付 昊，周波華，馬萌晨

(1. 海裝駐上海地區(qū)第六軍事代表室，上海 201109； 2. 上海航天技術研究院，上海 201109； 3. 哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

近年來，隨著高馬赫數(shù)飛行器等先進武器的發(fā)展，針對高速大機動目標的制導律設計得到了越來越多的關注。制導律的設計是決定導彈性能好壞的關鍵。在一些作戰(zhàn)場景中，可以通過特定的攻擊角來增加導彈的作戰(zhàn)效能[1-2]。KIM等基于傳統(tǒng)的比例導引，通過附加時變偏置項來補償目標的加速度信息和傳感器噪聲，設計了具有攻擊角度約束的偏置比例制導律[3]。PARK等考慮到導引頭視場角約束和導彈過載約束，設計了具有角度約束的比例制導律，并且分析了導彈在物理約束下的最大可實現(xiàn)攻擊角度[4]。文獻[5-7]設計了具有角度約束的最優(yōu)制導律，將制導系統(tǒng)的攻擊角約束問題轉換為最優(yōu)控制的約束問題。然而偏置比例導引和最優(yōu)制導律主要是針對靜止或低速移動目標。近幾十年來，滑?？刂评碚撚捎谄鋵ν饨绺蓴_和系統(tǒng)參數(shù)不確定性具有較強的魯棒性，在攔截機動目標的制導律設計中得到了廣泛的應用。文獻[8]針對機動目標，設計了具有攻擊角度約束的滑模制導律。文獻[9]設計了有限時間收斂的終端滑模制導律。文獻[10]設計了非奇異終端滑模制導律來解決滑模面的奇異問題。

綜合上述文獻，雖然諸多學者對帶有攻擊角度約束的制導律進行了大量的研究，但大多數(shù)方法都只能保證末端的攻擊角度約束，并不能限制視線角的收斂過程。某些作戰(zhàn)場景需要對導彈的制導過程進行約束，如在導彈攔截隱身目標的情形中，由于目標的雷達反射面積通常在某一特定的位置易被識別，因此要求制導系統(tǒng)的視線角在末制導過程中快速收斂并保持在特定角度。在多導彈協(xié)同作戰(zhàn)情形中，由于通信技術或協(xié)同探測的約束，要求多導彈之間的空間構型滿足一定的約束，這也可以通過限制視線角收斂過程來實現(xiàn)。在預設性能控制方面，文獻[11-12]提出了Funnel控制方法，該方法是自適應高增益控制方法的延續(xù)，用時變函數(shù)來代替單調(diào)遞增的控制增益。當系統(tǒng)的輸出誤差接近性能邊界時，F(xiàn)unnel控制方法調(diào)整出較高的控制增益值，從而保證滿足約束條件。BECHLIOULIS和ROVITHAKIS提出了規(guī)定性能控制(prescribed perfarmance controller, PPC)理論。在設計的約束性能函數(shù)基礎上，通過誤差變換，將系統(tǒng)跟蹤誤差轉化為等效的無約束系統(tǒng)，設計了PPC控制器[13]。針對高速大機動目標的攔截，本文設計了具有預設性能的自適應滑模制導律，具有形式簡單、魯棒性強等優(yōu)點。

1 問題描述

1.1 期望的性能指標約束函數(shù)

考慮非線性控制系統(tǒng)形式如式(1)所示。

(1)

式中：x1、x2表示系統(tǒng)狀態(tài)；u表示系統(tǒng)的控制輸入；b為系統(tǒng)輸入與狀態(tài)變量間的轉換系數(shù)；f為包含系統(tǒng)狀態(tài)的變量；d表示系統(tǒng)的外界干擾。在非線性系統(tǒng)跟蹤控制問題的研究中，一種典型的控制指標為在控制過程中設計控制輸入u使得系統(tǒng)狀態(tài)x1收斂到x1d，x2收斂到零并且收斂過程中系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤誤差e=x1-x1d能夠滿足給定的指標約束。設期望的性能指標函數(shù)為λ(t)，即控制目標轉換為

(2)

式中： 0

期望的性能約束函數(shù)設計為

λ(t)=(λ(0)-λ(∞))e-lt+λ(∞)

(3)

式中：l為正常數(shù)；λ(0)為性能約束函數(shù)的初值；e(0)表示式(1)所示系統(tǒng)中的狀態(tài)跟蹤誤差初值；λ(0)滿足0<|e(0)|<λ(0)，λ(∞)<λ(0)，λ(∞)>0。

期望的性能約束過程如圖1所示。

圖1 期望的性能約束函數(shù)Fig.1 Desired performance constraint function

圖1給出了期望的控制系統(tǒng)性能指標約束函數(shù)示意圖。在控制系統(tǒng)的設計中，希望控制指標按規(guī)定的約束條件收斂。其中：l的值決定了性能約束函數(shù)收斂的速度，l越大，收斂速度越快；λ(∞)決定了性能約束函數(shù)穩(wěn)態(tài)時的界；m表示跟蹤誤差的最大超調(diào)量。

