林偉 羅朝舉

摘要：課堂教學(xué)是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主渠道?！八家鈹?shù)學(xué)”以數(shù)學(xué)現(xiàn)象具體“意境”為學(xué)習(xí)路徑，以貼近學(xué)生生活“情意”為學(xué)習(xí)動(dòng)力，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)中建構(gòu)知識(shí)、感受數(shù)學(xué)情感。從而構(gòu)建了數(shù)學(xué)課型：“概念課”“定理（公式）課”“習(xí)題（例題）課”“復(fù)習(xí)（專題）課”“講評(píng)課”“課題研究課”。根據(jù)課型類別提出教學(xué)模式，解決教師的“教”與學(xué)生“學(xué)”的關(guān)系，為學(xué)而教，為思維而教，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：思意數(shù)學(xué);教學(xué)設(shè)計(jì);課型;教學(xué)模式;教學(xué)探索

“思意數(shù)學(xué)”教學(xué)是學(xué)生從“思”到“意”的過(guò)程，學(xué)生起始于問(wèn)題思索，圍繞著提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力開展教學(xué)活動(dòng)，通過(guò)學(xué)習(xí)感受到數(shù)學(xué)的意蘊(yùn)。根據(jù)不同的課型構(gòu)建不同的教學(xué)模式，讓學(xué)生主動(dòng)地探索數(shù)學(xué)知識(shí)、掌握數(shù)學(xué)技能和培育數(shù)學(xué)思維。

一、“思意數(shù)學(xué)”六種課型教學(xué)模式的構(gòu)建

以數(shù)學(xué)課型為切入點(diǎn)，繼承傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課型：“新授課”“復(fù)習(xí)課”和“講評(píng)課”。研究了數(shù)學(xué)新的課型：“概念課”“定理（公式）課”“習(xí)題（例題）課”“復(fù)習(xí)（專題）課”“講評(píng)課”“課題研究課”。六種教學(xué)模式的框架分為四個(gè)部分，即教學(xué)程序、教師活動(dòng)、學(xué)生活動(dòng)和學(xué)生發(fā)展。每一步的教學(xué)程序皆對(duì)應(yīng)不同的學(xué)生認(rèn)知過(guò)程和教師教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生活動(dòng)和學(xué)生發(fā)展。

（一）概念課教學(xué)模式

概念課課型通過(guò)各種數(shù)學(xué)形式、手段，對(duì)研究對(duì)象的本質(zhì)屬性進(jìn)行揭示和概括，引導(dǎo)學(xué)生理解研究對(duì)象的共同屬性，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解概念的“內(nèi)涵”與“外延”。概念課的教學(xué)模式，是通過(guò)“問(wèn)題情境，引入概念——激學(xué)導(dǎo)思，形成概念——引議釋疑，理解概念——點(diǎn)撥提高，深化概念——精講訓(xùn)練，應(yīng)用概念——?dú)w納自結(jié)，升華概念”六個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)實(shí)現(xiàn)。如圖1所示。

概念課最關(guān)鍵之處是概念的導(dǎo)人，教師根據(jù)概念本身設(shè)計(jì)問(wèn)題或具體事例，通過(guò)對(duì)情境呈現(xiàn)的感性材料的觀察、分析，發(fā)現(xiàn)并凝結(jié)出其本質(zhì)屬性，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，直觀體驗(yàn)中感知概念。學(xué)生通過(guò)概念學(xué)習(xí)將深刻理解所學(xué)概念、方法和新知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，不斷地內(nèi)化新知識(shí)、搭建知識(shí)結(jié)構(gòu)、知識(shí)再建構(gòu)，不僅全面完成教學(xué)目標(biāo)，并且?guī)椭鷮W(xué)生逐步形成概念的深度理解的能力。

（二）定理（公式）課教學(xué)模式

定理（公式）課旨在理解公式、定理的形成過(guò)程，揭示數(shù)學(xué)思想、思維方法和典型的數(shù)學(xué)技能技巧在其推導(dǎo)、論證中的應(yīng)用;理解公式、定理適應(yīng)的范圍及成立的條件和得出的結(jié)論。定理（公式）課教學(xué)模式的操作程序?yàn)椋骸皢?wèn)題情境，引入定理——激學(xué)導(dǎo)思，探究猜想——引議釋疑，驗(yàn)證論證——點(diǎn)撥提高，獲得定理——精講訓(xùn)練，應(yīng)用定理——?dú)w納自結(jié)，升華定理”。如圖2所示。

