華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 王先義 劉秀湘

2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷以立德樹人為根本任務(wù),全面貫徹德智體美勞全面發(fā)展的教育方針,堅(jiān)持以素養(yǎng)為導(dǎo)向,能力為重的命題原則,融合數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)文化,在考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識時,注重對數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查,體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)科學(xué)選拔和育人導(dǎo)向的作用.盡管因疫情原因使備考受到影響,但大部分考生能夠正常發(fā)揮,基礎(chǔ)知識掌握較好.本文就2020年高考數(shù)學(xué)試卷試題分析、考生主觀題答卷典型錯誤和教學(xué)備考及建議三個方面進(jìn)行分析,希望有助于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及高考備考.

一、試題分析

2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷命題嚴(yán)格依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和考試大綱進(jìn)行命題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性和綜合性.在考查基礎(chǔ)知識的同時,注重對數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法的考查,展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值.

1.突出理性思維,考查關(guān)鍵能力

理性思維在數(shù)學(xué)素養(yǎng)中起著最本質(zhì)、最核心的作用.數(shù)學(xué)科高考突出理性思維,將數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力與“理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化”蘊(yùn)含的學(xué)科素養(yǎng)統(tǒng)一在理性思維的主線上,在數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究等方面突出體現(xiàn)了理性思維和關(guān)鍵能力的考查.如理科12 題以基本初等函數(shù)中的指數(shù)和對數(shù)函數(shù)及其運(yùn)算法則為知識背景,條件簡潔大方,要求考生能夠深入思考條件的結(jié)構(gòu)特征,從而構(gòu)造函數(shù)模型,綜合考查學(xué)生的觀察、運(yùn)算、推理判斷與靈活運(yùn)用知識的綜合能力.文科16 題主要考查數(shù)列的遞推公式、數(shù)列的部分和以及數(shù)學(xué)分類討論思想,在數(shù)學(xué)運(yùn)算中滲透了等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用；試題在遞推結(jié)構(gòu)上進(jìn)行創(chuàng)新,使考生不能直接套用公式進(jìn)行求解,需要考生通過觀察和思考,分析奇偶項(xiàng)的符號特征.理科16 題給出常見的三棱錐的平面展開圖,要求考生能夠同時結(jié)合三棱錐的平面展開圖和立體模型進(jìn)行思考,并運(yùn)用解三角形的知識進(jìn)行求解,綜合考查學(xué)生的觀察、空間想象和運(yùn)算能力.理科19 題以實(shí)際生活的比賽為背景,題干條件通俗易懂,設(shè)問簡約明了,但問題復(fù)雜多樣,要求學(xué)生面對實(shí)際問題進(jìn)行深入分析,逐一分類討論,綜合考查學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力和應(yīng)用意識.這些試題在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識的同時,打破以往的高考解題的套路,對試題的條件和結(jié)構(gòu)進(jìn)行大膽創(chuàng)新,旨在于引導(dǎo)考生在解決問題時應(yīng)先根據(jù)問題情境觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括,從而尋得解決之道,突出理性思維,考查學(xué)生的關(guān)鍵能力.

2.堅(jiān)持探索創(chuàng)新,科學(xué)調(diào)控難度

2020年的全國Ⅰ試卷在基礎(chǔ)內(nèi)容上全面考查,主干內(nèi)容考查保持穩(wěn)定,在試卷難度設(shè)計(jì)上進(jìn)行了探索創(chuàng)新,科學(xué)調(diào)控試卷難度,體現(xiàn)了“低起點(diǎn)”、“多層次”和“高落差”三個特點(diǎn).

首先,選擇題、填空題的起點(diǎn)低、入口寬.選擇、填空題主要考查基礎(chǔ)知識的掌握情況,沒有多個知識點(diǎn)的交匯或設(shè)置陷阱,考生僅需要運(yùn)用相關(guān)知識進(jìn)行簡單的計(jì)算或觀察即可得出答案.即使作為選擇題的壓軸題,文科12 題也是一道“純”立體幾何問題,分析題意后即可轉(zhuǎn)化為“已知正三棱錐的底面邊長和高,求側(cè)棱長”的問題,思維轉(zhuǎn)化比較順暢,并不要求多個模塊知識的綜合交匯.理科16 題是填空題的壓軸題,將三棱錐與其展開圖相結(jié)合來設(shè)置問題,立意很新穎,內(nèi)容卻常規(guī),對于全體考生都比較熟悉.

其次,試題設(shè)計(jì)重視思維的層次性.文科18 題以解三角形問題為載體,深入考查正弦定理、余弦定理及三角恒等變換等知識,對考生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的要求較高；第(1)問設(shè)置求三角形的面積的問題,問題通俗簡單,考生既能利用余弦定理求出三角形面積,也能用正弦定理結(jié)合三角恒等變換求出三角形面積,不同層次的考生都能嘗試作答.理科18 題借助圓錐與多面體相結(jié)合的圖形考查線面垂直和二面角余弦值的問題,不同層次的考生都能作答,但證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性和思路的簡潔性區(qū)分了不同層次的考生.由于圖形結(jié)構(gòu)的新穎,部分考生建系時原點(diǎn)與坐標(biāo)軸的選擇不當(dāng),導(dǎo)致關(guān)鍵點(diǎn)、向量的坐標(biāo)計(jì)算復(fù)雜；另外,部分學(xué)生對這類問題缺乏整體的解決方案,不知道求解第(2)問時可以直接利用之前的結(jié)論.如果注意到圓錐和三棱錐的高度對稱性,考生建系時能使圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)落在坐標(biāo)平面內(nèi),那么解答過程不僅思路簡單,而且可以降低運(yùn)算的難度,節(jié)約時間成本.總體來說,空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力較高的考生在此題解答中得到較好的展現(xiàn).

再次,試題在思維的靈活性、深刻性,方法的綜合性、探究性和創(chuàng)造性等方面體現(xiàn)區(qū)分度,不同的解題策略和計(jì)算的準(zhǔn)確度會產(chǎn)生解題時間成本上的巨大的“落差”.考生作答時應(yīng)“三思后行”,結(jié)合題干信息,對各種解決策略進(jìn)行前瞻性的預(yù)判,選擇解題問題的最佳策略,從而贏得時間.文科18 題第(2)問考生既可以利用三角形的內(nèi)角和消元得到關(guān)于角C(或A) 的三角方程,利用三角恒等變換公式直接求出角C(或A),也可以結(jié)合平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系等轉(zhuǎn)化為角C的正切方程等,實(shí)際上,此題借助題中∠B的三角函數(shù)值巧妙轉(zhuǎn)化,則可以利用正弦定理轉(zhuǎn)化為極大地簡化運(yùn)算.文科18 題第(2) 問求三棱錐的體積時,將體積表達(dá)式進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)化,即VP-ABV=VB-ACP,避免計(jì)算PO,提高運(yùn)算效率.理科19題第(2)問注意圓錐和三棱錐的高度的對稱性,選取O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立合適的空間直角坐標(biāo)系,使得P,E在坐標(biāo)軸上,BC平行于軸,這樣可以快速寫出各個點(diǎn)的坐標(biāo),計(jì)算出法向量,同時結(jié)合第(1)問的結(jié)論,降低計(jì)算量.文科21 題(理科20 題)第(2)問屬于高中數(shù)學(xué)圓錐曲線中的定點(diǎn)問題,考查高中數(shù)學(xué)的基本知識、基本技能、基本思想方法.另外,該題考查的問題經(jīng)典,思路簡單,但是運(yùn)算量大,運(yùn)算的準(zhǔn)確度要求高,主元選擇和消參的技巧性強(qiáng),是一道“入門容易成佛難”的試題.理科21 題是以含參函數(shù)的性質(zhì)研究為載體,設(shè)計(jì)了一道可以多角度思考的問題,學(xué)生可以根據(jù)自己的水平和能力找到不同的解決方法和途徑,大部分學(xué)生都選擇做差或者分離參數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,不同方法使求導(dǎo)和函數(shù)性態(tài)分析難度相差較大,對考生的邏輯推理和運(yùn)算能力要求較高.

