廣州市執(zhí)信中學(xué)(510080) 朱清波

2020年高考全國Ⅰ卷對(duì)立體幾何知識(shí)點(diǎn)的考查延續(xù)了近幾年較為穩(wěn)定的命題特點(diǎn),依然分為客觀題和主觀題兩部分,其中理科客觀題有3 道,主觀題1 道；而對(duì)應(yīng)文科試卷中相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的考查為客觀題2 道,主觀題1 道,其中2 道客觀題與理科同題,只是個(gè)別題序有所不同.該特征表明全國卷繼續(xù)朝新高考文理同卷模式在平穩(wěn)過渡,試題重點(diǎn)考查考生空間想象能力、推理論證能力以及運(yùn)算求解能力.但從本次考試評(píng)卷反饋結(jié)果來看,客觀題依舊暴露出考生空間想象能力不足的問題,而主觀題求解過程中因?yàn)樾枰婕按罅繋Ц?hào)結(jié)構(gòu)的邊長運(yùn)算,考生運(yùn)算能力弱導(dǎo)致出現(xiàn)題平均得分比往年降低較多的現(xiàn)象,這一事實(shí)需要我們?cè)谙乱荒陚淇贾幸鹱銐虻闹匾暫歪槍?duì)性復(fù)習(xí).以下就2020年高考試題中立體幾何部分試題分析其特點(diǎn),明確下階段備考復(fù)習(xí)方向并提出相關(guān)建議.

一、2020年高考Ⅰ卷文理卷立體幾何試題解答與評(píng)析

題目1(文理科第3 題)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐,以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為

解答如圖1,設(shè)E為CD中點(diǎn),連接PE.不妨設(shè)CD=a,PE=b,則由題意化簡得即解得(負(fù)根不符題意,舍去),故選C.

圖1

圖2

評(píng)析本題既滲透了數(shù)學(xué)文化,又融入了美育教育,題干中的關(guān)鍵詞“形狀可視為”揭示金字塔的真實(shí)形態(tài)和數(shù)學(xué)抽象后的細(xì)微差別.題目主要考查正四棱錐相關(guān)的概念及其數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,如棱錐的高以及側(cè)面三角形等基本概念,總體難度不高.

題目2(文科第12 題、理科第10 題)已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),⊙O1為ΔABC的外接圓,若⊙O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為

A.64πB.48πC.36πD.32π

解答如圖2,設(shè)圓O1半徑為r,球O的半徑為R,依題意,πr2=4π,解得r=2.又ΔABC為等邊三角形,由正弦定理有AB=2rsin 60°=故OO1=平面ABC,則OO1⊥O1A,R=OA=所以球O的表面積S=4πR2=64π,故選A.

評(píng)析本題考查球體的表面積公式,需要學(xué)生有一定空間想象能力,能根據(jù)所給條件粗略畫出滿足條件的空間圖形,當(dāng)然應(yīng)用球的截面性質(zhì)和平面幾何中的一些常規(guī)結(jié)論是正確解出本道題的關(guān)鍵,總體難度中等.

題目3(理科第16 題)如圖3,在三棱錐P-ABC的平面展開圖中,AC=1,AB=AD=AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,則cos ∠FCB=____.

圖3

解答由題意AB⊥AC,由勾股定理得BC=同理得BD=所以BF=BD=

在ΔACE中,AC=1,AE=AD=∠CAE=30°,由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC×AEcos 30°=則CF=CE=1,在ΔBCF中,BC=2,BF=CF=1,再由余弦定理得cos ∠FCB=故答案為

評(píng)析本題充分體現(xiàn)了高考試題靈活多變的特點(diǎn),命題形式并沒有遵循眾多模擬題中空間翻折問題平面化后求值或求最值的套路,而是通過翻折平面化后的結(jié)構(gòu)反向推測(cè)原幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以此考查學(xué)生的空間想象能力.這需要考生會(huì)利用平面圖形翻折回到空間結(jié)構(gòu)過程中的不變量來架設(shè)橋梁,再利用各種已知數(shù)據(jù)解三角形,考查學(xué)生計(jì)算和數(shù)據(jù)處理的能力,本題綜合性較強(qiáng),考生有思路但未必能計(jì)算準(zhǔn)確,從難度上來分析屬于中檔題.

