趙 斌，黃曉陽，周 軍，郭 玥

(西北工業(yè)大學(xué)精確制導(dǎo)與控制研究所，陜西 西安 710072)

0 引 言

近年來，受生物集群現(xiàn)象啟發(fā)，個體協(xié)同控制研究受到廣泛重視[1]。相比于傳統(tǒng)單一系統(tǒng)執(zhí)行任務(wù)模式，多分系統(tǒng)(個體)協(xié)同執(zhí)行任務(wù)可以提高系統(tǒng)行為的智能化程度，從而完成單一系統(tǒng)無法完成的復(fù)雜任務(wù)[2]。在飛行器集群控制領(lǐng)域，協(xié)同制導(dǎo)律由于可降低成本并且可以通過信息交互使飛行器有效配合完成復(fù)雜飛行任務(wù)，已經(jīng)受到廣泛關(guān)注。協(xié)同制導(dǎo)已在無人機(jī)編隊[3]、戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈集群[4]、衛(wèi)星編隊控制[5]等多個領(lǐng)域得到應(yīng)用，涌現(xiàn)出大量成果。在協(xié)同制導(dǎo)與控制領(lǐng)域中，多智能體理論是主要的研究手段，其主要思想是通過智能體與相鄰智能體之間的信息交互，不斷調(diào)整自身的狀態(tài)從而使所有智能體的某些狀態(tài)實現(xiàn)一致性[6]。

基于多智能體一致性解決飛行器協(xié)同制導(dǎo)問題時，常見的協(xié)調(diào)變量有遭遇時間[7-12]、剩余距離與視線角[13-17]和速度[18-19]等。這些研究采用的數(shù)學(xué)模型主要是一階和二階質(zhì)心運動學(xué)，以作用于質(zhì)心的加速度為控制量。戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈末制導(dǎo)段通常進(jìn)行無動力飛行，因此很難通過調(diào)整速度大小來實現(xiàn)遭遇時間、剩余距離以及速度等協(xié)同變量的一致，相比之下實現(xiàn)視線角的一致則是可行的方案。文獻(xiàn)[20-21]針對平面運動目標(biāo)，以脫靶量、相對視線角偏差和控制能量為性能指標(biāo)，基于最優(yōu)控制理論設(shè)計了協(xié)同制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[22]在平面比例導(dǎo)引基礎(chǔ)上增加了視線角協(xié)同項，設(shè)計了一種視線角協(xié)同導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[14]提出了基于領(lǐng)彈-從彈的協(xié)同制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[7-17]針對固定目標(biāo)設(shè)計多彈自主協(xié)同制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[17-19]提出了基于領(lǐng)彈-從彈拓?fù)涞膮f(xié)同制導(dǎo)律，將目標(biāo)視為“領(lǐng)彈”，彈群采用一階一致性算法實現(xiàn)對目標(biāo)的跟蹤，從而把協(xié)同攔截問題轉(zhuǎn)換為一致性跟蹤問題。

以上研究的前提是將導(dǎo)彈運動模型簡化為一階或二階運動模型，并且忽略重力、氣動力等因素，采用的控制輸入為質(zhì)心過載加速度，而非對導(dǎo)彈進(jìn)行飛行控制的舵偏角。然而，大氣層內(nèi)戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈在末制導(dǎo)階段通常進(jìn)行無動力飛行，通過舵偏角進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整以實現(xiàn)對需用過載的調(diào)節(jié)。因此，現(xiàn)有文獻(xiàn)中的相關(guān)研究由于模型過于理想化，無法真正用于戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈末制導(dǎo)段的協(xié)同制導(dǎo)中。

針對此問題，本文對現(xiàn)有協(xié)同制導(dǎo)方法的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了改進(jìn)，將舵偏角作為控制輸入，建立了考慮重力、氣動力以及姿態(tài)變化的戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)模型，提出了一種二維縱向平面內(nèi)的視線角一致協(xié)同制導(dǎo)算法。本文采用領(lǐng)彈-從彈的一致性協(xié)同策略，設(shè)計了穩(wěn)定精度高、收斂速度快的分布式滑模制導(dǎo)律，其中,領(lǐng)彈采用有限時間收斂的滑模制導(dǎo)律結(jié)合干擾觀測器以實現(xiàn)對機(jī)動目標(biāo)的精確打擊;從彈則在分布式的自適應(yīng)連續(xù)化滑?？刂茀f(xié)議下跟蹤領(lǐng)彈對目標(biāo)視線角，以實現(xiàn)目標(biāo)的協(xié)同攻擊。