3.堅(jiān)持立德樹人,倡導(dǎo)五育并舉

2020年高考數(shù)學(xué)試卷結(jié)合學(xué)科特點(diǎn)和學(xué)科知識,基于“五育并舉”的教育方針高度進(jìn)行整體設(shè)計(jì),響應(yīng)德、智、體、美、勞全面發(fā)展的教育方針.文、理科試卷的第3 題以世界奇跡“古埃及胡夫金字塔”為例,抽象出正四棱錐模型,將立體幾何的基本知識與世界文化遺產(chǎn)有機(jī)融合,該題在考查學(xué)生立體幾何圖形時,也引導(dǎo)學(xué)生欣賞自然之美,將美育教育融入數(shù)學(xué)教育.文、理科第5 題以課外學(xué)習(xí)小組的實(shí)驗(yàn)研究為背景,考查學(xué)生對統(tǒng)計(jì)知識和函數(shù)模型的應(yīng)用,展示了其它學(xué)科與數(shù)學(xué)學(xué)科的交叉與聯(lián)系,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的基礎(chǔ)性和廣泛性.理科19 題以3 人羽毛球比賽為背景,通過約定賽制及可能存在的比賽結(jié)果設(shè)置問題,將概率問題融入常見的羽毛球比賽中,考查考生古典概率模型、事件的關(guān)系和運(yùn)算、事件獨(dú)立性等知識,考查考生的邏輯思維能力,引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,會用數(shù)學(xué)的思維分析世界,會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.文科第17 題以社會生產(chǎn)勞動實(shí)踐為情境,以工業(yè)生產(chǎn)中的總廠分配分配加工業(yè)務(wù)為主題,以兩分廠的A 級品概率和廠家的決策問題設(shè)問,考查考生應(yīng)用所學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)知識分析和處理現(xiàn)實(shí)社會中實(shí)際數(shù)據(jù)的能力,試題來源于勞動,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的密切關(guān)聯(lián),培養(yǎng)學(xué)生的勞動態(tài)度和勞動精神.這些試題情境來源于社會生活的不同領(lǐng)域,美育教育有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的審美素養(yǎng),促進(jìn)學(xué)生形成積極的人生態(tài)度,發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力；體育教育能幫助學(xué)生形成健康意識,注重增強(qiáng)體質(zhì),健全自身人格,鍛煉精神意志；勞動教育有助于培養(yǎng)學(xué)生的勞動態(tài)度和勞動精神,對塑造正確的世界觀、人生觀和價值觀具有重要的意義.

二、考生填空、解答題答卷典型錯誤及分析

(一)文科卷

題號考生的典型錯誤原因分析答案為8.誤將最優(yōu)解(1,0)當(dāng)作(1,1)代入.13答案為7.誤將最優(yōu)解(1,0)當(dāng)作(0,1)代入.題答案為14.可行域判斷錯誤,認(rèn)為最優(yōu)解在(0,2)處取得.其他錯誤答案.可行域判斷錯誤或如錯解直線交點(diǎn).答案為1.審題不清,誤將“垂直”當(dāng)作“平行”處理,即a//b,則m=1.14答案為-1 或2.取b 向量的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為0,即m+1=0 或2m-4=0.題答案為-3.計(jì)算出錯,即a·b(m+1)-(2m-4)==-m-3=0,則m=-3.其他錯誤答案.(1)向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式錯誤；(2)求解m 出錯.答案為y-2x,2x,2x-y.方程表示不完整,有缺失項(xiàng).答案為y=2k.做題粗心,錯誤使用自變量變量符號使用k 指代x.答案為f(x)=2x.方程與函數(shù)概念混淆.答案為y=2x=0.對直線方程的概念理解不清.答案為y=2x(x＞0).對變量取值范圍理解有誤,將曲線中的x 取值范圍直接套用到其切線y=2x上.答案為(1,2).審題不清,誤以為題目為求切點(diǎn)坐標(biāo).15題答為y-y0=2(x-1),y-y0=2(x-x0),y=2x+b.不會計(jì)算或者完整計(jì)算切點(diǎn)坐標(biāo).答案為y=2x+1 或y=2x-5.切點(diǎn)求解錯誤,誤認(rèn)為ln 1=1,所以x0=1,y0=ln x0+x0+1=3,即由直線方程為y=2x+1 或者在代入點(diǎn)斜式時將切點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)代反,即y=2x-5.答案為y=2x-2.直線方程點(diǎn)斜式記憶錯誤,將x0=1 后直接代入錯誤的點(diǎn)斜式方程y=k(x-x0)得y=2x-2.其他斜率為2 的錯誤直線方程.(1)求導(dǎo)出錯；(2)計(jì)算切點(diǎn)出錯；(3)直線方程化簡出錯等.16答案為1,2,3,4,2020.盲猜答案.題其他錯誤答案.在分奇、偶項(xiàng)計(jì)算時錯誤.第一問：概念理解錯誤用頻率估計(jì)概率出錯,如P甲=100× 1 P乙=100× 1 4=5 28=25 2,對題干中信息和表格中的數(shù)據(jù)意義理解出錯,不知道如何用頻率來估計(jì)概率.7.第一問：計(jì)算錯誤40分?jǐn)?shù)化簡約分出錯.100=1 25, 28 100=1 25, 28 100=9 10.17題第二問：審題不清x甲=90×40+50×20+20×20

