林偉 梁春霞 陳崢嶸

摘要：“思意數(shù)學(xué)”教學(xué)設(shè)計依據(jù)學(xué)習(xí)理論、教學(xué)理論、傳播理論，按照以陳述性知識為主、以程序性知識為主和以策略性知識為主的設(shè)計思路，遵循目標(biāo)性原則、互動性原則、系統(tǒng)性原則，探索公式課教學(xué)設(shè)計，解決教師的“教”與學(xué)生“學(xué)”的關(guān)系，從而落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：思意數(shù)學(xué);教學(xué)設(shè)計;教學(xué)原則;基本不等式

一、“思意數(shù)學(xué)”教學(xué)設(shè)計理論基礎(chǔ)

（一）“思意數(shù)學(xué)”教學(xué)設(shè)計依據(jù)學(xué)習(xí)理論當(dāng)代學(xué)習(xí)理論主要有行為主義學(xué)派和認知學(xué)派這兩大學(xué)派。行為主義學(xué)習(xí)理論重視控制學(xué)習(xí)環(huán)境，尊重學(xué)生自定步調(diào)的個別化學(xué)習(xí)的策略，重視客觀行為與強化的思想，特別是在行為矯正（即態(tài)度的學(xué)習(xí)）方面，強調(diào)外部刺激的設(shè)計，如果學(xué)生出現(xiàn)正確的反應(yīng)，應(yīng)及時予以強化，主張在教學(xué)中采用小步子呈現(xiàn)教學(xué)信息。

（二）“思意數(shù)學(xué)”教學(xué)設(shè)計依據(jù)教學(xué)理論

學(xué)習(xí)理論雖然本身并不研究教學(xué)，但教與學(xué)聯(lián)系非常緊密，為教學(xué)設(shè)計提供了許多有益的啟示。揭示教學(xué)的本質(zhì)和規(guī)律是教學(xué)理論的任務(wù)。進行教學(xué)設(shè)計要重視教學(xué)系統(tǒng)的實效研究，不僅要有正確的學(xué)習(xí)觀，還要對教學(xué)規(guī)律有清楚的認識。

（三）“思意數(shù)學(xué)”教學(xué)設(shè)計依據(jù)傳播理論

傳播理論探討的是人的認知共同規(guī)律。傳播理論不僅僅研究教學(xué)現(xiàn)象，師生之間、生生之間的交流就是一種雙向信息傳播的過程，借助傳播理論解決教與學(xué)現(xiàn)象，從中可以尋找一些教與學(xué)的規(guī)律。

基于依據(jù)上述理論，“思意數(shù)學(xué)”教學(xué)設(shè)計思路主要有以下三方面。

1.以陳述性知識為主的教學(xué)設(shè)計。該設(shè)計思路主要是讓學(xué)生提取與回憶重點知識，理解新舊知識之間的聯(lián)系，建立學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)的過程。在設(shè)計中要體現(xiàn)出學(xué)生的活動過程和活動內(nèi)容。注重學(xué)生獲取知識的過程。

2.以程序性知識為主的教學(xué)設(shè)計。該設(shè)計思路主要是按照一定操作規(guī)程而獲得新知識。設(shè)計從中包括設(shè)計思想、教材分析、學(xué)情分析、教學(xué)目標(biāo)、過程設(shè)計、多媒體及教學(xué)實踐活動后的反思等內(nèi)容。

3.以策略性知識為主的教學(xué)設(shè)計。該設(shè)計思路主要是根據(jù)學(xué)生自身的認知水平，自我調(diào)節(jié)認知活動的策略，所設(shè)計的教學(xué)過程必須符合所教學(xué)生的實際情況，具有可操作性和實效性。

它們之間關(guān)系如下。

根據(jù)上面的理論和思路，“思意數(shù)學(xué)”教學(xué)設(shè)計主要遵循以下幾方面原則。

二、“思意數(shù)學(xué)”教學(xué)設(shè)計遵循的原則

（一）“思意數(shù)學(xué)”教學(xué)設(shè)計遵循目標(biāo)性原則

現(xiàn)代教學(xué)理論強調(diào)教學(xué)設(shè)計的個性化原則，這一原則注意整體與個體之間的關(guān)系，突出個性化。因此，在設(shè)計課堂教學(xué)目標(biāo)時要處理好班級整體目標(biāo)與個體目標(biāo)之間的關(guān)系，應(yīng)當(dāng)把個體學(xué)習(xí)作為教學(xué)設(shè)計的重要目標(biāo)。