題目4(文科第19 題) 如圖4,D為圓錐的頂點(diǎn),O是圓錐底面的圓心,ΔABC是底面的內(nèi)接正三角形,P為DO上一點(diǎn),∠APC=90°.

圖4

(1)證明：平面PAB⊥平面PAC；

(2)設(shè)DO=圓錐的側(cè)面積為求三棱錐P-ABC的體積.

解答第(1) 問的證法1.由題設(shè)可知,PA=PB=PC.由于ΔABC是正三角形,故可得ΔPACΔPAB,ΔPACΔPBC.又∠APC=90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°.從而PB⊥PA,PB⊥PC,PA ∩PC=P,故PB⊥平面PAC,PB ?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.

評(píng)析該思路即為本題預(yù)設(shè)的最常規(guī)的處理方式,考生經(jīng)過分析將要證明“面面垂直”的方向調(diào)整到先證明“線面垂直”,繼而反向去尋找線面垂直中的那條“線”,最后去探究兩組線線垂直的思路,而學(xué)生利用平面幾何的全等條件很容易構(gòu)建上述思路,當(dāng)然利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性重點(diǎn)證明其中一組就可以了,同理本題通過證明“PC⊥平面PAB”來得到“平面PAC⊥平面PAB”這一結(jié)論也是可行的.這也體現(xiàn)了高考立體幾何綜合題“低起點(diǎn)入口寬”的基本特點(diǎn).

圖5

第(1) 問的證法2.如圖5,由題設(shè)可知,PO⊥平面ABC.所以PO⊥AB,連接CO,延長CO交AB于點(diǎn)E,則CO⊥AB,從而AB⊥面POC,所以AB⊥PC,由于∠APC=90°,則PC⊥PA,所以PC⊥面PAB,而PC ?平面PAC,則有面PAC⊥面PAB.

評(píng)析該思路另辟蹊徑,運(yùn)用該方式處理的考生很大一個(gè)可能是頭腦中有一個(gè)基本模型所形成的結(jié)論：直角四面體的對(duì)棱異面垂直(AB⊥PC),有了該結(jié)論后再圍繞這個(gè)點(diǎn)去尋找本題需證結(jié)論的其它條件,最后進(jìn)行思路整合,因此該方法能體現(xiàn)出部分學(xué)生的立體幾何知識(shí)儲(chǔ)備和學(xué)科基本素養(yǎng).

第(2) 問的證法1.設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l.由題設(shè)可得rl=l2-r2=2.解得r=1,l=從而AB=由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=所以三棱錐P-ABC的體積為V=×PA×PB×PC=

評(píng)析本題第(2)問主要考查錐體體積公式和側(cè)面積公式,根據(jù)所給條件假設(shè)并解出幾個(gè)基本量,再結(jié)合第一問的相關(guān)結(jié)論來計(jì)算出對(duì)應(yīng)幾何體體積,難點(diǎn)在于側(cè)面積公式和體積公式的記憶是否準(zhǔn)確,另一個(gè)就是考生臨場(chǎng)選擇三棱錐底面和對(duì)應(yīng)高的靈活性,因此本題得分的特點(diǎn)是極差較大.

第(2) 問的證法2.設(shè)⊙O的半徑為r,由S側(cè)面積=得r=1,從而AB=注意到在ΔAPO中AP=所以

評(píng)析該思路與第一種方法比較而言,主要是選擇幾何體的底面和高相對(duì)更常規(guī),但運(yùn)算量更大,同時(shí)依舊在考查錐體側(cè)面積公式和體積公式的結(jié)構(gòu),其難點(diǎn)還是在兩個(gè)公式的記憶是否準(zhǔn)確以及考生是否具備較強(qiáng)的計(jì)算能力.