-50×20-100×25=1500.x乙=90×28+50×17+20×34-50×21-100×20=1000.審題不清,沒有求平均利潤,以總利潤大小為標(biāo)準(zhǔn)判斷,但與題目的設(shè)問不符.第二問：平均數(shù)計(jì)算錯誤(1)x甲=40×90+50×20+20×20-20×50 100=40；(2)x乙=28×90+17×50+34×20-21×50 100=30；(3)x甲=40×90+50×20+20×20 80 - 50×20 20-25×100 100=-125；(4)(1)計(jì)算利潤時沒有減掉成本；(2)直接用平均加工費(fèi)判斷；(3)平均利潤概念不清,計(jì)算平均利潤時,總頻數(shù)用錯.x乙=28×90+17×50+34×20 29 - 50×21 21-20×100 100=-23.第二問：計(jì)算錯誤(1)1500 100=100;(2) 1 100=150, 1000 100×(90-25)×40+(50-25)×20+(20-25)×20-(50+25)×20=15.四則混合運(yùn)算計(jì)算出錯,漏括號等.第一問：公式出錯(1)b2=a2+c2-ac·cos B；(2)b=a2+c2-2ac·cos B；(3)b=a+c-2ac·cos B；(4)sin B= a2+c2-b2余弦定理公式錯誤.2ac 等等.第一問：公式錯誤S=1三角形的面積公式記錯.2ab sin A=1 2ab sin B=1 2ac cos B.第一問：特殊角的三角函數(shù)值錯誤(1)cos 150°=1 2;(2)cos 150°=-1√2;特殊值的三角函數(shù)值記錯.(3)sin 150°=3√2 ;(4)sin 90°=2 2 等等.第一問：計(jì)算錯誤(1)28=(√√3c)2+c2-2√3c2·(-3 2 ),得c2=28.(2) 4c2-28√計(jì)算錯誤,多項(xiàng)式的四則運(yùn)算錯誤或者無理數(shù)的平方計(jì)算錯誤.2√2,得c2=7 3c2=-3(3)(2√2.7)2=14.第一問：第(1)問已知條件是B=150°,應(yīng)該用關(guān)于B 的余弦定理,學(xué)生誤用關(guān)于A或C 的余弦定理導(dǎo)致解題受阻.解題思路錯誤.18題第二問：審題不清第(2)問誤用第(1)問的條件.題干、題設(shè)條件關(guān)系不清楚.第二問：將條件sin A+√√2 抄錯成sin A+√3 sin C=2√數(shù)據(jù)抄錯,解題習(xí)慣不好.3 sin C=3 2.第二問：對sin A+√√√2 直接用正弦定理得到a+√3 sin C=2公式運(yùn)用錯誤.3c=2 2.第二問：公式錯誤或者不熟悉(1)sin A+√3 sin C=2 sin(A+ π 6);(2) 1√2 sin C=sin(A+C);(3)sin[π-(B+C)]=sin(B-C);(4)化簡到2 sin A+3√√2 sin C+1 3 2 2 cos C=2(1)輔助角公式(或正弦的和角公式)記錯；(2)誘導(dǎo)公式記錯；(3)不會逆用和角公式化簡或者輔助角公式化簡等.不知道怎么處理.第二問：合并同類項(xiàng)錯誤由1√2 sin C+√√2 cos C-3 2 3 sin C=2得√√(1) 1 2 3 2 ;(2) 1 2 cos C-2 sin C=2 cos C- 3√在進(jìn)行代數(shù)式的計(jì)算時,合并同類項(xiàng)出錯.3√2 2 ;(3) 1 2 sin C=2 cos C+3√3√2 2 ;(4) 1 2 sin C=2 cos C+2√3-√3√2 2 sin C=2.

第二問：角的范圍與三角函數(shù)值由sin(C+ π√2 6= π思維不嚴(yán)謹(jǐn),本題中0＜C＜π 6)=4 或C+ π 2,C+ π 6,考生沒有考慮角的范圍,導(dǎo)致答案出錯.6=3π 4,解得C= π 12 或7π 12.第二問：思路錯誤由sin(A+C)=sin B=1■■■■■■■■■ ■■■■■■■■2 得方程組sin A cos C+cos A sin C=1 sin A+√√2,2 2,sin2 A+cos2 A=1,sin2 C+cos2 C=1.方程組無法求解.3 sin C=考生對三角恒等變換不熟練,陷入四元二次方程組的“死胡同”,而未能求解出sin C 的值.第一問：邏輯完全混亂,沒有明確的思路,證明完全錯誤.相關(guān)知識完全沒掌握.第一問：僅直接寫出PA⊥PC,PA=PB,ΔPAC ∽=ΔPBC,OD⊥面ABC,OP⊥面ABC 等部分相關(guān)條件.對面面垂直的方法和判定定理不熟悉.第一問：邏輯不嚴(yán)謹(jǐn)沒有PA=PB 等條件直接推導(dǎo)出ΔPAC ∽=ΔPBC.邏輯推理不嚴(yán)密,跳步嚴(yán)重.第一問：沒證明PB⊥PC.直接寫出結(jié)果,缺少ΔPAC ∽=ΔPBC,三棱錐P-ABC 為正三棱錐或者PC2+PB2=BC2 等依據(jù).19題第一問：(1)未說明PC⊥AB；(2)未從PO⊥面ABC 推出PO⊥AB；(3)沒從AB⊥面POC 推出AB⊥PC.線面垂直定義和線面垂直判定定理不熟,邏輯推理不嚴(yán)密.第一問：沒有完整、充分的說明“一條線垂直面內(nèi)兩相交直線”條件就直接寫出“線面垂直”的結(jié)論.線面垂直判定定理不熟,邏輯推理不嚴(yán)密.第二問：求圓錐底面半徑所需兩個方程不全或出錯(1)沒法準(zhǔn)確得出方程rl=√3；(2)沒法準(zhǔn)確得出方程l2-r2=2.缺乏方程思想,對圓錐相關(guān)性質(zhì)不熟悉.第二問：解方程求r 的計(jì)算出錯或者無法求解.運(yùn)算能力較差,高次方程不懂得換元降次或者十字相乘法不熟.第二問：錐體體積公式少乘“1 3”或三角形面積公式少乘“1錐體體積公式和三角形面積公式不熟悉.2”.第二問：高PO 算錯.相關(guān)公式不熟或未找出計(jì)算方法.一問：求解不等式或方程錯誤(1)令f′(x)=0,得x=1；(2)令f′(x)＞0,得x＞e；(3)令f′(x)=ex-1＞0,得x＜0.極值點(diǎn)求錯或不等式ex-1＞0,ex-1＜0 不會解或解錯.第一問：x＜0,f(x)單調(diào)遞減；x＞0,f(x)單調(diào)遞增.單調(diào)區(qū)間沒有寫成區(qū)間形式,第一問：直接說f(x)在x ∈(0,+∞)單調(diào)遞增；f(x)在x ∈(-∞,0)單調(diào)遞減.單調(diào)性分析不完整.第一問：x＜0,f(x)＜0,f′(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減；x＞0,f(x)＞0,f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；f(x)與f′(x)關(guān)系混淆.第一問：f′(x)=ex-1,f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減.未能用f′(x)與0 的關(guān)系分析單調(diào)性.第一問：設(shè)x1＜x2＜0,則f(x1)-f(x2)＞0.方法不當(dāng),試圖單調(diào)性的定義法證明單調(diào)性.第二問：直接令最小值f(ln a)＜0,解得a＞1 e.沒有討論a 在其它范圍所對應(yīng)零點(diǎn)的個數(shù),思維不嚴(yán)謹(jǐn).20題第二問：f′(x)=ex-a,y=f(x)有兩個零點(diǎn),等價于y=ex 與y=a 有兩交點(diǎn).將f(x)零點(diǎn)與f′(x)零點(diǎn)混淆.