學(xué)生對(duì)所學(xué)定理、公式、方法的學(xué)習(xí)和探索，知識(shí)不斷地內(nèi)化再建構(gòu)，形成自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而全面完成教學(xué)目標(biāo)，逐步形成大膽假設(shè)，演繹推理以及創(chuàng)新能力。

（三）例題（習(xí)題）課教學(xué)模式

習(xí)題課是新知課之后，教師有計(jì)劃地對(duì)學(xué)生進(jìn)行一系列基本知識(shí)訓(xùn)練，就是為了鞏固學(xué)生學(xué)過(guò)的知識(shí)。例題（習(xí)題）課的教學(xué)程序?yàn)椋骸笆崂碇R(shí)，精選范例——激學(xué)導(dǎo)思，探究方法——引議釋疑，應(yīng)用方法——點(diǎn)撥提高，深化理解——精講訓(xùn)練，拓展提升——?dú)w納自結(jié)，診斷矯正”。如圖3所示。

通過(guò)例題（習(xí)題）課對(duì)知識(shí)體系、解題方法、規(guī)律的認(rèn)識(shí)和提煉，學(xué)生將課堂上所用知識(shí)、方法加以梳理、概括，納入知識(shí)方法體系，學(xué)生對(duì)基本概念的理解加深，對(duì)概念的理解進(jìn)一步完整化、具體化，牢固掌握所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)，學(xué)生對(duì)研究問(wèn)題的方法加以總結(jié)，能夠掌握探究學(xué)習(xí)的方式方法，并逐步使之成為學(xué)生的自覺(jué)行為，培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣。

（四）復(fù)習(xí)（專題）課教學(xué)模式

學(xué)生復(fù)習(xí)的過(guò)程就是對(duì)已學(xué)知識(shí)進(jìn)行整理、鞏固、提高的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中應(yīng)以學(xué)生的活動(dòng)，即主動(dòng)整理知識(shí)為主，讓學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)全過(guò)程，充分發(fā)揮每位學(xué)生的主體動(dòng)能，激活學(xué)生的思維。復(fù)習(xí)（專題）課的教學(xué)程序是：“知識(shí)歸析，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)——精選范例，激學(xué)導(dǎo)思——引議釋疑，探究方法——點(diǎn)撥提高，深化理解——精講訓(xùn)練，拓展提升——?dú)w納自結(jié)，反饋矯正”。如圖4所示。

復(fù)習(xí)（專題）課上，教師引導(dǎo)學(xué)生按一定的標(biāo)準(zhǔn)把有關(guān)知識(shí)進(jìn)行整理、分類、綜合，學(xué)生通過(guò)整理知識(shí)，通過(guò)回憶、思考、查閱課本等方式，以表格、樹狀圖或綱要的形式，把本單元的知識(shí)體系，梳理知識(shí)與方法的相互聯(lián)系，構(gòu)建學(xué)生自己的知識(shí)體系。

（五）講評(píng)課教學(xué)模式

講評(píng)課是學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)必不可少的環(huán)節(jié)。講評(píng)課的教學(xué)目的和特點(diǎn)就是“及時(shí)矯正錯(cuò)漏…‘增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信心”。數(shù)學(xué)講評(píng)課的教學(xué)程序是：“發(fā)放試卷，總體評(píng)價(jià)——激學(xué)導(dǎo)思，引出錯(cuò)因——引議釋疑，講析研討——點(diǎn)撥提高，深化理解——精講精練，拓展提升——?dú)w納自結(jié)，反饋矯正”。如圖5所示。

值得強(qiáng)調(diào)的是，講評(píng)課常采用激勵(lì)小結(jié)法。即在講評(píng)課中，教師以激勵(lì)性語(yǔ)言，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)形成“勝不驕敗不餒”的學(xué)習(xí)心態(tài)。學(xué)生感受到來(lái)自教師的期待，更加充滿信心，以較高的學(xué)習(xí)積極性、飽滿的學(xué)習(xí)熱情迎接新的挑戰(zhàn)和知識(shí)的學(xué)習(xí)。

