姚曉潔，秦發(fā)金

（廣西科技師范學(xué)院，廣西來(lái)賓 546199）

近年來(lái)，關(guān)于具有奇異的微分方程周期解的研究引起學(xué)者們的廣泛關(guān)注，并取得了一些好結(jié)果［1-6］，其中文獻(xiàn)［6］研究了一類(lèi)具有奇異的二階Liénard型方程

的周期解，利用Mawhin 連續(xù)定理和不等式分析技巧，獲得方程（1）正周期解存在性的充分條件，并指出了解的具體存在范圍.然而，據(jù)筆者所知，對(duì)具有奇性的高階Liénard 型方程周期解的研究還是比較少的，且沒(méi)有指出正解具體存在范圍的相關(guān)報(bào)道，因此，本文討論如下具有奇異的高階Liénard型方程

的正周期解，這里n ＞ 為正整數(shù)，f：R→R是連續(xù)函數(shù)，b，p∈C（R，R） 是T-周期函數(shù)，且函數(shù)b可以變號(hào).

1 主要引理

本文引入以下記號(hào)：

引理1［7］（Mawhin 延拓定理）設(shè)X，Z是實(shí)賦范向量空間，L：D（L） ?X→Z是指標(biāo)為零的線(xiàn)性Fredholm映射，Ω?X是一個(gè)有界開(kāi)集，N：→Z在是L-緊的映射.如果下列條件滿(mǎn)足：

（i）對(duì)每個(gè)（λ，χ） ∈[（D（L）KerL） ∩ ?Ω] ×（0，1） ，有Lχ+λNχ≠0 ；

（ii）當(dāng)χ∈KerL ∩ ?Ω 時(shí)，有Nχ?ImL ；

引理2［8］設(shè)χ（t） ∈Cm（R，R），m≥ ，并且存在常數(shù)T＞0 ，使得t∈R有χ（t+T） =χ（t） ，則存在與χ（t） 無(wú)關(guān)的Mi＞0 ，使得

2 主要結(jié)果

定理1 若n = k，k為正整數(shù)，如果下列條件滿(mǎn)足：

3 應(yīng)用舉例

考慮下面具有奇異的高階Liénard方程

從而根據(jù)定理1 可知，方程（10）存在正的1-周期解.顯然，此結(jié)果不能由文［6］獲得，因此，本文推廣和改進(jìn)了文［6］的相關(guān)結(jié)果.