第二問：f(x)有兩零點(diǎn),則Δ＞0.將二次函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)判斷錯誤遷移.第二問：x＜ln a,f(x)遞減；x＞ln a,f(x)遞增,f(x)最小為f(ln a)＜0,則有兩個零點(diǎn).沒有在x=ln a 左右兩端找到令f(x0)＞0 的x0,缺乏用零點(diǎn)存在定理“卡點(diǎn)”的嚴(yán)謹(jǐn)性.第二問：(1)a ≤0 時f′(x)＞0,f(x)在? 上遞增(沒有描述零點(diǎn)個數(shù)情況).(2)a ≤0 時,f(x)只有一個零點(diǎn)(零點(diǎn)個數(shù)情況描述錯誤).對于簡單的特殊情況未能準(zhǔn)確說清零點(diǎn)個數(shù).第二問：局部分參法a＞0,不會計(jì)算過定點(diǎn)(-2,0)與y=ex 相切的切線斜率k.不會求過曲線外一點(diǎn)求已知曲線的切線方程.第二問：局部分參法求得切線斜率k=1 e,a＞1 e 時,有兩個零點(diǎn)(其它范圍沒有分析零點(diǎn)個數(shù)).沒有分類討論斜率a 在不同范圍內(nèi),零點(diǎn)個數(shù)的不同情況,缺乏對答案完備性的分析.第二問：完全分參法由f(x)=ex-a(x+2)=0 得a= ex沒有考慮x≠-2,以致后續(xù)對g(x)= ex x+2 圖像分析錯誤.x+2.第二問：完全分參法后函數(shù)求導(dǎo)錯誤g′(x)= ex(x+3)求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則不熟悉.(x+2)2.第二問：完全分參法x ∈(-∞,-2),x ∈(-2,-1),g(x)單調(diào)遞增,x ∈(-1,+∞),g(x)單調(diào)遞減.單調(diào)性判斷錯誤.第一問：圓M 的圓心M(a,b)滿足的方程組■■ ■(a+√2)2=r2(a-√2)2+(b-√2)2+(b+√2)2=r2 沒有計(jì)算能力不足,不能對三元二次方程組進(jìn)行消元求解.解出a=b 或者解出a 與b 是錯誤關(guān)系.第一問：A,B,G 的坐標(biāo)出錯或-→AG,--→GB 的坐標(biāo)表示出錯(1)寫成A(-c,0),B(c,0)；(2)寫成A(-x,0),B(x,0)或者A(x1,0),B(x2,0)；(3)寫成A(-a,0),B(a,0),G(1,0)或-→AG=(1+a,0),--→GB=(a-1,0)等.(1)沒看清題意,誤將橢圓頂點(diǎn)看做焦點(diǎn)；(2)向量坐標(biāo)表示等概念理解不清楚,向量加、減和點(diǎn)乘的坐標(biāo)運(yùn)算法則錯誤；(3)書寫粗心導(dǎo)致計(jì)算錯誤.第一問：-→AG·--→GB=8 的轉(zhuǎn)化或計(jì)算出錯(1)|AG|=|GB|=a 或-→AG·--→GB=a2=8 或-→AG·--→GB=2a=8；(2)-→AG·--→GB=2c=8；(3)√a2+1·√a2+1=8；(4)得a2-1=8,所以a2=7 得|-→AG|·|--→GB|cos ∠AGB=8 或∠AGB=120°.(1)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則不熟悉；(2)把AG,GB 的長度看成a,認(rèn)為-→AG·--→GB=a2 或-→AG·--→GB=a+a；(3)向量的數(shù)量積的公式錯誤,認(rèn)為-→AG·--→GB=■■■-→AG■■■■■■--→GB■■■,向量夾角概念不清楚,認(rèn)為-→AG 與--→GB 的夾角是∠AGB,或認(rèn)為-→AG 與--→GB 的夾角是60°.21題第一問：方程寫成x2求出a=3,忘記平方.3+y2=1.第二問：聯(lián)立■■ ■CD:x=my+n或y=kx+t,x2 9+y2=1,消元整理過程出錯,或韋達(dá)定理出錯.代數(shù)運(yùn)算容易出錯.第二問：直線PA,PB 的方程出錯(1)設(shè)lPA:y=k(x+3),lPB:y=k(x-3);(2)設(shè)lPA:y=k1x+b1,lPB:y=k2x+b2;(3)設(shè)lPA:y= y0 3 (x-3),lPB:y= y0 9 (x+3);(4)設(shè)lPA:y=9 y0(x+3),lPB:y=3(1)對直線方程的表達(dá)方式不熟悉,習(xí)慣性書寫導(dǎo)致出錯.(2)兩條直線斜率不一樣,習(xí)慣性書寫時不區(qū)分.(3)沒有利用已知點(diǎn),機(jī)械設(shè)方程,增加了方程的未知量的個數(shù)；(4)斜率計(jì)算出錯,或?qū)π甭使秸莆詹焕?y0(x-3).第二問：C,D 點(diǎn)坐標(biāo)出錯.不會應(yīng)用韋達(dá)定理求根,或運(yùn)算出錯.

第二問：定點(diǎn)求錯或無法求出定點(diǎn).字母運(yùn)算、轉(zhuǎn)化能力不足.第二問：沒有討論特殊情況：設(shè)CD:x=my+n 漏掉y=0 的情況；設(shè)CD:y=kx+t 漏掉斜率不存在的情況.做題不細(xì)心,解題思路不嚴(yán)謹(jǐn).第一問：曲線方程正確但描述不完整只回答圓或半徑為1 的圓或圓心在原點(diǎn)的圓或沒有回答問題.不知道描述一條曲線不能僅僅說明形狀,還應(yīng)該包含這條曲線的關(guān)鍵要素.第一問：轉(zhuǎn)化參數(shù)方程時得錯誤曲線y=x tan t或x2+y2=t2 或x2+y2=1 并回答曲線是“直線”或“橢圓、雙曲線”等.(1)不知道如何消參或?qū)?shù)的理解錯誤,轉(zhuǎn)化過程并沒有消去參數(shù)t；(2)認(rèn)為cos t 是cos 乘t；(3)對于常見曲線方程的形式不能給出正確判斷,即對直線、橢圓和雙曲線的方程表達(dá)形式不熟悉.第二問：方程C1:■■ ■x=cos4 t y=sin4 t(t為參數(shù))不會消參,只代入k=4 或者嘗試用x-y=cos2 t-sin2 t 消參或者消參得x+y=1.對三角恒等式的運(yùn)用不熟練,不能觀察出√x=cos2t,√y=sin2t,然后根據(jù)三角恒等關(guān)系消元.第二問：聯(lián)立■■ ■√x+√y=1,4x-16y+3=0,消元后無法求解方程.(1)看到根號就懵了,不懂得如何解方程組,對代入消元解方程組的方法思想沒有掌握；(2)對于含根的方程不知道如何處理,不能根據(jù)式子結(jié)構(gòu)利用一元二次方程的方法求解.第二問：x=1求得方程組的解為4或■■■ ■■y=1■■■■ ■■■√2 x=2√2 x=169或等.(1)十字相乘時符號錯誤；(2)平方變成開方；(3)y 忘記平方；(4)沒有驗(yàn)算的意識.y=2■■■ ■■36 y=7 6 2 22題第二問：直接聯(lián)立C1 與C2,化簡得到方程4cos4t-16sin4t+3=0 后不能對方程繼續(xù)處理.不知道可以把cos4 t 看成(cos2 t)2,并利用cos2 t+sin2 t=1 化成一個一元二次方程.第二問：■■■ ■■x=cos4 t=cos2 2t+1指數(shù)冪運(yùn)算不過關(guān)或者二倍角公式使用錯誤,應(yīng)化簡為2 ,y=sin4 t=1-cos2 2t)2 x=cos4 t=(cos2 2t+1■■■■ ■■■2,2 .)2 y=sin4 t=(1-cos2 2t .2第二問：(1)直線的方程寫成4x-6y+3=0 或者4x+16y+3=0 或者2x-16y+3=0；(2)√(1)粗心,符號或者系數(shù)抄錯；(2)完全平方公式不熟練.x+√y=1 變形得到x2+y2+2√xy=1 或者x2+y2=1.(1)點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算錯誤或者將點(diǎn)(-1 3,-8 3)錯誤地點(diǎn)在了(-1 3)或(-1 3 );(2)將y=-x-3 畫成了像單調(diào)遞增的函數(shù)圖像,對于一次函數(shù)的單調(diào)性理解有誤；(3)將直線畫成了各種曲線,對各種函數(shù)圖像記憶混淆；(4)沒有寫出完整的解析式,導(dǎo)致分段函數(shù)的部分段圖像沒有畫完整；(5)3,-5 3,-11第一問：圖像錯誤(1)描點(diǎn)的位置不準(zhǔn)確；(2)直線的位置不對；(3)直線化成曲線；(4)圖像不完整；(5)平移圖像畫得不規(guī)范；(6)圖像平移的方向錯.images/BZ_7_1893_2899_2141_3141.png(6)將f(x)的圖像向右平移得到

