廣東省云浮市新興縣惠能中學(xué)(527400) 鄭勝文

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)模塊之一,是歷年高考必考內(nèi)容,也是廣大考生“搶分爭(zhēng)分”之地.近三年在高考試卷有關(guān)數(shù)列的試題通常題量是一大或者兩小,大題則穩(wěn)在17 題,與三角考查交替進(jìn)行,分值約占12 分左右；小題則有1 題基礎(chǔ),另1 題以壓軸題形式出現(xiàn).數(shù)列題是考查學(xué)生綜合素養(yǎng)的重要載體,其蘊(yùn)含了構(gòu)造、轉(zhuǎn)化和化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、幾何直觀等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)列備考問題存在題量大、所包含知識(shí)面廣、題型復(fù)雜、難易大小程度區(qū)分大且文理不同科考查要求不易把握等情形.近幾年的高考都是把數(shù)列作為核心內(nèi)容來考查,從總體上來看,難度雖然有所降低,但是創(chuàng)意不斷,而且是?？汲Ｐ?本文通過對(duì)高考全國(guó)Ⅰ卷數(shù)列題的分析,從文理科數(shù)列考題在知識(shí)要求、思想方法、能力及核心素養(yǎng)考查等角度進(jìn)行探討,旨在為2021 屆高三數(shù)學(xué)數(shù)列復(fù)習(xí)備考提供一個(gè)參考,也期望在新高考不分文理科情況下,對(duì)教師在進(jìn)行復(fù)習(xí)備考時(shí)起到一個(gè)較為明晰的教學(xué)引領(lǐng)和導(dǎo)向作用.

1 試題分析

1.1 試題呈現(xiàn)

題目1(2020年高考全國(guó)Ⅰ卷文科第9 題)執(zhí)行右面的程序框圖,則輸出的n=

A.17 B.19 C.21 D.23

題目2(2020年高考全國(guó)Ⅰ卷文科第10 題) 設(shè){an}是等比數(shù)列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,則a6+a7+a8=

A.12 B.24 C.30 D.32

題目3(2020年高考全國(guó)Ⅰ卷文科第16 題)數(shù)列{an}滿足an+2+(-1)nan=3n-1,前16 項(xiàng)和為540,則a1=____.

題目4(2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第17 題)設(shè){an}是公比不為1 的等比數(shù)列,a1為a2,a3的等差中項(xiàng).

(1)求{an}的公比；(2)若a1=1,求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和.

1.2 試題解析

題目1 解析首先對(duì)對(duì)n,S分別賦值：n=1,S=0,由程序框圖得下表：

n=n+2 S=S+n S ≤100__________________________成立嗎?1 0+1=1√3 1+3=4√5 4+5=9√7 9+7=16√9 16+9=25√11 25+11=36√13 36+13=49√15 49+15=64√17 64+17=81√19 81+19=100√21 100+21=121×____

從上表得知,n=21 是使得S ≤100 不成立的最小正整數(shù),故選C.

另解本題可轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列來處理問題,由S=S+n得Sk+1=Sk+ak+1,n=n+2 得ak+1=ak+2,其中,a1=1,則ak=2k-1,k ∈?.問題就可以轉(zhuǎn)化成：當(dāng)Sk＞100 時(shí),求ak的最小值.由且k ∈?,所以k=11,則ak=a11=21,故選C.

題目2 解析由解方程及等比數(shù)列基本量來處理.設(shè)等比數(shù)列{an} 的首項(xiàng)為a1,公比為q,由題設(shè)得解得則a6+a7+a8=32.

另解本題可以用整體思想來處理,由題設(shè)得解得q=2,a6+a7+a8=(a1+a2+a3)q5=1×32=32.避免繁瑣運(yùn)算.

題目3 解析由an+2+(-1)nan=3n-1,得知需要分奇偶數(shù)進(jìn)行研究,且偶數(shù)時(shí)只研究部分.

考慮n分別為1,3,5,7,9,11,13,15 時(shí),有a3-a1=2,得a3=2+a1；a5-a3=8,則a5=8+a3=10+a1,同理可得a7=24+a1,a9=44+a1,a11=70+a1,a13=104+a1,a15=140+a1,故有a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=392+a1；再考慮n分別為2,6,10,14 時(shí),由a4+a2=5,a8+a6=17,a12+a10=29,a16+a14=41,得a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=92.再數(shù)列{an}前16 項(xiàng)和為540,有(392+8a1)+92=540,解得a1=7.

追根索源1(2012年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第16 題)數(shù)列{an}滿足an+2+(-1)nan=2n-1,則{an}的前60 項(xiàng)和為____.

此外,2014年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第17 題也有同工異曲之處.

題目4 第(1) 問解析設(shè){an} 的公比為q,由題設(shè)得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故{an}的公比為-2.

