王小菡 姜子文

( 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，250358，濟(jì)南 )

1 引 言

Cattaneo方程是用來描述具有有限傳播速度的擴(kuò)散過程的一類方程.Compte等人[1]從三種不同的角度推廣Cattaneo方程,得到了三種不同形式的Cattaneo模型.Ghazizadeh等人[2]提出分?jǐn)?shù)階Cattaneo模型顯式有限差分法和隱式有限差分法.Povstenko[3]研究了時間分?jǐn)?shù)階Cattaneo型方程,建立了相應(yīng)的熱應(yīng)力理論.Li Xiaoli等人[4]研究了分?jǐn)?shù)階Cattaneo方程的塊中心有限差分法.

本文考慮如下形式的推廣分?jǐn)?shù)階Cattaneo方程

(1)

u(x,0)=φ(x),ut(x,0)=ψ(x),x∈(0,L),

(2)

u(0,t)=μ(t),u(L,t)=υ(t),t∈[0,T]，

(3)

定義1[5]設(shè)α是一個正實(shí)數(shù),令n-1<α≤n,n為一個正整數(shù).函數(shù)f(t)定義在區(qū)間[a,b]上，稱

2 記號及引理

對于任意的網(wǎng)格函數(shù)u∈Uh,引進(jìn)如下記號

記

定理1[5]設(shè)f(t)∈C2[t0,tn],0<α<1,則有

其中|R(f(tn))|為逼近誤差.

定理2[6]設(shè)f(t)∈C3[t0,tn],1<β<2,則有

3 差分格式的構(gòu)造

在結(jié)點(diǎn)(xi,tn)處考慮微分方程(1)-(3)有

(4)

對相鄰的兩個時間層取平均[6]，可得

(5)

對(5)式兩端作用緊算子A,并對時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)采用L1逼近公式離散可得

(6)

(7)

由邊值條件(2)-(3)，可得

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

4 數(shù)值算例

本節(jié)將給出具體算例來說明格式(10)-(12)的誤差階.

算例1考慮如下Cattaneo問題

u(x,0)=φ(x),ut(x,0)=ψ(x),

u(0,t)=0,u(L,t)=0.

取對應(yīng)的精確解u(x,t)=t2sinπx,則函數(shù)f(x,t)和初邊值條件可由u(x,t)得到.各系數(shù)分別取D=1,α=0.3,ε=0.1.計(jì)算結(jié)果分別如表1、表2所示.在表1中取時間步長Δt=1/128,在表2中取空間步長h=1/30 000.

表1 關(guān)于不同空間步長的收斂階

表2 關(guān)于不同時間步長的收斂階

通過數(shù)值算例可以看出,對于不同的空間步長,空間誤差階達(dá)到了四階;對于不同的時間步長，時間誤差階達(dá)到了2-α階,從而驗(yàn)證了本文所建立格式的有效性.