f(x+1)的圖像,對于函數(shù)圖像的平移方向的判斷掌握不熟.-x-3,x＜-1 3;第一問：分段函數(shù)出錯(1)分段函數(shù)定義域不全；(2)分段函數(shù)解析式錯誤.(1)■■■■■ ■■■■5x-1,-1 3＜x＜1;x+3,x＞1;忽略端點(diǎn)；(2)去絕對值時候的運(yùn)算錯誤,導(dǎo)致解析式求錯.第二問：分類討論中錯誤(1)分類討論分類不完整；(2)每一類討論最后交集求錯；(3)分類討論中錯用大括號,并集寫成交集；(1)分類的臨界點(diǎn)沒有找完整；(2)在分類討論時,對條件和結(jié)論的關(guān)系沒有厘清；(3)粗心導(dǎo)致數(shù)字計(jì)算和大小比較錯誤.第二問：集合運(yùn)算的問題(1)解集的形式錯誤；(2)并集符號的使用錯誤；(3)元素和集合的關(guān)系表達(dá)錯誤.(1)解集寫成x＜7 23題6;(2)解集寫成x ≤-4 3 ∪-4 3＜x＜7 6;(3)x ∈?寫成x=?.第二問：計(jì)算出錯(1)合并同類項(xiàng)錯誤；(2)解不等式錯誤；(3)絕對值計(jì)算錯誤.(1)多項(xiàng)式的運(yùn)算能力偏弱；(2)-6x＞7 解成x＞-7 6;(3)取絕對值時,絕對值符號里面式子的正負(fù)判斷失誤.第二問：求交點(diǎn)用錯分段函數(shù)解析式.函數(shù)圖像和解析式的對應(yīng)能力偏弱.第一問：解不等式錯用了放縮.錯誤利用絕對值不等式放縮,從而能解出不正確的結(jié)果.例如：要解不等式|3x+1|+|3x+4|＞2|x-1|-2|x|,但因?yàn)?|x-1|-2|x|≤2,錯誤的將原式等價于解|3x+1|+|3x+4|＞2.

(二)理科卷

題號考生的典型錯誤原因分析13答案為14.計(jì)算錯誤.題答案為-11用代點(diǎn)法的時候代入錯誤的點(diǎn).2 或-7.14答案為3.向量模的運(yùn)算錯誤,求出向量的模的平方之后忘記開方.題答案為1 或√2 或2.看到單位向量且認(rèn)為是等邊三角形或者等腰直角三角形.答案為√3 或2 或3 或1計(jì)算錯誤.案為√√3.2 或2誤認(rèn)為是a=b.2.15題答案為√10.把直線AB 的斜率誤認(rèn)為是漸近線的斜率.答案為1 2.離心率公式記憶錯誤,誤認(rèn)為離心率是a/c.答案為-1余弦定理公式錯誤,公式右邊系數(shù)記錯.2 或1 2.√√16題√答案為2 2 或3 2 或-3 2.胡亂猜測角的大小,寫出相應(yīng)的三角函數(shù)值.答案為60° 或120° 或45° 等等.(1)審題不準(zhǔn)；(2)胡亂猜測角的大小.答案為1運(yùn)算錯誤.4.第一問：由a1 為a2,a3 的等差中項(xiàng)得2a1=a3-a2,a12=a2·a3,a2=a1+d 等.等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)概念不清導(dǎo)致混淆第一問：由q2+q-2=0 解得q=-1,q=2,q=-1±√5方程求解錯誤,對一元二次方程的系數(shù)看錯或者求根公式錯誤.2 .第一問：由q2+q-2=0,解得q=1,q=-2.沒有舍去q=1.審題不準(zhǔn),沒看清題干條件.

17題第二問：當(dāng)n 為奇(偶)數(shù)時,Sn=1×(-2)0+2×(-2)2+4×(-2)4···+(n-1)×(-2)n-1.概念不清,沒理解前n 項(xiàng)和的概念.第二問：用錯位相減法得3Sn=(-2)0+(-2)1+(-2)2+···+(-2)n-1+n·(-2)n.正負(fù)號出錯.第二問：由q=-2,得an=-2n-1,所以Sn=1+2·-2+3·-22+···+n·-2n-1.表達(dá)有誤,平時書寫習(xí)慣不好.第二問：3Sn=(-2)0+(-2)1+(-2)2+···+(-2)n-1-n·(-2)n,得3Sn=1+(-2)·[1-(-2)n]1-(-2) -n·(-2)n或者對等比數(shù)列求和公式不熟,如弄錯項(xiàng)數(shù).3Sn=(-2)·[1-(-2)n]1-(-2) -n·(-2)n.第二問：由3Sn=1+(-2)[1-(-2)n-1]3 -n·(-2)n得Sn=1 9- (3n-1)(-2)n 9 或者Sn=1指數(shù)運(yùn)算能力欠缺,合并同類項(xiàng)正負(fù)號出錯.3+-2+2·(-2)n-1+n(-2)n 9 .第二問：由3Sn=1-(-2)n 3 -n·(-2)n 得Sn=1-(3n+1)·(-2)n.誤將除以3 當(dāng)成乘以3 進(jìn)行運(yùn)算.第二問：由 ①- ②得Sn=1 9-(3n+1)(-2)n 9跳步太多,導(dǎo)致失分.或者得出錯誤答案.第一問：表達(dá)不嚴(yán)謹(jǐn),對于兩問中邊長數(shù)值的設(shè)定,沒有“不妨設(shè)”或者“不失一般性假設(shè)”等關(guān)鍵字眼.不清楚上述表達(dá)的內(nèi)涵,書寫不嚴(yán)謹(jǐn).第一問：各類數(shù)據(jù)計(jì)算錯誤率很高(1)設(shè)等邊三角形邊長AB=a 或AB=1 時,其它邊長計(jì)算出錯.(2)通過向量坐標(biāo)計(jì)算法向量時出錯.(1)帶字母結(jié)構(gòu)的運(yùn)算能力較差；(2)含根號結(jié)構(gòu)的化簡處理能力欠缺.第一問：無任何合理證明即認(rèn)定PA⊥PB 和PA⊥PC 關(guān)鍵證明步驟缺失.缺乏證明線線垂直的平幾思路.第一問：直接利用線線垂直或者面面垂直直接得到線面垂直,如由PA⊥BC 直接得PA⊥面PBC.對線面垂直的判定定理不清楚.18題第一問：用法向量知識證明線面垂直時,利用-→PA·m=0 得-→PA//m.對線面垂直的向量判定原理不清晰.第二問：建系出錯,沒有保證三個方向互相垂直,如分別以-→CA,--→CB 為x,y 軸建系.空間想象能力弱導(dǎo)致尋找垂直關(guān)系困難第二問：書寫點(diǎn)的坐標(biāo)和所建立的坐標(biāo)系不一致對坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸所對應(yīng)的方向感較差.第二問：利用等體積法計(jì)算二面角的平面角余弦值時,不能清晰指出平面角的位置或者等量關(guān)系,求面積和體積時運(yùn)算出錯.空間想象能力欠缺,運(yùn)算能力薄弱.第二問：利用兩個法向量求夾角余弦值時運(yùn)算出錯.向量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則或利用法向量求二面角的公式錯誤.第二問：缺乏最終結(jié)論,直接將兩個法向量的夾角余弦值作為答案.對二面角的平面角和法向量的夾角之間的關(guān)系不清楚.19題第一問：無任何文字說明,直接寫結(jié)果,如1數(shù)學(xué)語言書寫表達(dá)習(xí)慣未養(yǎng)成.16,1 24 等.