題目4 第(2)問解法一記Sn為{nan}的前n項(xiàng)和.由(1)及題設(shè)可得,an=(-2)n-1.所以

可得

題目4 第(2)問解法二記Sn為{nan}的前n項(xiàng)和.由(1)及題設(shè)可得an=(-2)n-1,令nan=n(-2)n-1=(An+B)(-2)n-[A(n-1)+B](-2)n-1即n(-2)n-1=(-3An+A-3B)(-2)n-1.

題目4 第(2)問解法三(導(dǎo)數(shù))記Sn為{nan}的前n項(xiàng)和.則

題目4 第(2)問解法四(分組)記Sn為{nan}的前n項(xiàng)和.由(1)知1,則有

解法四的另一種表示由(1)及題設(shè),得an=(-2)n,令Si=ai+ai+1+···+an,(i=1,2,3,···,n),則

故

1.3 試題評(píng)析

1.3.1 數(shù)列知識(shí)考綱考查要求如下表

考查要求知識(shí)點(diǎn)及能力要求內(nèi)容_________________________1.數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖像、了解通項(xiàng)公式),數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)._____________________理解2.等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念；___________________掌握3.等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n 項(xiàng)和公式4.能在具體的問題情景中識(shí)別數(shù)列的等差(等比)應(yīng)用關(guān)系,并能用相關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題____________

1.3.2 數(shù)列解題能力與考綱考查要求

考綱中明確規(guī)定高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)能力是指：空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).數(shù)列知識(shí)模塊涉及到的數(shù)學(xué)能力主要有：①推理論證能力,②運(yùn)算求解能力,③應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

1.3.3 數(shù)列解題思想方法與考綱考查要求

考綱中提出高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要具備的七大基本數(shù)學(xué)思想方法是指：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸和轉(zhuǎn)化思想、特殊與一股思想、有限與無限思想、或然與必然思想.數(shù)列知識(shí)模塊涉及到的數(shù)學(xué)思想方法主要有：①函數(shù)與方程思想,②分類與整合思想,③化歸和轉(zhuǎn)化思想,④特殊與一般思想,⑤數(shù)形結(jié)合思想.

1.3.4 考題考查到的知識(shí)、能力、思想方法、核心素養(yǎng)如下表

題目知識(shí)要求能力要求思想方法要求核心素養(yǎng)要求______等差數(shù)列運(yùn)算求解轉(zhuǎn)化、方程思想邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算1公式能力等比數(shù)列運(yùn)算求解整合、方程思想數(shù)學(xué)運(yùn)算2公式能力數(shù)列求和運(yùn)算推理分類與整合思想邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算3公式能力等比數(shù)列運(yùn)算求解方程思想數(shù)學(xué)運(yùn)算(1)公式能力4(2)差比數(shù)列運(yùn)算求解化歸與轉(zhuǎn)化能力數(shù)學(xué)運(yùn)算求和能力

1.3.5 試題綜述

今年文理科試卷在數(shù)列知識(shí)模塊的考查中做到了統(tǒng)籌兼顧,展現(xiàn)了穩(wěn)中有變,變中有新,新中有活的出題特點(diǎn),堅(jiān)持以能力立意,以知識(shí)為載體,落實(shí)核心素養(yǎng),體現(xiàn)了選拔功能和區(qū)分度、對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)科學(xué)導(dǎo)向,從各個(gè)角度全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).以下是我們收集整理的有關(guān)反饋.

關(guān)于全國(guó)文科Ⅰ卷的反饋?zhàn)⒅鼗A(chǔ)概念、公式以及基本量的運(yùn)算,善于從解題中利用整體的思想進(jìn)行運(yùn)算,提高運(yùn)算效率,同時(shí),也需要根據(jù)掌握的數(shù)列知識(shí),進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律,利用整體與局部思想,分析所需要的數(shù)據(jù),從而進(jìn)行問題的解決.

關(guān)于全國(guó)理科Ⅰ卷的反饋題型比較中規(guī)中矩,也是我們平時(shí)經(jīng)常復(fù)習(xí)的題型,但是第二問入口較多,根據(jù)解法來看,可以從錯(cuò)位相減的基礎(chǔ)方法,也可以從其他方法來解決,體現(xiàn)入口多的特點(diǎn),符合篩選人才的作用.

關(guān)于全國(guó)文理科ⅠⅠ卷的反饋在對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)掌握的基礎(chǔ)上,注重核心素養(yǎng),側(cè)重創(chuàng)新性的考查.設(shè)置了相應(yīng)的生活情景作為數(shù)列的背景,考查學(xué)生觀察、推理能力,并能利用數(shù)列來解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題.

關(guān)于全國(guó)文理科ⅠⅠⅠ卷的反饋題型比較中規(guī)中矩,也是我們平時(shí)經(jīng)常復(fù)習(xí)的題型,主要考查基本概念、公式和基本的運(yùn)算.