（六）課題研究課的教學(xué)模式

課題研究課主要以學(xué)生探究為主，小組合作完成，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力，選好研究課題——定好研究計(jì)劃——搜集信息、整理資料，展開研究——撰寫研究報(bào)告，交流研究成果。如圖6所示。

數(shù)學(xué)課題的選擇應(yīng)具有一定的可行性、科學(xué)性、操作性、實(shí)用性、趣味性和參與性，讓學(xué)生都能參與與開展。研究課題的選擇自由化，學(xué)生可以根據(jù)自身興趣選擇課題，然而由于絕大多數(shù)學(xué)生缺少課題研究學(xué)習(xí)的經(jīng)歷，缺乏研究課題的基礎(chǔ)，鑒于此，教師有針對(duì)性地給學(xué)生提供多個(gè)研究方向，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自身的學(xué)習(xí)、生活經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)社會(huì)和大自然的觀察自主提出問(wèn)題、確定研究方向，供學(xué)生合理地自主選擇，以此培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和研究意識(shí)，初步掌握研究方法。

二、“思意數(shù)學(xué)”課堂教學(xué)的探索

下面以“圓的一般方程”的教學(xué)為例探索概念課課堂教學(xué)程序。

本節(jié)課主要內(nèi)容是圓的一般方程，在教學(xué)過(guò)程中要讓學(xué)生通過(guò)探究，分析并掌握?qǐng)A的一般方程，并能加以運(yùn)用，同時(shí)本節(jié)課還要求學(xué)生理解學(xué)習(xí)待定系數(shù)法、軌跡法等數(shù)學(xué)方法，在教學(xué)過(guò)程中數(shù)學(xué)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想、用代數(shù)法解決幾何問(wèn)題的思想都要貫穿始終。

（一）問(wèn)題情境，引入概念，開啟思維

為什么要學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容（學(xué)習(xí)本節(jié)的必要性）？

（1）在初中階段，我們初步接觸圓的概念，研究了圓的幾何性質(zhì)。在前面一節(jié)課中，我們又在平面直角坐標(biāo)系中對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行了定義和學(xué)習(xí)，我們利用點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)出了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，用代定系數(shù)法求解了過(guò)平面內(nèi)不在同一直線上三個(gè)點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（即三角形的外接圓方程），以及圓心在某條直線上，且過(guò)直線外兩點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，但有的同學(xué)可能覺(jué)得計(jì)算量比較大，花費(fèi)時(shí)間較多，怎么辦？

（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，有它的優(yōu)點(diǎn)，可以直接求出（或者說(shuō)是看出）圓心和半徑。但是，我們有時(shí)候遇到的圓的方程不一定是標(biāo)準(zhǔn)形式的方程，那么具有更一般形式的圓的方程是什么樣的？哪些類型的方程才能表示圓？這樣的方程都可以表示圓嗎？要滿足什么條件才能表示圓？能夠求出圓心和半徑嗎？這些問(wèn)題都需要我們進(jìn)一步解決。

前面我們學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，來(lái)看下面的思考題。

思考1：圓心在C（一3，4），半徑為7的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

思考2：圓心在原點(diǎn)，半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

思考3：下列方程分別表示什么圖形？

（1） x²+y²—2x +4y+1 =0;

（2） x²+y²—2x - 4y+6=0。

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，以思考題、問(wèn)

題串的形式引入新課，使學(xué)生處于一種積極發(fā)動(dòng)思維解決問(wèn)題的狀態(tài)中，將內(nèi)容放在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，思考2則為圓的一般方程的引入做了很好的鋪墊。

（二）激學(xué)導(dǎo)思，形成概念，交流思維

師生活動(dòng)：學(xué)生思考回答。

【設(shè)計(jì)意圖】將學(xué)生的思維一步步引向深入，通過(guò)層層引導(dǎo)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)圓的一般方程，讓學(xué)生充分參與到課堂中，將課堂還給學(xué)生。通過(guò)對(duì)D²+ E²—4F符號(hào)的分類討論，使問(wèn)題化難為易，突破難點(diǎn)，讓學(xué)生充分了解分類討論思想在數(shù)學(xué)中的重要地位，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)研究問(wèn)題中由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊到一般的化歸思想，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