第一問：題意理解有誤,誤認(rèn)為甲獲勝場次是二項(xiàng)分布,出現(xiàn)如C44(1對數(shù)學(xué)概念理解不透徹.2)4,C44(1 2)4(1- 1 2)0 等.第一問：運(yùn)算錯誤,如(1指數(shù)冪運(yùn)算不熟悉,粗心大意.1 4 2)4=1 32,(1 2)4=1 8,=1 2 16 等.第二問：對題目中賽制理解有誤,出現(xiàn)六場比賽或者前四場比賽中出現(xiàn)負(fù)者連場的情況數(shù)學(xué)閱讀理解能力不足.第二問：四場結(jié)束比賽的情況列出不全：僅列出甲連勝四場或甲、乙連勝四場,如：P(需進(jìn)行五場比賽)=1-P(甲連勝四場)=1- 1思維不嚴(yán)密.16=15 16 或P(需進(jìn)行五場比賽)=1-P(甲連勝四場)-P(乙連勝四場)=1- 1 16- 1 16=7 8 等.19題第二問：對四場結(jié)束比賽且最終丙獲勝的情況考慮不周,出現(xiàn)P(需進(jìn)行五場比賽)=1- 1思維不嚴(yán)密.16×3=13 16.第二問：無任何文字說明,直接寫1- 1 16,1- 1 16- 1 16=7 8,1- 1 16=15 16- 1 16=13數(shù)學(xué)語言書寫表達(dá)習(xí)慣未養(yǎng)成.16,1-4×(1 16- 1-(1 4,1-2×(1 2)4=3 2)4 2)3=3 4 等.第二問：沒有利用對立事件求概率,而采用列舉法直接求(五場結(jié)束比賽的情況共有24種),出現(xiàn)諸多重復(fù)和遺漏的情況.數(shù)學(xué)思想方法不熟練.第三問：列舉丙獲勝的情況時采取的分類標(biāo)準(zhǔn)不當(dāng),導(dǎo)致要么重復(fù)要么遺漏.分類討論的數(shù)學(xué)思想不熟悉或者分類意識不強(qiáng).第二問：題意理解有誤,誤認(rèn)為丙獲勝場次是二項(xiàng)分布,如丙全勝：C44(1 2)4=1 2)4+C44(1 8,丙輸一場：C14(1- 1對數(shù)學(xué)概念理解不透.8,從而丙勝概率為1 2)(1 8=1 2=1 2)3 1 8+1 4.第三問：思維混亂,無從下手,大量無意義解答.思維品質(zhì)欠佳.第一問：(1)A 與B 的坐標(biāo)錯位,即寫成A(a,0),B(-a,0);(2)寫錯點(diǎn)G 的坐標(biāo),把橢圓上頂點(diǎn)G(0,1)寫成G(1,0)；(3)錯誤求解--→GB 的坐標(biāo),錯用點(diǎn)G 坐標(biāo)減去點(diǎn)B 坐標(biāo)求解--→GB 的坐標(biāo).求解向量的坐標(biāo)出現(xiàn)錯誤,對橢圓方程的幾何性質(zhì)欠熟練及運(yùn)算能力薄弱.第一問：用其它字母表示,例如：A(-c,0),B(c,0)或A(-x,0),B(x,0).不能識別x2 a2+y2=1 中a 的幾何意義20題第一問：結(jié)果是猜測得到,理由不足,例如：■■ ■-→AG·--→GB=8 a2=b2+c2 得a=3.不懂得向量的定義或者坐標(biāo)運(yùn)算.第一問：計(jì)算出錯；A(-a,0),B(a,0),G(0,b),-→AG·--→GB=(a,b)·(a,-b),方程移項(xiàng)符號出錯.因?yàn)椤觥?■a2-b2=8,b=1,所以a2=7.第一問：表達(dá)不規(guī)范,例如：