相比于已有的協(xié)同制導(dǎo)律，本文所設(shè)計的分布式協(xié)同控制算法具有以下優(yōu)點：①采用以舵偏角為控制輸入的導(dǎo)彈飛行模型直接進(jìn)行控制律的設(shè)計，更接近于實際的物理系統(tǒng)，具有良好的工程應(yīng)用價值;②采用領(lǐng)彈-從彈的一致性協(xié)同策略，可以將領(lǐng)彈與從彈分開進(jìn)行設(shè)計來實現(xiàn)對目標(biāo)的協(xié)同攻擊;③采用領(lǐng)彈-從彈結(jié)構(gòu)，可以降低從彈彈載計算和對探測設(shè)備的要求，具有傳遞信息少、協(xié)調(diào)時間短等優(yōu)勢，節(jié)約了成本。

1 數(shù)學(xué)建模

本文考慮縱向平面內(nèi)N枚從彈與一枚領(lǐng)彈協(xié)同攻擊運動目標(biāo)的場景。為方便描述，將第i枚導(dǎo)彈記作Mi，領(lǐng)彈記作M0，目標(biāo)記作T。

考慮二維縱向平面內(nèi)一枚領(lǐng)彈與多枚從彈對運動目標(biāo)進(jìn)行協(xié)同攻擊。導(dǎo)彈Mi與目標(biāo)的相對位置關(guān)系如圖1所示，其中xoy為地面坐標(biāo)系，vi表示導(dǎo)彈飛行速度，vT為目標(biāo)飛行速度，ηi、qi分別表示導(dǎo)彈相對目標(biāo)的速度偏向角與視線角，ηiT表示目標(biāo)相對于導(dǎo)彈Mi的速度偏向角，ri為彈目距離。

圖1 導(dǎo)彈與目標(biāo)相對運動關(guān)系Fig.1 Relative motion between missile and target

根據(jù)圖1可以建立導(dǎo)彈Mi運動方程以及彈-目相對運動模型為

(1)

(2)

1) 領(lǐng)彈制導(dǎo)模型

(3)

式中：g(t)為模型不確定性；aM為導(dǎo)彈加速度。

2) 從彈制導(dǎo)模型

基于式(1)所示模型，對視線角進(jìn)行二階微分可得從彈制導(dǎo)模型為

(4)

(5)

式中：ζ1=rmaxg；ζ2=2vmax；rmax表示飛行過程從彈與目標(biāo)的最大距離；vmax表示從彈的最大速度。

(3) 領(lǐng)彈-從彈通訊拓?fù)?/p>

對于一枚領(lǐng)彈與多枚從彈構(gòu)成的協(xié)同制導(dǎo)體制，用G=(V,ε)表示其通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，其中V={1,2,...,N}為導(dǎo)彈節(jié)點構(gòu)成的集合，ε?V×V表示導(dǎo)彈間的通訊鏈路構(gòu)成的集合，記矩陣A=[aij], 1≤i,j≤N為該通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖的鄰接矩陣，記矩陣L=[lij](1≤i,j≤N)為該通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖的Laplace矩陣。圖2給出通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的示意圖。

圖 2 導(dǎo)彈組網(wǎng)通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.2 Communication topology structure of missile networking

2 引理及定義

基于式(4)所示模型，給出領(lǐng)彈-從彈制導(dǎo)體制中關(guān)于視線角漸近協(xié)同追蹤的定義。

為進(jìn)一步解決視線角的協(xié)同追蹤問題，在式(4)所示模型的基礎(chǔ)上定義集總追蹤誤差

(6)

式中：lij∈L(i,j=1,...,N)，L為從彈間的通訊拓?fù)鋱D的Laplacian矩陣；bi(i=1,2,...,N)表示領(lǐng)彈與從彈之間的通訊拓?fù)?，如果bi=0，則表示第i枚從彈接收不到領(lǐng)彈的視線角信息，若bi=1，則表示第i枚從彈可以接收到領(lǐng)彈的視線角信息。

(7)

定義

(8)

因此集總誤差系統(tǒng)的動力學(xué)形式可表示為

(9)

當(dāng)領(lǐng)彈與從彈構(gòu)成的通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖存在一個有向生成樹時，L+B是可逆矩陣[23]。根據(jù)式(6)可知，各從彈的視線角跟蹤誤差都收斂到0等效于集總誤差收斂到0。故有如下引理：

引理1[24]:如果由式(3)表示的領(lǐng)彈-從彈模型下的通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)含有一個有向生成樹，則由式(3)表示的領(lǐng)彈-從彈系統(tǒng)的視線角漸近(或最終有界一致)協(xié)同追蹤問題等效于由式(7)表示的集總誤差系統(tǒng)的漸近(或最終一致有界)穩(wěn)定問題。

為方便后續(xù)證明，引入下列引理。

(10)

引理3[26]:考慮一階的單輸入單輸出非線性系統(tǒng)

(11)