例如，“古典概型質(zhì)”教學(xué)目標(biāo)設(shè)計。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能

（1）理解古典概型的含義、特征及其概率計算公式。

（2）會判斷哪些隨機事件為古典概型，并掌握用列舉法解決概率計算的問題。

2.過程與方法

根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實際水平，通過創(chuàng)設(shè)問題情境讓學(xué)生理解古典概型的概念及其特征。通過實驗探究古典概型特征的過程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、類比、歸納、總結(jié)的能力。

3.情感態(tài)度與價值觀

通過模擬實驗和探究類比，幫助學(xué)生樹立辯證唯物主義觀點——從具體到抽象和從特殊到一般，讓學(xué)生用隨機的觀點來理解世界，增強學(xué)生數(shù)學(xué)思維意識，使學(xué)生維持積極的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度。

（二）“思意數(shù)學(xué)”教學(xué)設(shè)計遵循互動性原則

班級集體授課方式目前主要是師生互動、生生互動或生機互動?；泳褪菫榱俗寣W(xué)生有積極學(xué)習(xí)的良好狀態(tài)，教師對每一個學(xué)生都要作出正確的判斷和及時調(diào)整教學(xué)策略。

例如，“指數(shù)函數(shù)的概念”的兩種教學(xué)設(shè)計比較。

第一種設(shè)計：

（1）教師先讓學(xué)生看書，然后講解指數(shù)函數(shù)的定義。

（2）教師設(shè)計一些例子，讓學(xué)生按照指數(shù)函數(shù)的定義辨別哪些是指數(shù)函數(shù)，哪些不是指數(shù)函數(shù)——教師引導(dǎo)和示范的過程。

（3）教師設(shè)計練習(xí)，讓學(xué)生模仿剛才的方法辨別哪些是指數(shù)函數(shù)——學(xué)生自主學(xué)習(xí)的過程。

第二種設(shè)計：

有人說，給我一張足夠大的紙，我就能登上月球！是真的嗎？

請大家拿出一張紙，設(shè)面積為1的紙對折x次后，問題1：請寫出紙的層次y與次數(shù)x的關(guān)系;問題2：請寫出面積y與次數(shù)x的關(guān)系。

學(xué)生分組討論

請問：這兩個對應(yīng)關(guān)系能否構(gòu)成函數(shù)，為什么？若是，請分析這兩個函數(shù)有什么共同特征？與同伴交流。

對兩種設(shè)計的評價：第二種設(shè)計是利用生活情境的例子讓學(xué)生實驗探索來認識和理解指數(shù)函數(shù)概念。通過問題情境讓學(xué)生從中歸納出其中所蘊含的一般數(shù)學(xué)規(guī)律;同時，通過與同伴探索交流，并用數(shù)學(xué)語言表述自己的發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活，領(lǐng)悟?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)的價值。

（三）“思意數(shù)學(xué)”教學(xué)設(shè)計遵循系統(tǒng)性原則

在教學(xué)過程的系統(tǒng)設(shè)計中，要考慮教學(xué)內(nèi)容的組織與安排、教學(xué)方法和教學(xué)媒體的選用、學(xué)生的已有水平及課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)的安排等，在設(shè)計過程中，必須注意課堂教學(xué)系統(tǒng)各要素以及整個過程中各環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系，從教學(xué)目標(biāo)設(shè)計到教學(xué)過程設(shè)計，再到教學(xué)評價，每個環(huán)節(jié)相互聯(lián)系、相互影響，環(huán)環(huán)相扣，每個環(huán)節(jié)的設(shè)計都要符合教學(xué)要求和學(xué)生實際情況，只有這樣，才能獲得最好的設(shè)計方案。

再以“指數(shù)函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計為例。

2000年10月8日，美國一城市的日報以醒目標(biāo)題刊登了一則新聞：“市政委員會今天發(fā)布本市垃圾的體積達到50000立方體”。副標(biāo)題是：“垃圾的體積每三年增加一倍”。教師在數(shù)學(xué)課上宣讀了這則新聞，并且利用這條新聞引入指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)。