(1)有設(shè)點(diǎn)或者向量的坐標(biāo)；(2)漏寫向量符號,如AG·GB=(1+a,0)·(1-a,0)；(3)向量與坐標(biāo)之間缺少“=”,如-→AG(1+a,0).(1)解題習(xí)慣不好,跳過重要步驟,交代不清；(2)沒有深刻理解向量的定義及坐標(biāo)與向量的關(guān)系.第一問：(1)定義法求解-→AG·--→BG=8 出錯；(2) 向量的模長錯誤,如■■■-→AG■■■=a2+1；(3)定義表述錯誤,如-→AG--→GB=√a2+1·√a2+1=8；(4)向量的夾角理解錯誤,-→AG·--→GB=√a2+1·√a2+1·cos ∠AGB=8；(5)向量的理解錯誤,例如：①-→AG+--→BG=2a；②-→AG+--→BG=a·a=8；3○-→AG=-→AO+--→OG=a+1；④∵-→AG=--→BG,∴-→AG·--→BG=2-→AG.(1)向量內(nèi)積的定義與向量內(nèi)積相關(guān)的公式未能理解；(2)向量的模長定義不熟悉,向量的內(nèi)積公式記憶出錯,漏了兩夾角夾角的余弦值；(3)兩向量的夾角定義不清晰,此處-→AG與--→GB 的夾角應(yīng)為π-∠AGB；(4)向量和線段的定義混淆,只關(guān)注向量的大小,忽略了向量的方向,造成了表述及內(nèi)積的運(yùn)算錯誤.第一問：表達(dá)不規(guī)范(1)表示向量的模長,漏寫“||”,如：-→AG=2√2；(2)漏寫括號,如：-→AG·--→BG=a2+1 cos θ=8；(3)使用其他字母前,未先交代,如：∠1,θ,?解題習(xí)慣不好,不注意細(xì)節(jié),表述不規(guī)范第二問：直線CD 與橢圓E 聯(lián)立得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0,所以y1+y2=2mn 運(yùn)算錯誤或者韋達(dá)定理公式記憶不牢固m2+9 或y1y2=-n2-9 m2+9.20題第二問：化簡得到(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0.消參技巧不到位,僅利用點(diǎn)在直線上的關(guān)系消參,漏了點(diǎn)在橢圓上的關(guān)系也可做消參條件.第二問：兩條直線的參數(shù)未分開標(biāo)識,例如：(1)直線PA 的方程為y=k(x+3),直線PB 的方程為y=k(x-3).(2)直線PA 的方程為x=my-3,直線PB 的方程為x=my+3.沒有意識到兩條直線的斜率相同代表兩直線平行的深層含義,對直線平行的條件不熟悉.第二問：兩條直線的方程對應(yīng)錯誤,例如：(1)直線PA 的方程為y=k1(x-3)；直線PB 的方程為y=k2(x+3).(2)直線PA 的方程為x=m1y+3；直線PB 的方程為x=m2y-3.未理解點(diǎn)斜式和斜截式對應(yīng)參數(shù)的幾何意義.第二問：設(shè)點(diǎn)P 的縱坐標(biāo)未知數(shù)與直線方程中字母y 混淆；設(shè)點(diǎn)P(6,y),A(-3,0),B(3,0),直線PA 的方程為y= y濫用字母,不理解直線方程的含義.9(x+3)；直線PB 的方程為y= y 9(x-3).第二問：設(shè)兩條直線的方程未能反映P、A、C 和P、B、D 分別三點(diǎn)共線；例如：直線PA的方程為y=k1x+b1；直線PB 的方程為y=k2x+b2.缺乏數(shù)形結(jié)合的思想,不能熟練運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式解決問題.第二問：(1)求錯點(diǎn)C 與點(diǎn)D 的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))例如：xD=3(t2-1)9t2+1,yD=- 2t 3t2+1；(2)求出點(diǎn)C 和點(diǎn)D 的坐標(biāo)后,無法把直線CD 方程整理為點(diǎn)斜式.(1)不能熟練運(yùn)動韋達(dá)定理中兩根之和(或兩根之積)的關(guān)系,已知一根求另一根；(2)運(yùn)算能力不足.第二問：

缺乏分類討論的意識,例如：(1)設(shè)P(6,t)忽略分類討論t=0 與t≠0；(2)設(shè)CD 直線方程：y=kx+m,忽略分類討論CD 斜率存在與不存在等等.(1)分析數(shù)學(xué)問題的嚴(yán)謹(jǐn)性不足；(2)欠缺分類討論的思想.第一問：求導(dǎo)錯誤(1)f′(x)=ex+2x;(2)f′(x)=ex-2x-1;(3)f′(x)=1(1)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)混淆；(2)以為x 的導(dǎo)數(shù)為0；(3)符號搞錯.x+2x-1.第一問：f′(x)=ex+2x-1,f′(0)=0,x＞0,f′(x)＞0,則f(x)在(1,+∞)單增；x＜0,f′(x)＜0,則f(x)在(-∞,1)單減.結(jié)論錯誤,可能看錯,抄錯.第一問：(1)f′(x)=ex+2x-1=0 不會解；(2)f′′(x)=ex+2＞0,x＞ln(-2)或x＞e-2 或x＞-ln 2,或x＞ln 1(1)不會解超越方程；(2)對指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及指對數(shù)運(yùn)算不熟悉,不等式解錯.2.第一問：f′(x)=ex+2x-1,f′(x0)=0,x＞x0,f′(x)＞0,則f(x)在(x0,+∞)單增；x＜x0,f′(x)＜0,則f(x)在(-∞,x0)單減.(1)求不出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)或者零點(diǎn)求錯；(2)以為是隱零點(diǎn),用字母替代.第一問：x＞0,f(x)單增；x＜0,f(x)單減.表述不規(guī)范,單調(diào)區(qū)間結(jié)論沒有寫成區(qū)間形式.21題第一問：f′(x)=ex+2x-1=0,f′(0)=0.導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)不會判斷,不會利用函數(shù)的單調(diào)性去定號.第一問：二階導(dǎo)函數(shù)與一階導(dǎo)函數(shù)搞混淆f′′(x)=ex+2＞0,所以f(x)單增.多個函數(shù)同時出現(xiàn),沒有搞清楚他們的內(nèi)在邏輯關(guān)系,用二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)去判斷原函數(shù)的單調(diào)性.第一問：f′(x)=ex+2x-1,f′(0)=0,所以(-∞,0)單減,(0,+∞)單增.沒有分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),直接寫出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.第一問：區(qū)間寫成(0,-∞),(0,+∞]等錯誤形式平時沒有養(yǎng)成良好的表達(dá)習(xí)慣.第二問：原不等式不會恒等變形.不會處理含參函數(shù)的恒成立問題.第二問：以為f(x)＞g(x)?f′(x)＞g′(x).函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)關(guān)系不清楚.第二問：做差變形或者分離參數(shù)時,函數(shù)求導(dǎo)錯誤.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式不熟悉,如：(1)′x2=- 1 x3,沒有系數(shù)2.第二問：分離參數(shù),求導(dǎo)后不會因式分解或者不會進(jìn)一步分析.較復(fù)雜的分解因式不過關(guān)12x3-x-2+(2-x)ex=(x-2)(1)2x2+x+1-ex .第二問：做差變形后,不會對函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析.不會求含參函數(shù)的最值,不會分類討論.22 23題同文科

三、教學(xué)備考及建議

1.重視數(shù)學(xué)運(yùn)算“算理”和“算法”,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段,也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“童子功”.數(shù)學(xué)概念理解之后,數(shù)學(xué)運(yùn)算就是解決問題的關(guān)鍵因素.沒有運(yùn)算能力的支撐,再優(yōu)美的解題策略或解題思想也只能是紙上談兵.本文所說的數(shù)學(xué)運(yùn)算是指根據(jù)數(shù)學(xué)的法則進(jìn)行計(jì)算的過程,主要包括理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序和求得運(yùn)算結(jié)果等.我們可以根據(jù)運(yùn)算對象將高中的運(yùn)算問題歸結(jié)為三大類：代數(shù)式恒等變形；解方程；解不等式.考生常見的問題包括：帶根號結(jié)構(gòu)的數(shù)字運(yùn)算；帶有字母和根號結(jié)構(gòu)的多項(xiàng)式化簡；帶有字母和根號結(jié)構(gòu)的因式分解；分式特別是繁分式的四則運(yùn)算；十字相乘法解一元二次方程時根的符號；與實(shí)際問題結(jié)合時解方程的增根；解不等式兩邊同時乘以一個字母時不等號變向問題等.

