邵媛媛 周菊玲 董翠玲

( 新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，830017，烏魯木齊 )

1 引 言

復(fù)合瑞利分布是將三參數(shù)Burr-Ⅻ分布中其中一個(gè)參數(shù)固定的一類分布.由于復(fù)合瑞利分布在社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和環(huán)境學(xué)等方面發(fā)揮著重要的作用，因此對(duì)該分布研究較為必要.文獻(xiàn)[1]對(duì)復(fù)合瑞利分布進(jìn)行可靠性分析；文獻(xiàn)[2]在完全數(shù)據(jù)情況下對(duì)復(fù)合瑞利分布的尺度參數(shù)進(jìn)行研究.當(dāng)進(jìn)行壽命試驗(yàn)時(shí)通常研究缺失數(shù)據(jù),其中針對(duì)逐步增加II型截尾數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷研究已有大量成果,例如文獻(xiàn)[3-5]在逐步增加II型截尾樣本下對(duì)串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性分析進(jìn)行研究,文獻(xiàn)[6-14]在逐步增加Ⅱ型截尾樣本下,對(duì)Burr-Ⅻ分布、Lomax分布、Pareto分布和廣義指數(shù)分布進(jìn)行研究.

在逐步增加Ⅱ型截尾樣本下,針對(duì)復(fù)合瑞利分布的尺度參數(shù)尚沒有見到,本文將針對(duì)這一問題進(jìn)行討論.

根據(jù)文獻(xiàn)[15，16],復(fù)合瑞利分布的分布函數(shù)為

F(x;θ,λ)=1-λθ(λ+x2)-θ，x>0,θ,λ>0，

(1)

其密度函數(shù)為

f(x;θ,λ)=2θλθx(λ+x2)-(1+θ)，x>0,θ,λ>0，

(2)

其中θ,λ分別被稱為尺度參數(shù)和形狀參數(shù).

對(duì)較為昂貴的試驗(yàn)樣品來說,壽命試驗(yàn)通常采用截尾試驗(yàn),在試驗(yàn)過程中已有部分樣品失效,考慮到試驗(yàn)時(shí)間、費(fèi)用等因素,將產(chǎn)品進(jìn)行逐步增加Ⅱ型截尾試驗(yàn).

假設(shè)現(xiàn)從一大批服從復(fù)合瑞利分布(1)的產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取n個(gè)產(chǎn)品參加逐步增加Ⅱ型截尾試驗(yàn).

根據(jù)上述試驗(yàn),令x=(x1,x2,…,xm),假設(shè)R1,R2,Rm,事先給定.由文獻(xiàn)[4]可得,樣本的似然函數(shù)為

(3)

本文將在形狀參數(shù)已知的情況下討論尺度參數(shù)的估計(jì).

定理1在逐步增加Ⅱ型截尾樣本壽命試驗(yàn)中,復(fù)合瑞利分布(1)中尺度參數(shù)θ的極大似然估計(jì)存在，并且該估計(jì)是唯一的.

證由于

3 尺度參數(shù)θ的Bayes估計(jì)

下面在形狀參數(shù)λ已知的情況下討論尺度參數(shù)的Bayes估計(jì).

3.1無先驗(yàn)信息下尺度參數(shù)的Bayes估計(jì)易知下式成立：

根據(jù)Jeffreys先驗(yàn)信息準(zhǔn)則可取參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為

(4)

根據(jù)上述試驗(yàn)可以得到樣本的似然函數(shù)(3)與先驗(yàn)分布(4)式,由Bayes公式可以得到θ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

其中Γ( )為伽馬函數(shù).

證由于在平方損失函數(shù)下,參數(shù)的Bayes估計(jì)為后驗(yàn)分布的均值,可知

證后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為

3.2共軛先驗(yàn)分布取伽馬分布時(shí),參數(shù)θ的Bayes估計(jì)若取尺度參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為Ga(α,β),其密度函數(shù)為

(5)

其中θ>0,超參數(shù)α>0,β>0.

由樣本似然函數(shù)(3)式與先驗(yàn)分布(5)式,根據(jù)Bayes公式可得到θ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

證由于在平方損失函數(shù)下,參數(shù)的Bayes估計(jì)為后驗(yàn)分布的均值,因此

3.3先驗(yàn)分布為指數(shù)分布,參數(shù)θ的Bayes估計(jì)若取尺度參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為指數(shù)分布,則其密度函數(shù)為

π3(θ)=μe-μθ，

(6)

其中θ>0,超參數(shù)μ>0.

由樣本似然函數(shù)(3)與先驗(yàn)分布(6)式,根據(jù)Bayes公式可得到θ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

證由于在平方損失函數(shù)下,參數(shù)的Baye估計(jì)為后驗(yàn)分布的均值,可知

4 超參數(shù)μ的估計(jì)

由于定理6與定理7中含有超參數(shù)μ,因此需要使用文獻(xiàn)[14-16]中的極大似然估計(jì)來估計(jì)μ.易知

現(xiàn)在將未知參數(shù)轉(zhuǎn)化為μ,利用f(x;μ),F(x;μ),則似然函數(shù)為

由于g1,g2在(0,+)上為嚴(yán)格遞減的凹函數(shù),所以

(7)

5 隨機(jī)模擬

利用R軟件隨機(jī)模擬的方法產(chǎn)生一個(gè)服從復(fù)合瑞利分布(1)的逐步增加Ⅱ型截尾樣本,具體步驟如下：

1) 產(chǎn)生一個(gè)容量為20且服從均勻分布U(0,1)的獨(dú)立同分布樣本U1,U2,…,Un;

3) 若取定

R1=[0,1,0，0，0，0，0，1，0，1，0，0，0，1，0，0，0，1，0，0],

R2=[0,1,0，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0，1，0，0，1，0，1，0]，

R3=[0,0,1，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1],

以及α= 2,β=1,μ=2.23,則樣本數(shù)據(jù)可以得到,并且根據(jù)定理1至定理7可以得到不同損失函數(shù)下參數(shù)θ的估計(jì)值.以上過程重復(fù)1 000次,并計(jì)算均值和均方誤差，模擬結(jié)果見表1．

表1 均值和均方誤差