思考6：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程各有什么特點(diǎn)？

【設(shè)計(jì)意圖】得出概念后，馬上讓學(xué)生觀察方程的形式，并與前面學(xué)習(xí)的一般方程作比較，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。從問(wèn)題的探究和概念的抽象過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問(wèn)題的實(shí)際能力。在探究問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的好奇心，此時(shí)將前面的討論結(jié)果進(jìn)行適時(shí)歸納形成知識(shí)概念，有利于學(xué)生思維過(guò)程深化，通過(guò)讓學(xué)生比較，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的能力，強(qiáng)化學(xué)生的觀察、思考能力。

（三）引議釋疑，理解概念，提升思維

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生歸納比較。

生1：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中有三個(gè)特定的參數(shù)a，b，r，而圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D、E、F，所以只要求出對(duì)應(yīng)的三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了。

師：非常好，這位同學(xué)從方程的參數(shù)或系數(shù)方面指出了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的相同點(diǎn)，再觀察一下，還有嗎？

生2：與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，圓的一般方程是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。

師：這位同學(xué)從代數(shù)特征方面和幾何特征方面指出了圓的兩種方程的區(qū)別。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)解析幾何的過(guò)程中，特別要注意代數(shù)與圖形的聯(lián)系，也就是數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想。

（四）點(diǎn)撥提高，深化概念

思考7：（口答）請(qǐng)將下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程。

（1） （x- 8）²+（y+3）²= 13;

【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步深化概念，將圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程緊密結(jié)合在一起，有助于學(xué)生在頭腦中形成知識(shí)框架。將概念與實(shí)例結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生試著用剛剛掌握的概念去解決這些問(wèn)題，達(dá)到學(xué)以致用的目的。 通過(guò)一些基礎(chǔ)知識(shí)類的例題鞏固學(xué)生的概念，理解圓的一般方程的代數(shù)特征與幾何特征，及與標(biāo)準(zhǔn)方程的相互轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)、分析問(wèn)題的能力。

（五）精講精練，應(yīng)用概念，拓展思維

例1.求過(guò)三點(diǎn)0（0，0），A（1，1），B（4，2）的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo)。

【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)調(diào)解題思路并與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程相聯(lián)系，緊緊抓住圓心、半徑這兩個(gè)確定圓的要素，這樣學(xué)生容易接受本節(jié)課內(nèi)容。

讓學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)行思考，設(shè)疑激趣導(dǎo)入課題，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問(wèn)題顯然有麻煩，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)同一個(gè)問(wèn)題的兩種解法的比較，一方面加深對(duì)解題方法的理解;另一方面促使學(xué)生養(yǎng)成解題后反思的良好習(xí)慣。問(wèn)題解決方法不唯一，為學(xué)生的發(fā)散思維創(chuàng)設(shè)了空間。

師生活動(dòng)：師生共同分析，由于0（0，0），A（1，1），B（4，2）不在同一條直線上，因此經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)有唯一的圓。思路一：可以設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)三點(diǎn)都在圓上，它們的坐標(biāo)都是萬(wàn)程的解，列方程組解出a、b、r即可。思路二：可以設(shè)圓的一般方程，根據(jù)三點(diǎn)都在圓上，它們的坐標(biāo)都是方程的解，列方程組解出D、E、F即可。三個(gè)點(diǎn)在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解，把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于D、E、F的三元一次方程組。

生：求過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)的圓的方程的話，如果用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到的是三元二次方程組，解方程過(guò)程較為煩瑣，而用圓的一般方程，得到的則是三元一次方程組，解方程組的過(guò)程會(huì)簡(jiǎn)單很多。

師：棒極了，這也就提示我們，如果求一個(gè)三角形的外接圓的方程，用哪種形式設(shè)圓的方程解答過(guò)程會(huì)簡(jiǎn)單些呢？

生（齊）：圓的一般方程。

（具體的解題過(guò)程由大家完成。）

師：不管是思路一，還是思路二，我們都是利用方程組解出與圓的方程有關(guān)的三個(gè)參數(shù)的值，這種方法叫做？

生：待定系數(shù)法。

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)本題的解題過(guò)程，歸納使用待定系數(shù)法求解圓的方程問(wèn)題的一般步驟。 學(xué)生討論交流，歸納得出使用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟。