題目5(理科第18 題) 如圖6,D為圓錐的頂點(diǎn),O是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,AE=AD,ΔABC是底面內(nèi)接正三角形,P為DO上一點(diǎn),

圖6

(1)證明：PA⊥平面PBC；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

解答第(1) 問證法1 (幾何法1).設(shè)DO=a,由題設(shè)可得因此PA2+PB2=AB2,從而PA⊥PB.又PA2+PC2=AC2,故PA⊥PC.而PB ∩PC=P,所以PA⊥平面PBC.

評(píng)析本小問考查目標(biāo)指向較為明確,考生只需要找到兩組線線垂直的關(guān)系即可,而垂直關(guān)系的證明指向很容易將思路轉(zhuǎn)換到求各種長度再利用勾股逆定理檢驗(yàn)是否成立,因此對(duì)基礎(chǔ)邊長的設(shè)定和相關(guān)長度的運(yùn)算就顯得尤為重要,本題的第一問主要是考查邏輯推理,難點(diǎn)在于邊長計(jì)算的準(zhǔn)確性.從評(píng)卷反饋來看,無論怎樣設(shè)定單位長度,部分線段的長度始終帶有根號(hào)結(jié)構(gòu),導(dǎo)致運(yùn)算出錯(cuò)率非常高,而相當(dāng)多的考生明知計(jì)算出來的邊長不能形成直角三角形也不作修改,抱著僥幸的心理去書寫后續(xù)過程,也說明其對(duì)運(yùn)算的信心是嚴(yán)重不足的.

第(1)問證法2(幾何法2).如圖7,由題意,O是ΔABC的外心,故BC ⊥AO,又PO⊥面ABC,BC ?面ABC,則PO ⊥BC,又PO ∩AO=O,故BC⊥面PAO,PA ?面PAO,故BC ⊥PA,設(shè)AO的延長線交BC于M,則M為BC中點(diǎn),連接PM,不妨設(shè)OA=OB=OC=1,則AD=2,DO=PA=由PA2+PM2=AM2,則PA ⊥PM,而BC ∩PM=M,則PA⊥面PBC.

評(píng)析與第一種方法思路不同的是,部分理科考生受到慣性思維的影響,通過日常積累的小結(jié)論,容易先發(fā)現(xiàn)“利用BC⊥面PAO得到BC⊥PA”這一基本事實(shí),然后找不到其它方向后思路再轉(zhuǎn)換到勾股逆定理方向去證明剩余一組垂直關(guān)系,但證明完垂直關(guān)系后才發(fā)現(xiàn)會(huì)有更多的線線垂直方法,總的來說考生用這種思路來處理表明其欠缺一些整體思考,沒有梳理好方向就開始答題導(dǎo)致其證明過程走了一些彎路.

圖7

圖8

第(1)問證法3(向量法).如圖8,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以方向?yàn)閤軸正方向,以方向?yàn)閦軸正方向,建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)AE=AD=a,依題意得所以由=0,所以⊥,同理=0,所以⊥,而PB ∩PC=P,又PA/?面PBC,所以PA⊥面PBC.

評(píng)析該思路也很自然,因?yàn)楸绢}的兩問都是研究一個(gè)相對(duì)較為規(guī)則結(jié)構(gòu)的性質(zhì),考生自然會(huì)想到用建系設(shè)坐標(biāo)來處理整道題,但難點(diǎn)在于基礎(chǔ)邊長的設(shè)定和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)需準(zhǔn)確無誤的寫出來,否則后續(xù)計(jì)算毫無意義；而實(shí)際評(píng)卷反饋中有大量考生建系方式出錯(cuò)或建系方式與對(duì)應(yīng)坐標(biāo)數(shù)據(jù)不一致,用錯(cuò)誤的坐標(biāo)數(shù)據(jù)得出了部分正確的結(jié)論,因此得分并不理想.