關(guān)于新高考Ⅰ、ⅠⅠ卷反饋創(chuàng)新性體現(xiàn)較好,第一題是從兩個(gè)等差數(shù)列發(fā)現(xiàn)公共項(xiàng),并得到新等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差,從而求解新數(shù)列的前n項(xiàng)和；第二題的第一問是等比數(shù)列的基本量運(yùn)算,求通項(xiàng)公式；而山東卷的第二問是通過不等關(guān)系,找出新數(shù)列的特征,包含項(xiàng)數(shù)的計(jì)算,從而求出新數(shù)列的前n項(xiàng)和.在數(shù)列概念的理解上,從合并數(shù)列以及轉(zhuǎn)化新數(shù)列,到公式、運(yùn)算能力以及結(jié)合核心素養(yǎng)的考查,體現(xiàn)了“數(shù)列與函數(shù)”之間的本質(zhì)聯(lián)系.

綜合今年各地高考試題,發(fā)現(xiàn)有以下特征：在抓好基礎(chǔ)概念、公式,基本量的運(yùn)算和方程的解法同時(shí),值入直觀觀察、邏輯推理、優(yōu)化計(jì)算、挖掘本質(zhì)和文化素養(yǎng)等方面的能力和素養(yǎng)的考查,使得數(shù)列知識(shí)模塊更具有新時(shí)代的氣息.

今年,全國(guó)文理Ⅰ卷較以往有所不同,文理科考查的三角與數(shù)列的題型和位置進(jìn)行了調(diào)換.今年,理科在原來考查解三角形的位置考查了數(shù)列,且只有1 道解答題,而文科在原來考查數(shù)列的位置考查了解三角形,并將考查數(shù)列的知識(shí)換成小題進(jìn)行考查.

2 試題分析

2.1 典型錯(cuò)誤詳情參見參考文獻(xiàn)[3],不再贅述.

2.2 考生答題情況錯(cuò)因分析

2.2.1 知識(shí)性錯(cuò)誤概念不清,如題目4 中的第(1)問,誤將等差中項(xiàng)表示成等比中項(xiàng),如a12=a2·a3,或者自己編造公式,如2a1=a3-a2,不知道數(shù)列的表示方法,出現(xiàn)“數(shù)列an的公比為-2”的常識(shí)性錯(cuò)誤,還有,利用第一問的結(jié)論來求第二問中數(shù)列{an}的通項(xiàng)時(shí),將an=(-2)n-1寫上成an=-2n-1.

2.2.2 能力性錯(cuò)誤高考命題不光是凸顯知識(shí)立意、能力立意,而且已經(jīng)走向素養(yǎng)立意了,在試題中體現(xiàn)學(xué)科核心素養(yǎng)也是體現(xiàn)一道試題價(jià)值的核心指標(biāo).理科考生的思維能力普遍比較好,但是懶于動(dòng)筆計(jì)算,很多時(shí)候,以為想通就會(huì)了.題目4 設(shè)置在理科,無論是第一問題解方程,還是第二問的底為負(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算,都很好地考查考生運(yùn)算能力.恰恰我們的考生,在答卷中呈現(xiàn)出因計(jì)算失誤而失分的大有人在,主要表現(xiàn)為：一方面是沒弄清楚等比數(shù)列的公比,一方面是在計(jì)算的過程中,將負(fù)號(hào)直接省略掉.

3 備考復(fù)習(xí)建議

3.1 考法研究,依綱靠本作為一線教師,要對(duì)高考方向有一個(gè)比較精準(zhǔn)的判斷和預(yù)測(cè),除了研究高考試題,還要研究《課程標(biāo)準(zhǔn)》、《考試大綱》與《考試說明》.這三者是高考命題的指揮棒和重要依據(jù),而2021年高考在沒有《考試大綱》與《考試說明》的情況下,《課程標(biāo)準(zhǔn)》則更為重要,當(dāng)然研究高考試題也要重要的標(biāo)準(zhǔn)之一,注意研究高考試題不局限某年某地,而是要放眼所有年份或省市的高考卷.通過研究高考試題,理清數(shù)列所考查到的知識(shí)要求,能力要求,把握所考題目難度,并根據(jù)考試大綱和課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分析,掌握在教學(xué)中,教師們需要把握的尺度,從所考查的題目來看,主要是考查數(shù)列的基本概念,等差等比數(shù)列的基本公式、性質(zhì),以及數(shù)列求和的常用方法,另外要注意隔項(xiàng)等差數(shù)列的考查.