設計中間函數(shù)為

(4)

式中：kh>0。

期望的性能約束過程可以表示為

(5)

由于0<|e(0)|<λ(0)，且h(0)存在，故在定義域內(nèi)可以對h(t)求導。

對h(t)求導可得

(6)

注1： 為了保證式(1)所示系統(tǒng)中的狀態(tài)在收斂過程中系統(tǒng)誤差能滿足預設性能，由于h(0)存在，只需要確保系統(tǒng)在收斂過程中h(t)是有界的。

因此，我們將非線性系統(tǒng)跟蹤控制問題中的狀態(tài)約束轉換為設計控制器，使得系統(tǒng)狀態(tài)收斂過程中滿足h(t)有界。

1.2 制導系統(tǒng)模型

考慮二維平面內(nèi)制導系統(tǒng)模型，如圖2所示。

圖2 二維制導系統(tǒng)示意圖Fig.2 Guidance system in two-dimensional space

圖2中：M表示導彈；T表示目標；R表示目標和導彈之間的相對距離；vm和vt分別表示導彈的速度和目標的速度，這里導彈和目標速度大小保持不變；θm和θt分別表示導彈速度和目標速度與視線之間的夾角；θL表示視線角；am表示導彈的法向加速度；at表示目標的法向加速度。這里以導彈作為坐標原點，則導彈目標的相對運動方程組為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

1.3 相關假設和引理

為了方便制導律設計，給出下面的引理和假設。

(12)

式中：μ>0；λ>0和0<α<1是常數(shù)；x(t0)=x0，其中，t0是初始值。那么系統(tǒng)狀態(tài)到達平衡點的時間ts滿足

(13)

也就是說系統(tǒng)狀態(tài)是有限時間收斂的。

1)V(x)為正定函數(shù)；

則系統(tǒng)為實際有效時間穩(wěn)定的。

假設1：假設目標加速度at對于所有的t≥0是有界的并且滿足|at|≤dmax，其中dmax是目標加速度的上界。

假設2[16]： 假設當R=R0≠0時導彈可成功攔截目標，R0屬于區(qū)域[Rmin,Rmax]=[0.1 m,0.25 m]。

2 制導律設計

2.1 快速非奇異制導律設計

在滿足性能指標約束的前提下，設計制導律使得系統(tǒng)能夠以期望的角度攔截目標。令

設計滑模面S為

(16)

式中：k1,k2,k3和ρ均為正常數(shù)。對滑模面S進行求導可得

(17)

利用tanh(·)函數(shù)的有界性，設計能夠保證函數(shù)h(t)有界的制導律。在滿足假設1和假設2的情況下，如果目標干擾上界dmax已知，適用于攔截機動目標且具有性能指標約束的制導律設計為

(18)

式中：k4、k5為正常數(shù)，并且滿足k5>ρk1dmax。

下面對非奇異制導律的穩(wěn)定性進行證明。首先證明不等式(19)。

由假設1和雙曲余弦函數(shù)cosh(·)的性質(zhì)可得

(19)

選擇李雅普諾夫函數(shù)V1為

(20)

對V1沿著式(7)～(10)所示的系統(tǒng)軌線求導，可得

(21)

將式(18)所示的控制器代入式(21)，并結合不等式(19)可得

-k4S2-k5S·sign(S)+k1ρ|S|dmax≤

-k4S2-(k5-k1ρdmax)|S|≤

(22)

下面證明系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面S=0上的運動。

(23)

對V2求導可得

(24)

由h(t)>0和式(14)的性質(zhì)可得

(25)

由李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知，系統(tǒng)視線角誤差漸近收斂到零，進而視線角速率漸近收斂到零。

注2：在以上的設計過程中，我們利用了tanh(·)函數(shù)的有界性，進而得到h(t)在系統(tǒng)收斂過程中始終有界，這意味著只要|e(0)|<λ(0)，則整個系統(tǒng)收斂過程中始終滿足性能約束條件。但在設計過程中，如果e(t)太過逼近λ(t)，會導致h(t)較大，對控制器的控制性能要求較高，因此對控制器u中h(t)前面的參數(shù)k2不應選取過大。

注3：在假設1中，我們對系統(tǒng)的外部干擾做了假設，也就是|at|

2.2 快速非奇異自適應制導律設計

(26)

(27)

下面對自適應滑模制導律的穩(wěn)定性進行證明。選取李雅普諾夫函數(shù)V3為

(28)

對V3沿著式(7)～(10)所示的系統(tǒng)軌線求導，將式(17)和式(27)代入可得

-k4S2-k5|S|≤0

(29)