第(1) 問證法4 (基底法).設(shè)DO=1,則PO=OA=OB=

所以,PA⊥PB.同理得PA⊥PC,而PB ∩PC=P,所以PA⊥面PBC.

評(píng)析用該方法處理的考生敏銳的捕捉到了該幾何體中存在共點(diǎn)的三條棱,夾角明確且棱長均可求,體現(xiàn)了向量作為運(yùn)算工具的優(yōu)越性.

圖9

第(2)問解法1.如圖9,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閥軸的正方向,不妨為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題設(shè)可得E(0,1,0),所以=

設(shè)m=(x,y,z) 是平面PCE的法向量,則即

可取

評(píng)析本小問較為常規(guī),首先是建系可以選擇不同的方位,邊長的設(shè)定也比較靈活,但部分考生缺乏整體意識(shí),忽略了第一問對(duì)第二問的幫助,導(dǎo)致重新去求面的法向量,當(dāng)然因?yàn)樽鴺?biāo)中根號(hào)結(jié)構(gòu)較多,對(duì)學(xué)生計(jì)算能力有較高的要求,另外考生需明晰法向量的夾角和二面角的平面角的區(qū)別,下結(jié)論需要嚴(yán)謹(jǐn).

圖10

第(2) 問解法2(等體積法).如圖10,過B作面PCE的垂線BM,垂足為M,設(shè)OA=1,則BC=由PB2+PC2=BC2,所以BP⊥PC,故∠BPM為二面角B-PC-E的平面角,又利用等體積法BM=,sin ∠BPM=則

評(píng)析利用等體積法求二面角的平面角,基本模式是“設(shè)—證—求”三步驟的模式,對(duì)幾何體的結(jié)構(gòu)是否方正要求不高,算法結(jié)構(gòu)也比較清晰,但對(duì)考生的空間想象能力要求較高,運(yùn)算量也比較大,與建系運(yùn)算的方式相比各有優(yōu)勢(shì),因此兩種方法都需要靈活掌握.

二、備考復(fù)習(xí)建議

1 重視立體幾何中的基本概念,加強(qiáng)對(duì)立體幾何中公式和定理的理解

近幾年高考關(guān)于立體幾何的考查都突出了基礎(chǔ)性,教材在編寫上實(shí)際上已經(jīng)充分考慮到了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,內(nèi)容安排上體現(xiàn)了由具體到一般,而考點(diǎn)要求從合情推理過渡到邏輯推理.但教師在教學(xué)時(shí)往往在概念形成上用時(shí)較短,把教學(xué)重心放在了后續(xù)的公理和定理的應(yīng)用上,而考生在答題時(shí)對(duì)基本概念認(rèn)知不清晰和運(yùn)算所需公式記憶出錯(cuò)是得分不理想的一個(gè)重要原因,如本次高考試題中出現(xiàn)的正四棱錐概念、球體的表面積公式以及圓錐的側(cè)面積公式等,均需要考生在備考復(fù)習(xí)過程中熟練掌握；在評(píng)卷過程中,也發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生不確定圓錐頂點(diǎn)在底面上的投影是否為底面內(nèi)接正三角形的重心,花了較長篇幅去論證這一基本的結(jié)論；也有學(xué)生在處理理科18 題第一問時(shí)用向量的思路去證明線面垂直,但方向卻是去證明=0,這表明學(xué)生并沒有弄清相關(guān)原理；還有學(xué)生直接通過面面垂直得到線面垂直或線線垂直等錯(cuò)誤的推理來論證答題等,上述眾多因素導(dǎo)致大題基礎(chǔ)得分不樂觀,因此在備考復(fù)習(xí)中一定要重視立體幾何章節(jié)中各類概念、公式、定理的再回顧.

