張曉宇，張 鵬，鄭 鑫，倪元華

(1. 南開大學人工智能學院,天津 300350； 2. 哈爾濱工程大學智能科學與工程學院,黑龍江 哈爾濱 150001； 3. 上海航天技術研究院，上海 201109)

0 引 言

隨著技術的發(fā)展，現代戰(zhàn)爭對導彈攔截目標的要求也不斷提高，不僅希望導彈攔截目標的脫靶量最小，而且要求導彈以指定的角度攔截目標以實現對目標最大的摧毀效果。為了滿足特殊制導任務的需求，需要對帶有終端角約束的制導律進行進一步研究[1]。比例導引法由于其結構簡單、便于應用的特點被廣泛應用于帶有終端角約束的制導方法中[2-3]。然而，比例導引法對于大機動目標的攔截，不能達到所要求的攔截精度。

變結構控制由于其能有效抑制系統(tǒng)不確定性而被廣泛應用于制導律設計中[4-5]。由于導彈攔截目標的末制導階段時間短，因此提出了一些基于變結構滑?？刂频挠邢迺r間收斂制導律[6-8]。但是這些制導律的收斂時間依賴導彈制導系統(tǒng)的初始狀態(tài)，如果制導系統(tǒng)的初始狀態(tài)選擇不當會導致制導系統(tǒng)狀態(tài)收斂時間無窮大。

針對上述問題，本文提出一種基于固定時間收斂的終端角度約束滑模制導律[9]，針對目標機動，設計一種固定時間收斂的擾動觀測器，可實現系統(tǒng)擾動的固定時間估計，并在此基礎上證明了制導系統(tǒng)的固定時間穩(wěn)定特性。

1 數學建模

假設導彈與目標均為質點，則導彈與目標的平面作戰(zhàn)運動關系如圖1所示。M和T代表導彈和目標，vM與vT代表導彈與目標的速度，aM與aT代表導彈與目標的加速度，θM與θT代表導彈與目標的航跡角，r與q分別代表彈-目的相對距離和視線角。

圖1 導彈與目標的平面作戰(zhàn)相對關系Fig.1 The planar engagement between missile and target

不失一般性，設計制導律時引入如下假設：

1) 假設1：在末制導階段，導彈與目標的速度大小不變。

2) 假設2：導彈與目標的導引頭和執(zhí)行機構動態(tài)特性是理想的，即不考慮控制指令延遲。

則導彈與目標在極坐標系下的相對運動方程如式(1)所示[10]。

(1)

(2)

(3)

本文的目的是設計制導律aM，在保證導彈有較小的脫靶量的同時，狀態(tài)變量x1和x2在有界的有限時間內收斂到足夠小且接近于零的鄰域。技術上講，當r∈[rmin,rmax]時，導彈可以實現對目標的碰撞攔截，其中rmin和rmax代表較小的正常數。

2 定義及引理

定義1： 考慮式(4)所示非線性系統(tǒng)

(4)

式中：x∈Rn是狀態(tài)，f(x(t)):D→Rn是非線性函數。如果式(4)表示的系統(tǒng)是有限時間穩(wěn)定的并且收斂時間T(x0)∈R一致有界，若存在正常數Tmax滿足T(x0)≤Tmax,?x0∈Rn，那么式(4)表示的系統(tǒng)是固定時間穩(wěn)定的[13]。

引理1[9]： 設計如式(5)所示的系統(tǒng)，即

(5)

(6)

(7)

對式(7)所描述的非線性導彈-目標動力學構造一個三階固定時間擾動觀測器

(8)

(9)

3 固定時間收斂的終端角約束制導律設計與分析

非奇異固定時間收斂滑模面設計如式(10)所示。

(10)

φ(x1)=

(11)

(12)

式中：p1和q1是兩個正奇數滿足q1>p1；l1=(2-p1/q1)εp1/q1-1,l2=(p1/q1-1)εp1/q1-2，并且ε是一個充分小的正常數。

定理1： 針對式(3)所示系統(tǒng)，設計式(10)固定時間收斂滑模面，考慮式(8)設計的固定時間擾動觀測器，設計制導律為

(13)

φ(x1)=

(14)

由此可得：

1) 滑模變量固定時間內收斂于

(15)

2)狀態(tài)變量固定時間內收斂于

(16)

固定時間T將在證明中給出。

證明：考慮如下李雅普諾夫函數

V=s2

(17)

對式(17)進行微分并代入式(3)，可得

(18)