式(11)表示沿系統(tǒng)軌線的滑模動態(tài)特性。s=0定義了系統(tǒng)在滑模面上的運動；u∈R為連續(xù)控制輸入；g(t)為充分光滑的不確定函數(shù)且m-1次可微；gm-1(t)具有已知Lipschitz常數(shù)L。針對該模型，引出非齊次干擾觀測器

(12)

式(12)中，函數(shù)hi可表示為

(13)

式中：λi>0，μi>0，i=0,1,...,m。

假設(shè)式(11)所示系統(tǒng)中的s(t)和u(t)可以測量得到，所對應(yīng)的參數(shù)λi、μi在逆序上充分大，則系統(tǒng)狀態(tài)經(jīng)歷有限時間的暫態(tài)過程后，將滿足

z0=s(t),z1=g(t),…,zi=vi-1=g(i-1),i=1,…,m

(14)

引理4[27]:考慮時變信號y(t)滿足

(15)

其中，f(y(t),t)對y(t)滿足Lipschitz條件，對所有t≥0連續(xù)。如果連續(xù)函數(shù)x(t)的上右導(dǎo)數(shù)在t∈[t0,T)時滿足微分不等式

D+x(t)≤f(x(t),t),x(t0)≤y0

(16)

則對所有t∈[t0,T0)，均有x(t)≤y(t)。

3 領(lǐng)彈滑模制導(dǎo)律設(shè)計

針對式(3)所示系統(tǒng)，選取有限時間收斂的滑模面

(17)

式中：td>t為期望的滑模收斂時間；n>1為設(shè)計參數(shù)。為使td>t，取td=tf，tf為領(lǐng)彈攻擊目標(biāo)的結(jié)束時刻。于是td-t=tf-t=tgo為剩余飛行時間，取

(18)

對式(3)所示系統(tǒng)中的不確定干擾項g(t)，根據(jù)引理3設(shè)計非線性齊次干擾觀測器進(jìn)行估計。

(19)

基于式(2)系統(tǒng)、式(13)滑模面以及式(19)干擾觀測器，直接給出領(lǐng)彈控制過載aM的表達(dá)式如下

(20)

定理1: 考慮到式(3)所示領(lǐng)彈的制導(dǎo)模型，在式(20)的控制過載下，領(lǐng)彈可以實現(xiàn)在給定視線角約束下對運動目標(biāo)的精確打擊。

證明：對所選取的式(17)滑模面進(jìn)行求導(dǎo)，可得

(21)

將式(20)代入式(21)中，可得

=-k1s-k2sigρ(s)

(22)

(23)

即

(24)

(25)

進(jìn)一步有

(26)

因此理論上可以證明該導(dǎo)引律能夠在有限時間內(nèi)使得領(lǐng)彈在視線角約束下?lián)糁心繕?biāo)。

4 從彈分布式協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計

基于集總追蹤誤差系統(tǒng)模型(式(6)所示)選取滑模面為

si=μe1i+e2i,i=1,2,...,N

(27)

其中，μ>0。將N個從彈滑模寫為向量形式

s=μe1+e2，s=[s1,s2,...,sN]T

(28)

在式(28)滑模面與式(4)模型基礎(chǔ)上直接給出以舵偏角為控制輸入的從彈Mi的制導(dǎo)律為

(29)

式中：

(30)

式中：ξ>0；βi由式(31)自適應(yīng)律給出。

(31)

式中：χ>0；γ>0。定義

(32)

得到緊湊形式

aδz=(L+B)-1(-μe2+b?aM+g(s))-aα

(33)

定理2:考慮到式(4)領(lǐng)彈-從彈系統(tǒng)模型，在式(29)自適應(yīng)連續(xù)化滑模追蹤算法下，從彈可以實現(xiàn)對領(lǐng)彈視線角的一致有界協(xié)同追蹤。

證明：首先證明式(28)定義的滑模變量可以在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面的一個邊界層。

考慮Lyapunov函數(shù)

(34)

對式(34)求微分并結(jié)合式(9)可得

(35)

情況1： ?i=1,2,...,N,βi‖si‖≥ξ,由式(30)得

(36)

情況2：若?i=1,2,...,N,βi‖si‖<ξ,由式(30)得

-β0‖s‖+η2

(37)

式中，η2=η1+Nξ/4

情況3：如果一部分從彈節(jié)點滿足βi‖si‖<ξ，另一部分從彈節(jié)點滿足βi‖si‖≥ξ，則結(jié)合情況1與情況2，可以得到

(38)

綜合上述情況，對任意βi‖si‖(i=1,2,...,N)，有

(39)

(40)

下面證明式(4)領(lǐng)彈-從彈模型能夠在式(29)自適應(yīng)連續(xù)化滑模控制協(xié)議下實現(xiàn)視線角的最終一致有界追蹤問題。在式(40)邊界層內(nèi)有