任務(wù)：把三年作為垃圾體積的加倍周期，要求學(xué)生填寫下表：

研究：（1）設(shè)想報紙標(biāo)題所述城市垃圾的體積每三年持續(xù)加倍，24年后本市垃圾的體積是多少？

（2）根據(jù)上面提供的信息，你估計三年前的垃圾的體積是多少？

（3）如果n=一2，這時的n、V表示什么意思？

（4）寫出n與V的函數(shù)關(guān)系，并畫出函數(shù)圖象。

（5）曲線可能會與橫軸相交嗎？為什么？

評析：學(xué)生從具體實際問題人手，背景材料新穎并且來源于生活，容易吸引學(xué)生的注意力，通過這樣的教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生逐步探討指數(shù)函數(shù)的概念、一般形式、圖象及性質(zhì)。一環(huán)扣一環(huán)，形成了一個有機的整體。在這樣的過程中，學(xué)生既掌握了數(shù)學(xué)知識，還能自然而然聯(lián)系到環(huán)境污染、廢物利用、生態(tài)環(huán)境保護等問題一發(fā)展了學(xué)生社會意識。

三、“思意數(shù)學(xué)”課堂教學(xué)實踐

在教學(xué)活動的設(shè)計中，依據(jù)數(shù)學(xué)新課標(biāo)的要求，充分體現(xiàn)新的學(xué)科教學(xué)理念，要充分體現(xiàn)出學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、探究活動、合作交流過程，讓學(xué)生擁有學(xué)習(xí)的主動權(quán)，挖掘開發(fā)出學(xué)生潛在的能力。建立一種平等、和諧、理解、溝通的師生關(guān)系，有利于師生主體的發(fā)展。

下面以“向量加法運算及其幾何意義”的教學(xué)為例進行教學(xué)設(shè)計。

本節(jié)內(nèi)容：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（人教A版）《數(shù)學(xué)必修4》第二章《平面向量》的第二節(jié)“平面向量的線性運算”的第一課時——向量加法運算及其幾何意義。

下面，筆者從內(nèi)容和內(nèi)容解析、目標(biāo)和目標(biāo)解析、教學(xué)問題診斷分析、教學(xué)支持條件分析、教學(xué)過程設(shè)計、目標(biāo)檢測設(shè)計六個方面對本節(jié)課的教案設(shè)計加以說明。

【內(nèi)容和內(nèi)容解析】

向量的加法是學(xué)生在認識向量概念之后首先要掌握的運算，其主要內(nèi)容有向量加法的定義，向量求和的三角形法則和平行四邊形法則，向量加法滿足的運算律及向量加法的實際應(yīng)用。向量的加法讓學(xué)生進一步加強對向量幾何意義的理解，還為接下來學(xué)習(xí)向量的減法奠定基礎(chǔ)，起到承上啟下的重要作用。

數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法。借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，讓學(xué)生順理成章接受向量的加法定義。結(jié)合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。聯(lián)系數(shù)的運算律理解和掌握向量加法運算的交換律和結(jié)合律。

培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育的主題，本節(jié)課的內(nèi)容與實際問題聯(lián)系緊密，應(yīng)強化數(shù)學(xué)來源于實際又應(yīng)用于實際的意識，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，由于涉及兩個向量有共線和不共線這兩種情況，因此有利于滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想?！跋蛄康募臃ā碧N含數(shù)形結(jié)合、類比的數(shù)學(xué)思想，因此在概念的教學(xué)中不但要注重知識的學(xué)習(xí)，而且要把它作為一個載體，通過概念的獲得培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括、數(shù)學(xué)建模等能力，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合、類比等數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)重點：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，作兩個向量的和向量。

【目標(biāo)和目標(biāo)解析】

1.通過對向量加法的探究，使學(xué)生掌握向量加法的概念，結(jié)合物理學(xué)實際理解向量加法的幾何意義。能正確領(lǐng)會向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的幾何意義，并能運用法則作出兩個已知向量的和向量。

2.在應(yīng)用中，理解向量加法滿足交換律和結(jié)合律以及表述兩個運算律的幾何意義。掌握有特殊位置關(guān)系的兩個向量之和，比如共線向量，共起點向量、共終點向量等。

3.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生類比、遷移、分類、歸納等數(shù)學(xué)方面的能力。

【教學(xué)問題診斷】

向量的加法可以通過數(shù)的加法類比而得，但是向量既是代數(shù)的對象，又是幾何的對象，其加法涉及方向，對于方向相反的兩個向量相加，學(xué)生可能對其較為陌生。