將式(13)制導律代入到式(18)，可得

(19)

式中，a1≤N(s)<1。

式(19)可進一步轉化為式(20)和(21)兩種形式，即

(20)

(21)

由式(20)可知，如果η1> 0，則式(20)的結構與式(5)類似。因此，保證了滑模變量s固定時間收斂?；Ｗ兞縮將在固定時間內收斂到以下區(qū)域

(21)

式(21)的分析與式(20)類似，可得滑模變量s將在固定時間內收斂到以下區(qū)域

(22)

|s|≤Ψs=min{Ψs1,Ψs2}

(23)

固定時間Tr=max{Tr1,Tr2}。

當非奇異固定時間收斂滑模變量s收斂到集合Ψs，需要對以下3種情況進行分析。

情況一：

(24)

情況二：

(25)

式(25)可以改寫為

(26)

(27)

(28)

(29)

情況三：

(30)

綜合情況一、情況二和情況三，可以得到當滑模變量s收斂到集合Ψs，狀態(tài)x1和x2將在固定時間Ts內收斂區(qū)域，如式(31)所示。

(31)

因此，系統(tǒng)狀態(tài)x1和x2將分別在固定時間內收斂到集合Ψx1和集合Ψx2，固定時間T=Tr+Ts，證明完畢。

4 數值仿真

本章通過數值仿真驗證所提制導律的有效性。仿真場景為單一導彈對單一目標的攔截。導彈的初始位置xM=0 m，yM=0 m，速度vM=500 m/s；導彈航跡角θM=15°,30°,60°,90°,120°,150°；目標的初始位置xT=10 000 m，yT=10 000 m，速度vT=250 m/s，航跡角θT=180°；目標機動aT=8gsin(πt/10)，g=9.81 m/s2；期望終端視線角qd=40°；導彈的最大加速度20g。蒙特卡洛仿真條件：假設導彈的初始彈道角范圍為15°～150°并服從均勻分布，導彈其他條件與上述情況一致，進行500次蒙特卡洛仿真。

制導律參數為：m1=n1=9/7,p1=q1=7/9,k1=0.2,k2=0.2，γ1=0.15,γ2=0.2，a1=0.8,b1=7,c1=2,ε=0.01。

圖2～7分別給出了導彈和目標彈道、視線角、視線角速率、滑模變量、導彈過載、蒙特卡洛仿真結果。

圖2 導彈和目標彈道Fig.2 Trajectories of missile and target

圖3 視線角Fig.3 LOS angles

圖4 視線角速率Fig.4 LOS angular rates

圖5 滑模變量Fig.5 Sliding mode variables

圖6 導彈過載Fig.6 Missile overloads

圖7 蒙特卡洛仿真結果Fig.7 Monte Carlo simulation results

由圖2可以看出，所設計制導律可以使得導彈在不同初始條件下均能成功攔截目標。由圖3可以看出，在導彈不同初始條件下終端視線角可以在固定時間內收斂到期望值。由圖4可以看出，在導彈不同初始條件下視線角速率可以在固定時間內收斂到零，固定時間約為15 s。圖5可以看出，所設計的滑模變量在導彈不同初始條件下可以在固定時間收斂到零，固定時間約為10 s。圖6可以看出，導彈的過載均在最大允許范圍內，且在末制導段不存在由于目標機動引起的抖振和峰值現象。圖7可以看出，導彈在不同初始條件下對目標攔截的脫靶量均小于0.6 m。因此，本文提出的制導律在不考慮初始系統(tǒng)狀態(tài)的一定條件下，可實現制導系統(tǒng)狀態(tài)和滑模變量固定時間收斂，對未知機動目標具有強魯棒性，并且在終端角約束條件下可以精確地攔截目標。

5 結束語

本文提出了一種固定時間收斂的終端角約束滑模制導律，可以實現閉環(huán)制導系統(tǒng)在固定時間內穩(wěn)定，并且閉環(huán)制導系統(tǒng)收斂時間的上界在一定條件下與制導系統(tǒng)初始狀態(tài)無關。通過采用固定時間擾動觀測器對集成不確定性進行補償，導彈加速度不存在由機動目標引起的抖振和峰值現象。通過大量的數值模擬，對所提出的制導律進行了性能檢驗。所提制導律可以實現對不同初值制導系統(tǒng)的固定時間收斂，對未知目標機動具有強魯棒性和較高的制導精度及較小的視線角跟蹤誤差。