（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程;

（2）根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組;

（3）解出a、b、r或D、E、F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程。

師：通過(guò)比較這兩種方法解決本題，你有何體會(huì)？

師生共同總結(jié)，待定系數(shù)法是求圓的方程最常見(jiàn)的方法，但是在求圓的方程時(shí)是設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程還是設(shè)一般方程，要由已知條件確定。一般地，如果由已知條件易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需要利用圓心坐標(biāo)或半徑列方程，常選用標(biāo)準(zhǔn)方程;如果已知條件與圓心坐標(biāo)、半徑無(wú)直接關(guān)系，常選用一般方程。

例2.已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)A在圓（x+1）²+r²=4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的解決，讓學(xué)生理解用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的思想方法，從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，主動(dòng)探究，討論交流，在積極的學(xué)習(xí)中解決問(wèn)題，進(jìn)一步強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，培養(yǎng)其核心素養(yǎng)。例題牽涉的內(nèi)容較難理解，借助于多媒體輔助，學(xué)生可以非常直觀地看到在點(diǎn)』4的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，也為后面的解答做了鋪墊，確立了方向。

師生活動(dòng)：教師用幾何畫板演示點(diǎn)M的軌跡，給學(xué)生以直觀的印象，然后師生一起分析解決。

師：從圖形上看，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M也在運(yùn)動(dòng)，它運(yùn)動(dòng)的軌跡是個(gè)什么圖形？

生：圓。

_.

師：點(diǎn)A在已知的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足什么條件？

生：滿足圓的方程（x+1）²+y²=4。

師：我們?nèi)绾谓Ⅻc(diǎn)M與點(diǎn)A的關(guān)系？

生：點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，可以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系。

師：好，只要我們建立起點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可利用點(diǎn)A坐標(biāo)滿足的條件，從而建立點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的條件，進(jìn)而求出點(diǎn)M的軌跡方程。下面請(qǐng)大家試著解決一下這道題目。

師：我們?cè)賮?lái)回顧一下，本題中求動(dòng)點(diǎn)M軌跡的方法叫做轉(zhuǎn)移法。通常，我們?cè)谟棉D(zhuǎn)移法探求點(diǎn)的軌跡問(wèn)題時(shí)，可以先用信息技術(shù)工具探究軌跡的形狀，對(duì)問(wèn)題有一個(gè)直觀的了解，然后從本質(zhì)上分析軌跡形成的原因，找出解決問(wèn)題的方法，制訂合理的解題策略。

需要注意的是“軌跡”與“軌跡方程”是不同的兩個(gè)概念，前者是圖形，要指出形狀、位置、大?。ǚ秶┑忍匦?后者是方程（等式），不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍。

（六）歸納自結(jié)，升華概念，發(fā)展思維

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)學(xué)生的討論交流，把圓的一般方程加以小結(jié)，歸納總結(jié)用待定系數(shù)法及坐標(biāo)法解題的基本步驟，提煉分類討論，化歸轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想。小結(jié)部分留部分空白給學(xué)生思考，使學(xué)生養(yǎng)成提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的好習(xí)慣。

師生活動(dòng)：師生共同總結(jié)、歸納，把知識(shí)方法系統(tǒng)化，形成能力。

師：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程分別應(yīng)用于哪種條件下會(huì)簡(jiǎn)單一些？

生：當(dāng)知道圓的圓心和半徑求圓的方程的時(shí)候，使用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較簡(jiǎn)單;當(dāng)知道圓經(jīng)過(guò)的三個(gè)點(diǎn)的時(shí)候，使用圓的一般方程比較簡(jiǎn)單。

師：非常好，同學(xué)們要注意求圓的方程過(guò)程中方程形式的選擇。

師：用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是？

生：（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程;

（2）根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組：

（3）解出a、b、r或D、E、F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程。

師：同學(xué)們還要注意轉(zhuǎn)移法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法步驟。另外要區(qū)分“曲線”和“方程”兩個(gè)概念，“曲線”和“方程”是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律在“形”和“數(shù)”方面的反映。在解析幾何的問(wèn)題中，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是一種常見(jiàn)題型，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法有直接法、轉(zhuǎn)移法。