向量加法的三角形法則和平行四邊形法則通過物理學(xué)中位移和力的合成推導(dǎo)而出。三角形法則的實質(zhì)是首尾相接連端點。平行四邊形法則的實質(zhì)是起點相同連對角。對不共線向量相加，兩個法則都可以選用。由共線向量的加法總結(jié)出三角形法則適用于任意兩個向量的相加，而平行四邊形法則僅適用于不共線向量相加。

教學(xué)難點：對三角形法則的理解;方向相反的兩個向量的加法。主要是讓學(xué)生認識到三角形法則的實質(zhì)是，將已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向線段之間必須構(gòu)成三角形。

【教學(xué)支持條件分析】

1.多媒體技術(shù)中flash動畫的運用，能直觀地表現(xiàn)向量的平移、相等向量的意義，更能說清兩個法則的幾何意義及運算律。

2.讓學(xué)生利用三角板在黑板上自己畫圖證明向量加法的結(jié)合律，培養(yǎng)他們探索問題、解決問題的能力，感受成功的喜悅。

3.利用實物投影儀投影學(xué)生自己探究的問題，并且給予適當(dāng)?shù)脑u價與鼓勵。

【教學(xué)過程】

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是學(xué)生在原有認知基礎(chǔ)上的主動建構(gòu)，學(xué)生是認知的主體，設(shè)計教學(xué)過程必須遵循學(xué)生的認知規(guī)律，盡可能地讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展過程。為了更好地使不同層次的學(xué)生形成自己對課題知識的理解，結(jié)合本教材的特點，筆者設(shè)計了如下的教學(xué)過程，啟發(fā)學(xué)生逐步認識向量加法的定義及其幾何意義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量，掌握向量加法運算律的交換律和結(jié)合律，初步形成用向量加法運算解決實際問題的能力。

（一）問題情景，引入概念，開啟思維

1.復(fù)習(xí)與回顧：向量的基本定義和其相關(guān)概念內(nèi)涵

強調(diào)：向量是具有大小和方向的量，長度相等且方向相同的向量是相等的。所以，要探討的向量是自由向量，其與起點沒有關(guān)聯(lián)。換句話說，即所有的向量在不更改大小、方向的條件下都可以移動。

2.情景設(shè)置

（1）小華同學(xué)從教室出發(fā)，先去學(xué)校門衛(wèi)室拿快遞，再去圖書館借學(xué)習(xí)資料，他先向東走100米，接著向西走200米，那么他所走的路程是

，位移是____;

（2）由于2020年新冠肺炎疫情形勢比較嚴(yán)重，在春節(jié)期間從廣州出行到臺北沒有直飛航班，如果要搭乘飛機，則要先從廣州飛到香港，然后從香港飛到臺北，那么這兩次位移合成的結(jié)果是什么？

[設(shè)計意圖]作為一名數(shù)學(xué)教師，要學(xué)會從現(xiàn)實生活中的相關(guān)問題作為引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)及研究興趣，讓學(xué)生深入其中去感知向量加法的直觀意義，并初步感知數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

（二）激學(xué)導(dǎo)思，形成概念，交流思維

1.探究活動一（課本P80實驗）

圖a是橡皮條在F1和F2兩個力的作用下，沿著GC的方向伸長了EO，圖b是橡皮條受到力F的影響下沿著相同的方向伸長相同的長度，那么F與F1、F2之間的關(guān)系是怎樣的呢？引導(dǎo)學(xué)生交流討論。

交流結(jié)果：

（1）力F對橡皮條產(chǎn)生的作用，與力F1、F2共同作用產(chǎn)生的結(jié)果一致;

（2）力F于將F1、F2作為鄰邊的平行四邊形的對角線，并且大小是等同于平行四邊形的對角線長;

（3）力F可看作是F1、F2之和，也就是說力的合成也可看作是向量的加法。

師生合作完成探究實驗：（并請學(xué)生上臺一一展示，學(xué)生交流探討，發(fā)現(xiàn)規(guī)律）

[設(shè)計意圖]學(xué)生比較難理解向量的大小和方向相加，借助物理中的位移和力的合成，抽象概括出數(shù)學(xué)中向量的加法意義，使學(xué)生更容易接受向量之間的關(guān)系。

向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。

思考1：怎樣可以求出這兩個向量的和？（引導(dǎo)和提示學(xué)生聯(lián)想力的合成）

2.平行四邊形法則（起點相同）

已知非零向量a、b有相同的起點，且OA =a，OB=b，作AC∥OB，BC∥OA，則向量OC叫做a與b的和，記作a+b，即a+b= OA +AC= OC。

練習(xí)1：求下列向量的和向量，并敘述作法。

作法：已知向量a、b。在平面內(nèi)任取一點O，作OA =a，OB=b，作AC∥OB，BC∥OA，則向量oc叫做a與b的和，記作a+b，即a+b=AB +BC=AC。