選擇李雅普諾夫函數(shù)V4為

(30)

對V4求導可得

(31)

由于滑模面有限時間收斂到區(qū)域Δ，故由式(16)可得

(32)

式中，|Δ1|≤Δ。式(32)可以轉化為

(33)

注4：由于存在符號函數(shù)，這在一定程度上會帶來抖振現(xiàn)象。為了削弱該問題對閉環(huán)系統(tǒng)的影響，運用一個連續(xù)的飽和函數(shù)來近似符號函數(shù)，其具體形式為

(34)

式中，σ為一個小的正常數(shù)。

3 仿真驗證

通過數(shù)值仿真來驗證本文所設計的制導律的有效性。為了分析制導律的性能，目標的機動形式選擇為蛇形機動at=5gcos(2t)，其中，g=9.8 m/s2為重力加速度。

為了驗證所設計制導律的性能，選擇比例導引制導律(proportion navigation guidance law, PNGL)和之前設計的快速非奇異終端滑模制導律(fast nonsingular terminal sliding mode guidance law, FNTSMGL)[17-19]進行對比。PNGL的具體形式為

(35)

快速非奇異終端滑模的具體形式為

(36)

(37)

r1=(2-r)ηr-1

(38)

r2=(r-1)ηr-2

(39)

式中，r、α1、α2和η都是待設計的正常數(shù)，0

對應的FNTSMGL形式為

(40)

(41)

考慮兩組不同的初始場景參數(shù)，具體如表1所示。

表1 導彈目標初始仿真條件Tab. 1 Initial simulation conditions for the missile and target

實際導彈的動力學執(zhí)行機構的能力有限，即導彈所能提供的最大法向過載有限，具體形式為

其中，aM max=25g。

制導律u0中的參數(shù)選擇為α1=0.02，α2=0.39，r=0.9，η=0.25，k1=6，k2=2。PNGL中的參數(shù)為N=5。

3.1 非奇異滑模制導律的仿真驗證

制導律u1參數(shù)選擇為ρ=2.45，k1=0.5，k2=0.000 5，k3=1，k4=0.6，k5=2.7，飽和函數(shù)中的參數(shù)選擇為σ=0.005，性能約束函數(shù)參數(shù)為λ(0)=12，λ(∞)=0.5，l=0.8，m=0.3，kh=0.01。

當at=5gcos(t)時，選擇表1中的數(shù)據(jù)作為仿真初始參數(shù)，仿真結果如圖3所示。由圖3可知，3種制導律均能成功地攔截目標，但比例導引律不能保證視線角收斂，而制導律u1和u0均能保證導彈的視線角成功收斂到期望的視線角，且制導律u1能夠使得視線角按期望性能指標進行收斂。u0和u1在制導開始階段存在法向加速度飽和現(xiàn)象，這是因為選取的滑模面保證快速收斂的同時勢必會造成較大的控制量，而比例導引因為有效導航比的選擇產(chǎn)生的導彈法向加速度較小。

圖3 制導律u1仿真圖Fig. 3 Simulation under u1

3.2 快速非奇異自適應制導律的仿真驗證

考慮到實際目標有關參數(shù)并不容易精確得到，因此，開展自適應性能約束制導律設計。仿真初始參數(shù)選擇表1中的第2組數(shù)據(jù)，制導律u2參數(shù)選擇同u1：ρ=2.45，k1=0.5，k2=0.000 5，k3=1，k4=0.6，k5=2.7，自適應增益為δ=ρk1，飽和函數(shù)中的參數(shù)選擇為σ=0.005，性能約束函數(shù)參數(shù)為λ(0)=12，λ(∞)=0.5，l=0.8，m=0.3，kh=0.01。仍選擇比例制導律以及制導律u0與制導律u2進行對比，參數(shù)同上。

當at=5gcos(t)時，初始參數(shù)選擇為表1中的數(shù)據(jù)，3種制導律下的仿真結果如圖4所示，3種制導律均能成功地攔截目標，制導律u2和u0均能保證視線角成功地收斂到期望的視線角，且制導律u2亦能使視線角按期望性能指標進行收斂，這有利于進一步提高導彈的作戰(zhàn)性能。

圖4 目標蛇形機動下制導律u2仿真圖Fig.4 Responses under u2

4 結束語

本文針對非線性系統(tǒng)中的性能約束問題，通過引入中間函數(shù)設計新的滑模面，將制導系統(tǒng)的視線角跟蹤誤差與期望的性能約束函數(shù)結合并引入到滑模面的設計中，通過滑模面的有界性設計了滿足期望性能約束的制導律。本文所用方法的控制器形式簡單，且具有較好的魯棒性與實用性。仿真對比驗證了本文所設計制導律的有效性和優(yōu)越性。