【目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)】

1.課堂檢測(cè)

（1）填表

（2）若方程x²+ y²+ 2kx+ 4y+ 3k+8=0的圖形表示一個(gè)圓，則k的值是

。

（3）已知點(diǎn)M與兩定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離比為1/2，求點(diǎn)M的軌跡。

【設(shè)計(jì)意圖】課堂目標(biāo)檢測(cè)部分緊貼本節(jié)課的例題，主要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、得出結(jié)論，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)升華的過(guò)程，體驗(yàn)成功的喜悅，激活潛在的學(xué)習(xí)熱情。

在這一環(huán)節(jié)中，教師設(shè)計(jì)不同難度的題目作為鞏固性訓(xùn)練，給不同層次的學(xué)生一塊“用武”之地，讓每一位學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。除了讓學(xué)生熟悉鞏固知識(shí)運(yùn)用方法外，教師還可以讓學(xué)生板演或采用實(shí)物投影學(xué)生解題過(guò)程的方式，這樣既可及時(shí)反饋學(xué)生知識(shí)的掌握情況，又可以糾正學(xué)生在解題過(guò)程中出現(xiàn)的各種問(wèn)題。

2.課后檢測(cè)

（1）已知圓M過(guò)點(diǎn)A（一1，5）、B（-2，-2）、C（5，5），求圓M的方程。

（2）過(guò)圓外一點(diǎn)Q（a，b）向圓O：x²+ y²=r²（r>0）作割線，交圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB中點(diǎn)M的軌跡。

（3）課外探究：在初中時(shí)我們學(xué)習(xí)過(guò)直線與圓的位置關(guān)系，請(qǐng)同學(xué)們課下回憶整理一下有關(guān)內(nèi)容，思考一下直線與圓的位置關(guān)系能否用代數(shù)方法，即用直線方程和圓的方程的知識(shí)來(lái)解決。

【設(shè)計(jì)意圖】作業(yè)布置突出本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，適量且給出必做題和探究題，以適應(yīng)分層教學(xué)、分層達(dá)標(biāo)的要求。通過(guò)設(shè)置分層作業(yè)，讓所有的學(xué)生既能“吃得飽”，又能“吃得好”，即讓每一位學(xué)生都能體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愿望與信心。

（七）教學(xué)反思

1.教學(xué)中結(jié)合本節(jié)課的特點(diǎn)，向?qū)W生滲透多種數(shù)學(xué)思想方法：配方法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化的思想、分類討論的思想、方程的思想，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，同時(shí)對(duì)學(xué)生的觀察、類比、歸納、總結(jié)、創(chuàng)新、應(yīng)用等多種能力的培養(yǎng)有利，通過(guò)求圓的一般方程使學(xué)生進(jìn)一步熟悉待定系數(shù)法的應(yīng)用。我們的教學(xué)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中體會(huì)思想，體會(huì)知識(shí)的辯證的統(tǒng)一，體會(huì)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由特殊到一般的研究問(wèn)題的方法，更能夠?qū)⑤^復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，回歸到知識(shí)產(chǎn)生的根源，真正意義上的把握知識(shí)的本質(zhì)，回歸知識(shí)的本源。教會(huì)學(xué)生如何分析，讓他們擁有解決問(wèn)題的能力，才是我們教育的真正任務(wù)。

2.為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，本節(jié)課采用“小組合作、探究、啟發(fā)式教學(xué)法”，用環(huán)環(huán)相扣的思考題、問(wèn)題串將探究活動(dòng)層層深入，教學(xué)過(guò)程中以學(xué)生為本，以問(wèn)題解決為手段發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維，教師作為課堂的組織者，組織學(xué)生分析討論、合作探究。

3.本節(jié)課的設(shè)計(jì)思想是：利用多媒體教學(xué)課件進(jìn)行輔助教學(xué)，借助信息技術(shù)手段，利用幾何畫板軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)探究學(xué)習(xí)的環(huán)境，讓他們參與到多媒體教學(xué)中來(lái)，探究新知、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

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