3.2 教學(xué)建議

3.2.1 立足基礎(chǔ),關(guān)注概念公式的教學(xué),注重知識(shí)生成,強(qiáng)化基礎(chǔ)運(yùn)算能力

在數(shù)列知識(shí)模塊的教學(xué)或備考活動(dòng)中,根據(jù)近幾年數(shù)列知識(shí)模塊的考查形勢(shì),我們教師要讓學(xué)生理解數(shù)列的函數(shù)本質(zhì),數(shù)列的形成,等差等比數(shù)列公式的推導(dǎo)以及常見求和公式的推導(dǎo)過程,幫助學(xué)生清楚其來龍去脈,通過不斷的變式和訓(xùn)練題來提升學(xué)生對(duì)公式的變形和形成的熟悉度；強(qiáng)化對(duì)數(shù)列一系列公式的記憶,促使學(xué)生明晰概念.特別,全國(guó)卷對(duì)數(shù)列基本量幾乎每年都要考察,如今年的全國(guó)文科Ⅰ卷第10題,理科Ⅰ卷的17 題第一問,文理ⅠⅠ卷的第6 題,文科ⅠⅠⅠ卷第17 題第一問等,都考查基本量的運(yùn)算,要求學(xué)生牢牢掌握住等差、等比數(shù)列基本量的關(guān)系方可解決問題,平時(shí)訓(xùn)練常用的通性通法即可.

3.2.2 強(qiáng)化訓(xùn)練,掌握數(shù)列性質(zhì)特征,提升學(xué)生辨識(shí)能力

通過數(shù)列通項(xiàng)或求和公式對(duì)一個(gè)數(shù)列進(jìn)行判斷數(shù)列特征,才能為后面的解題提供思路和解題的后續(xù),如全國(guó)ⅠⅠ卷理科題第6 題,通過觀察,發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列,并運(yùn)用等比數(shù)列求和公式與指數(shù)方程解決問題.

掌握數(shù)列性質(zhì)特征,有較好的辨識(shí)能力,則能簡(jiǎn)化解題思路,并且提高解題效率.如全國(guó)Ⅰ卷文科數(shù)列第10 題,學(xué)生若能掌握等比數(shù)列整體的思想,則可以提高答題的正確率,參照題目2 解析中的另解.

在高考備考中,老師可以通過各種題形式對(duì)學(xué)生進(jìn)行針對(duì)訓(xùn)練,在題組訓(xùn)練中體驗(yàn)數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用,加深對(duì)數(shù)列性質(zhì)的理解,強(qiáng)化指對(duì)數(shù)的運(yùn)算,提升學(xué)生的運(yùn)算能力.

3.2.3 挖掘本質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化、創(chuàng)新思維能力

增設(shè)生活、時(shí)代背景,學(xué)生需要在背景中提取數(shù)列的信息,才能進(jìn)行數(shù)列運(yùn)算.

如全國(guó)Ⅰ卷文科第8 題把程序框圖巧妙與數(shù)列結(jié)合在一起；全國(guó)ⅠⅠ卷文科第3 題以鋼琴為背景,考查數(shù)列中的列舉能力；全國(guó)ⅠⅠ卷理科第4 題以天壇為背景,考查等差數(shù)列問題；還有山東、海南卷以數(shù)列為背景,研究新數(shù)列的特征.我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)訓(xùn)練的基礎(chǔ)上,有針對(duì)性地選擇相應(yīng)題目,以培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力以及轉(zhuǎn)化能力.

縱觀數(shù)列式題的命制,其考查內(nèi)容離不開數(shù)列的本質(zhì),只是考查的形式和角度不一樣.全國(guó)Ⅰ卷文科填空題16,以數(shù)列拆分與整合為背景,將從數(shù)列中分開奇偶項(xiàng),在所列舉的式子中找處規(guī)律,并從中做出選擇,從而解決求和問題,學(xué)生只有掌握了整體和局部、轉(zhuǎn)化化歸的素養(yǎng)以及數(shù)列的本質(zhì),才能在解題過程中領(lǐng)悟和轉(zhuǎn)化,達(dá)到解題的目標(biāo),具體參照題目3 解析.全國(guó)Ⅰ卷理科17 題第二問,以差比數(shù)列為背景,考生可以使用錯(cuò)位相減法、也可以使用分組求和,學(xué)生只有掌握了差比數(shù)列的本質(zhì),才能在解題過程中領(lǐng)悟和轉(zhuǎn)化.具體參照題目4 解析.無論以任何形式進(jìn)行考查,我們老師在平時(shí)教學(xué)中,要幫助學(xué)生理解好數(shù)列,并在訓(xùn)練中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

綜上,建議教師在高考復(fù)習(xí)備考中,做到強(qiáng)化基本概念、公式；訓(xùn)練學(xué)生的基本量運(yùn)算和方程求解能力；突出性質(zhì)的理解；培養(yǎng)學(xué)生辨識(shí)與轉(zhuǎn)化能力；注重?cái)?shù)列中的合二為一和一分為二的試題研究.