(guān)鍵舉措.解析幾何教學(xué)中,提高運(yùn)算能力不能僅僅從代數(shù)角度入手,還要努力提高學(xué)生的幾何圖形分析能力,也就是要在落實(shí)數(shù)形結(jié)合思想上下功夫.

4.充分發(fā)揮歷年高考題的教學(xué)功能.

首先教師所選擇的歷年高考題要有典型性,課堂上通過歷年高考題的教學(xué),要能輻射到多種思想方法,或能起到構(gòu)建知識框架的作用,或能揭示一般性的解題策略等等,從而達(dá)到教學(xué)效果的最大化,是解題教學(xué)的理想境界.

5.重視教科書中的例題與習(xí)題.

教科書中的例題深入理解圓錐曲線的幾何特征,熟練運(yùn)用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系,并能解決有一定綜合性的問題,通過解題感悟解析幾何中萄含的數(shù)學(xué)思想.具體的題目主要是研究圓錐曲線的性質(zhì).教學(xué)中應(yīng)注意這些題目的的教學(xué)功能,使學(xué)生認(rèn)識到認(rèn)真解答這些題目的重要性,必要時(shí)可以對有關(guān)題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪酵卣埂⒁活}多解、構(gòu)建思想方法、還原知識體系等等.

6.加強(qiáng)解題后反思,進(jìn)一步發(fā)展思維和提升能力.

圓錐曲線的定點(diǎn)、定值和定直線等探索性問題歷來是高考命題中的一個(gè)熱點(diǎn),此類問題往往蘊(yùn)含具有代表性、引申性的數(shù)學(xué)知識、性質(zhì).由一個(gè)問題往往能引申出多個(gè)結(jié)論.它的延伸、推廣,可以呈現(xiàn)出豐富多彩的數(shù)學(xué)內(nèi)容.因此,在平常備考時(shí),我們要有意加強(qiáng)對圓錐曲線性質(zhì)的推導(dǎo)與證明,注重對歷年高考題進(jìn)行適當(dāng)?shù)陌l(fā)散研究,可以讓達(dá)到深化認(rèn)識、舉一反三的目的,使得我們在高考中就能快速作答.