2 重視立體幾何中基本模型和簡單基本結(jié)論

通過查閱近幾年高考對(duì)本章內(nèi)容的考點(diǎn),不難發(fā)現(xiàn)其對(duì)基本模型的考查頻率是較高的,如正棱柱和正棱錐、球體,圓錐等,而相關(guān)幾何體結(jié)構(gòu)中的基本結(jié)論需要學(xué)生在日常復(fù)習(xí)中要做到了然于胸,如柱體、錐體外接球球心的位置規(guī)律、正方體的內(nèi)嵌正四面體中點(diǎn)與線的位置關(guān)系、平面幾何中圓的垂徑定理類比到空間的相關(guān)性質(zhì)等,通過平時(shí)的積累,讓考生在臨場(chǎng)發(fā)揮時(shí)能快速準(zhǔn)確的找到解題方向.

3 重視運(yùn)算求解能力的培養(yǎng),改善“會(huì)而不全”的現(xiàn)象

數(shù)學(xué)運(yùn)算是學(xué)科核心素養(yǎng)之一,也是眾多考生在面對(duì)立體幾何問題最大的挑戰(zhàn),2020年高考理科18 題從評(píng)卷反饋來看,因?yàn)樵搸缀误w結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)性和對(duì)稱性,考生出現(xiàn)了近6種建系方案,加上對(duì)基礎(chǔ)邊長的不同設(shè)定,約有12 種不同的坐標(biāo)數(shù)據(jù)出現(xiàn),但其中近半數(shù)方案中能正確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)難度較大,特別是根號(hào)結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)頻率高,導(dǎo)致考生運(yùn)算結(jié)果大量出錯(cuò),許多考生答題思路清晰但往往從坐標(biāo)數(shù)據(jù)那里出錯(cuò),會(huì)而不全,導(dǎo)致最后只能拿到較低的步驟分,這也是本題得分率低的最主要原因.教師在日常的備考中,要重視示范一些運(yùn)算常規(guī)技巧,如出現(xiàn)了等分點(diǎn)時(shí)可以把基礎(chǔ)長度設(shè)大一些(變成幾個(gè)量的最小公倍數(shù)),法向量的坐標(biāo)形式盡量回避分?jǐn)?shù)或分式,坐標(biāo)數(shù)據(jù)中負(fù)號(hào)盡量出現(xiàn)的少一些等,另外不要在關(guān)鍵步驟上嘗試心算,書寫過程的草稿要盡量集中以便于隨時(shí)檢查等,同時(shí)提高相關(guān)訓(xùn)練的運(yùn)算強(qiáng)度,做到限時(shí)訓(xùn)練,同時(shí)教師要改變課堂上重思維不重運(yùn)算的教學(xué)習(xí)慣.

4 重視書寫表達(dá),做到條理清晰論證嚴(yán)謹(jǐn),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

立體幾何的解答題往往分為證明和求解兩個(gè)部分,前者主要考查學(xué)生的邏輯推理,部分學(xué)生在論證過程中字跡書寫潦草不易辨認(rèn),或者書寫過程詞不達(dá)意,符號(hào)和定理亂用；沒有思考成熟一邊寫一邊改動(dòng),卷面欠缺整潔；當(dāng)然也有學(xué)生答題沒有信心,對(duì)論證缺乏一個(gè)整體的解決方案,寫到哪里算哪里.這些現(xiàn)象導(dǎo)致嚴(yán)謹(jǐn)性不夠而失分,因此教師需要在平常的教學(xué)中做到示范引領(lǐng),如設(shè)定一個(gè)基本長度時(shí)要用“不妨設(shè)”或“不失一般性設(shè)”等字眼,明確推理過程是否可以“同理”,書寫中慎用“易證”、“易得”等字眼,在新一屆的備考訓(xùn)練中,需讓學(xué)生明確該類問題的證明重心或求解關(guān)鍵點(diǎn)在哪里,明確幾種常規(guī)的處理手段,通過實(shí)踐來改進(jìn)我們的教學(xué)策略和提高教學(xué)效率.