(41)

(42)

式中，0<θ1<1。所以式(6)追蹤誤差系統(tǒng)的軌跡能夠在有限時間內(nèi)到達(dá)式(43)邊界內(nèi)。

(43)

綜上可知，式(6)追蹤誤差系統(tǒng)最終有界。根據(jù)引理1，式(4)領(lǐng)彈-從彈模型能夠在式(29)自適應(yīng)連續(xù)化滑?？刂茀f(xié)議下實現(xiàn)視線角的最終一致有界追蹤。

5 數(shù)學(xué)仿真與分析

設(shè)有5枚戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈對一勻速運動目標(biāo)進(jìn)行協(xié)同攻擊，其中包含1枚領(lǐng)彈與4枚從彈。領(lǐng)彈的制導(dǎo)律參數(shù)及觀測器參數(shù)如表1、表3所示，4枚從彈制導(dǎo)律參數(shù)、初始狀態(tài)如表2、表4所示，領(lǐng)彈與目標(biāo)的初始狀態(tài)如表5所示，領(lǐng)彈的理想彈道傾角qd=0.5rad。

表1 領(lǐng)彈制導(dǎo)律參數(shù)Tab.1 Parameters of the leader’s guidance law

表2 從彈制導(dǎo)律參數(shù)Tab.2 Parameters of the followers’ guidance law

表3 干擾觀測器參數(shù)Tab.3 Parameters of the disturbance observer

表4 各從彈初始條件Tab.4 Initial conditions of the followers

表5 領(lǐng)彈與目標(biāo)初始條件Tab.5 Initial conditions of the Leader and Target

領(lǐng)彈與從彈間的通訊拓?fù)淙鐖D3所示，領(lǐng)彈采用有限時間收斂制導(dǎo)律結(jié)合干擾觀測器對目標(biāo)進(jìn)行攻擊，從彈則在分布式的自適應(yīng)連續(xù)化滑?？刂茀f(xié)議下追蹤領(lǐng)彈的視線角以實現(xiàn)對目標(biāo)的協(xié)同攻擊。仿真結(jié)果如圖4～5所示。

圖 3 仿真實例中的多彈通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.3 Communication topology structure of missiles in simulation

圖4 場景1下的仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results in scenario 1

圖5 場景2下的仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results in scenario 2

場景1：無氣動拉偏。從圖4中可以看出，各從彈與領(lǐng)彈飛行狀態(tài)穩(wěn)定，其控制舵偏角以及攻角、彈道傾角滿足實際物理系統(tǒng)需求，并且在所設(shè)計的舵偏控制輸入下，被控從彈可以對領(lǐng)彈視線角進(jìn)行有效跟蹤，并最終跟蹤至領(lǐng)彈約束視線角從而實現(xiàn)對目標(biāo)的精確協(xié)同攻擊。

場景2：考慮20%氣動拉偏。從圖5中可以看出整個飛行過程仍然是穩(wěn)定的。雖然對領(lǐng)彈視線角的跟蹤效果相比于無拉偏情況存在一定的偏差，但誤差仍然在可以容忍的合理范圍內(nèi)，并且各從彈在所設(shè)計的舵偏控制輸入下與領(lǐng)彈一同趨向于理想的視線角命中目標(biāo)，實現(xiàn)了良好的協(xié)同攻擊效果。

綜合以上仿真分析，可以驗證所設(shè)計的領(lǐng)彈-從彈協(xié)同制導(dǎo)律的有效性，證明其能夠?qū)崿F(xiàn)對目標(biāo)的協(xié)同有效打擊。

5 結(jié)束語

針對多導(dǎo)彈集群分布式協(xié)同目標(biāo)打擊問題，本文以舵偏角為控制輸入的戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈末制導(dǎo)段無動力飛行作為研究對象，在領(lǐng)彈-從彈的編隊構(gòu)架下，首先基于導(dǎo)彈動力學(xué)建立了關(guān)于彈目二階視線角的分布式非線性協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計模型；其次，基于滑模控制和干擾觀測器設(shè)計了帶有視線角約束的領(lǐng)彈對運動目標(biāo)精確打擊的制導(dǎo)律；第三，針對從彈提出了一種分布式非連續(xù)協(xié)同制導(dǎo)律，給出了其參數(shù)的自適應(yīng)規(guī)律。同時給出了相關(guān)定理的數(shù)學(xué)證明以及仿真驗證，證明了所設(shè)計制導(dǎo)律的有效性。

與已有的視線角協(xié)同制導(dǎo)律相比，本文所設(shè)計并使用的分布式滑模追蹤算法可以對干擾進(jìn)行有效的抑制，并能應(yīng)用于舵偏控制下的動力學(xué)模型，更符合工程實際情況。