運(yùn)算能力既然是童子功,那就不僅需要小學(xué)、初中階段打好基礎(chǔ),也需要在高中階段時時溫習(xí).學(xué)生面對復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算時,一般是先構(gòu)思運(yùn)算程序,明確計(jì)算原理,即明確“算理”,包括運(yùn)算的意義、性質(zhì)和規(guī)律等；然后根據(jù)“算理”實(shí)踐操作,即運(yùn)算的“算法”過程,包括計(jì)算的程序和方法等.高中數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)的繁重,受課時限制,課堂教學(xué)時老師往往沒有時間給學(xué)生當(dāng)堂完整運(yùn)算求解,因此不能發(fā)現(xiàn)學(xué)生的運(yùn)算錯誤并加以指導(dǎo),學(xué)生也知道自己容易運(yùn)算出錯,但是不知道如何改進(jìn).長此以往,學(xué)生的運(yùn)算能力自然下降了.

在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力?首先,教師可以引導(dǎo)學(xué)生對與數(shù)學(xué)運(yùn)算有關(guān)的算法和算理內(nèi)容的溫習(xí),促使學(xué)生對相關(guān)知識內(nèi)容算法和算理的理解與掌握,糾正學(xué)生以往運(yùn)算知識或方法錯誤；其次,在示范教學(xué)過程中,教師要重視具體運(yùn)算過程的示范、引領(lǐng)、指導(dǎo)和要求,規(guī)范演算書寫過程；再次,在運(yùn)算過程中,教師時常引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會錯因剖析和檢查檢驗(yàn),培養(yǎng)良好的運(yùn)算習(xí)慣,反思總結(jié)計(jì)算經(jīng)驗(yàn),優(yōu)化計(jì)算方法,使數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)從技能習(xí)得走向思維發(fā)展；最后,根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《新課標(biāo)》)中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平劃分,教師可以通過運(yùn)算操練、情境轉(zhuǎn)化訓(xùn)練和思維訓(xùn)練三步對學(xué)生的運(yùn)算進(jìn)行分“層”達(dá)“標(biāo)”訓(xùn)練,促使學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)逐步達(dá)到各個水平層次.[1]

2.加強(qiáng)新高考命題研究,精準(zhǔn)科學(xué)備考

2021年廣東省將加入新高考改革,數(shù)學(xué)試卷使用全國新高考卷.新高考數(shù)學(xué)試卷命題以新課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù),也不再制定考試大綱及考試說明.特別地,新高考不分文、理科試卷,這對習(xí)慣了文、理分科進(jìn)行教學(xué)和備考的一線教師而言是一個新的挑戰(zhàn).因此,我們需要深入研究新高考數(shù)學(xué)試卷的特點(diǎn)與命題動向.

2020年新高考全國Ⅰ卷在考試內(nèi)容改革、題型創(chuàng)新、試卷結(jié)構(gòu)以及科學(xué)調(diào)控難度方面進(jìn)行了積極的探索.在內(nèi)容改革上,試卷關(guān)注新高考文理不分科的特點(diǎn),關(guān)注高校對人才的選拔要求和數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)中的作用,突出對理性思維和關(guān)鍵能力的考查,通過設(shè)計(jì)真實(shí)問題情境,融合數(shù)學(xué)文化,滲透德智體美勞的育人理念,全面貫徹‘立德樹人’的教育方針.在題型創(chuàng)新方面,引入多選題和結(jié)構(gòu)不良試題等新題型,為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)能力不同層次的考生都提供了發(fā)揮的空間.在試卷結(jié)構(gòu)方面,試卷有單項(xiàng)選擇題,多項(xiàng)選擇題、填空題和解答題,取消選考內(nèi)容.在科學(xué)調(diào)控難度方面,全面貫徹‘低起點(diǎn),多層次,高落差’的科學(xué)調(diào)控策略,如選擇題、填空題、解答題部分試題進(jìn)行了系統(tǒng)設(shè)計(jì),使得試題起點(diǎn)低,入口寬,面向全體學(xué)生,考查學(xué)生基礎(chǔ)知識；試題往往具有多種解法,給不同層次的考生提供了多種分析問題和解決問題的途徑；個別試題對考生的思維能力有較高的要求,要求學(xué)生具備解決復(fù)雜問題的綜合素養(yǎng)和能力.這些特點(diǎn)和趨勢無疑是給我們科學(xué)備考提供有價值的信息.

3.夯實(shí)數(shù)學(xué)閱讀能力,助力提升數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和問題的解決都起源于數(shù)學(xué)閱讀.任子朝[2]等人認(rèn)為數(shù)學(xué)閱讀是人從文字、數(shù)據(jù)等材料中獲取信息的心理活動過程,不僅包括數(shù)學(xué)文字語言、符號語言、圖標(biāo)語言的理解、記憶、認(rèn)知等過程,還包括對材料的邏輯結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析、綜合、歸納、推理、猜想等一系列思維過程,是區(qū)別于一般閱讀的復(fù)雜的智力活動.孫俊勇[3]認(rèn)為一種指向內(nèi)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理活動過程,將數(shù)學(xué)閱讀總結(jié)為提取信息、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)表達(dá)三個階段.從兩種界定和論述中可以看出,數(shù)學(xué)閱讀是一個復(fù)雜多樣的學(xué)習(xí)活動過程,數(shù)學(xué)閱讀過程需要多種能力.包括獲取并整理數(shù)學(xué)信息的能力、發(fā)現(xiàn)并提出問題的能力、數(shù)學(xué)建模的能力、空間想象的能力、數(shù)學(xué)抽象推理的能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力以及表達(dá)交流的能力等.

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程[4].它是基于數(shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實(shí)際問題的一類綜合實(shí)踐活動.在《新課標(biāo)》中,不管是必修課程,還是選擇性必修課程,數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究作為一條主線貫穿始終,是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的環(huán)節(jié).

在新高考數(shù)學(xué)科的考試目標(biāo)中,數(shù)學(xué)建模能力是一項(xiàng)重要的關(guān)鍵能力.今年的新高考試卷加強(qiáng)了數(shù)學(xué)建模能力的考查,第4,6,12 和19 題的題干提供了一些新穎的信息,如非連續(xù)文本、圖像、表格、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、實(shí)景照片、接近真實(shí)的實(shí)驗(yàn)場景等.需要考生在閱讀這些背景素材的基礎(chǔ)上,提取有用信息,建立數(shù)學(xué)模型并解決問題.

需要指出的是,數(shù)學(xué)閱讀對培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力具有重要的意義.因?yàn)橹挥虚喿x問題的背景材料,提取關(guān)鍵的信息后,我們才能思考如何建立數(shù)學(xué)模型.近年理科概率與統(tǒng)計(jì)大題因?yàn)楸尘安牧系谋硎龆尸F(xiàn)較多的文字,廣東省考生的得分很不理想.2020年的理科概率與統(tǒng)計(jì)大題一改前幾年風(fēng)格,題干簡潔,盡管數(shù)學(xué)思維要更深刻,但是考生得分比前幾年都好.這說明背景材料的閱讀恰恰就是很多考生的短板.

在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀能力、建模創(chuàng)新能力的培養(yǎng),特別是要提高包括文科生在內(nèi)的全體考生的能力,這是課程和高考改革中中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的當(dāng)務(wù)之急.