3.三角形法則（首尾相接）

問題1：兩個向量的和的表示，除了平行四邊形法則外，是否還有其他方法？（提示：情景設(shè)置中的位移是怎樣合成的？）

位移的合成是兩個向量首尾相接得到的第三個向量，從而得到向量加法的三角形法則：已知向量a=OA，b=AB，則向量OB叫做a與b的和，記作a+b，即a+b：OA +AB：OB。

學(xué)生通過實踐和實驗結(jié)果來考慮向量求和方法。教師演示了向量求和方法，并給出了向量加法的直觀含義和作圖方法。

[設(shè)計意圖]學(xué)生也可以從現(xiàn)實生活中有效地提取數(shù)學(xué)模型并進行推理，這是學(xué)生易接受的。同時，在這個交流和共同學(xué)習(xí)的過程中，刺激學(xué)生獨立探究學(xué)習(xí)平行四邊形法則的規(guī)律性和存在性，提高學(xué)生的獨立操作研究和討論學(xué)習(xí)交流的能力。

練習(xí)2：已知向量a、b，用三角形法則作出a+b。

（學(xué)生自主練習(xí)，教師班上巡查，用實物投影儀把學(xué)生的答案投影出來并點評。）

思考2：怎樣才能求出兩個共線向量的和？

共線向量分為同向向量和反向向量，當(dāng)兩個向量AB、BC，方向相同或相反時，將這兩個向量的首尾相接，得到一個和向量AC =AB+ BC。所以，加法的三角形法則同樣可以用到共線向量上。

[設(shè)計意圖]要求學(xué)生畫一個和向量，并考慮是否還有其他方法可以對兩個向量求和。（引導(dǎo)學(xué)生類比情景設(shè)置中小華同學(xué)的例子，從而得出三角形法則）

思考3：平行四邊形法則和三角形法則有什么相同之處和不同之處？（學(xué)生先思考，教師總結(jié)）

在幾何畫板演示過程中，當(dāng)兩個向量逐漸發(fā)生改變的時候，使用以上兩種法則求出的向量的和是一樣的。即不同法則，效果相同。

[設(shè)計意圖]這兩個法則本質(zhì)是一致的。一方面，學(xué)生通過實踐鞏固了所學(xué)知識;另一方面，通過教師的點撥，得出了三角形法則，并總結(jié)了三角形法則與四邊形法則之間的區(qū)別和聯(lián)系，讓學(xué)生的觀察能力和邏輯思維能力有所提升，也滲透了數(shù)學(xué)建模思想。

（三）引導(dǎo)釋疑，理解概念，提升思維

例1.用兩種不同的方法求向量a、b的和，要求有具體的解題過程。

（教師在黑板上板書，演示正確的畫法，展示給學(xué)生看。）

練習(xí)3：（1）采用不同的兩種方法，勾畫出三個非零向量，要讓這三個非零向量的和為0。

（2）已知a+b+c=0，a⊥b且|a|=3，|b|=4，求|c|。

解：如右圖，∵a+b+c=0，

∴|c|=|a+b|，∵a⊥b， ∴|c|= 5。

探究活動二：我們都知道，數(shù)的加法滿足加法的交換律和結(jié)合律，那么向量的加法是否也滿足呢？

即對任意向量a、b、c，是否有：

（1）交換律：a+b=b+a。

（2）結(jié)合律：a+b+c=a+（b+c）。

通過演示驗證向量加法滿足交換律和結(jié)合律，且規(guī)定a+0=0+a= a。

（四）點撥提高，深化概念，拓展思維

例2.一船從A點出發(fā)以2 √3km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為2km/h，求船實際航行的速度的大小和方向。（用與流速間的夾角表示）

（用flash動畫演示，引導(dǎo)學(xué)生分析這一物理過程中的向量以及求向量和的過程，把實際問題轉(zhuǎn)化成向量問題）

解：設(shè)AD表示船向垂直對岸方向行駛的速度，AB表示水流的速度，則平行四邊形的對角線AC就表示船實際航行的速度，在Rt△ABC中IABl=2，IBCI=2√3，∴IACl=√|AB|2+|BC|2 =4。