楊慧瑩，伍川輝，李艷萍，龍 瑩

（西南交通大學(xué)機械工程學(xué)院，四川 成都 610031）

1 引言

隨著中國高速列車的快速發(fā)展，其安全性能受到了極大的重視。而齒輪箱軸承作為高速列車走行部中的關(guān)鍵部件，其狀態(tài)與列車運行安全有著緊密的聯(lián)系。列車實際運行中，軸承通常會承擔(dān)著較大的運載負荷，加上制造、安裝以及環(huán)境多方面的影響，其受到的各種機械應(yīng)力，使得其狀態(tài)發(fā)生改變，從而產(chǎn)生各種各樣的缺陷[1]。一旦高速列車的齒輪箱軸承出現(xiàn)磨損、變形、膠合或者保持架損壞等現(xiàn)象，有可能對行車安全造成極大影響，產(chǎn)生嚴重的后果。因此，對高速列車齒輪箱軸承的故障診斷是非常必要且有意義的。

對于齒輪箱軸承振動信號這樣的非平穩(wěn)信號，傳統(tǒng)的振動信號處理方法—傅里葉變換以及相關(guān)分析等都難以取得較好的效果。而小波變換作為現(xiàn)代振動信號處理方法中的一種，對非平穩(wěn)信號具有很好的分析效果[2]。小波變換有很多優(yōu)勢，比如能夠提取不同尺度的信號特征，具有多分辨率的時頻特性。但是傳統(tǒng)的小波分析由于隔點抽樣會導(dǎo)致信息的丟失，并且存在平移敏感性、方向選擇性差、混疊效應(yīng)明顯等問題，這使得其在微弱故障診斷和強噪聲背景下的復(fù)合故障診斷中無法發(fā)揮作用[3-4]。針對這些不足，文獻[5]提出了雙樹復(fù)小波變換（Dual Tree Complex Wavelet Transform，DTCWT），文獻[6]又在此基礎(chǔ)上進一步發(fā)展。DTCWT克服了傳統(tǒng)小波變換的不足，具有良好的平移不變性、方向選擇性和較小的頻率混疊。為進一步提高信號高頻部分的分辨率，雙樹復(fù)小波包變換（Dual Tree Complex Wavelet Package Transform，DTCWPT）被提出，從而減少信息的丟失。這使得DTCWPT 被廣泛應(yīng)用于滾動軸承、發(fā)動機、齒輪等的振動信號分析與故障診斷領(lǐng)域[4、7-8]。

由于高速列車運行中背景噪聲較強，振動信號通過小波變換進行分解之后仍需要進行降噪處理。常用的小波閾值降噪會在信號的不連續(xù)處產(chǎn)生虛假的波峰和偽吉布森震蕩，而奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）去噪容易產(chǎn)生虛假分量，全變差去噪則不會出現(xiàn)這樣的情況，因此采用全變差降噪以達到更好的效果[9]。全變差降噪的問題作為一個L1 正則化問題，可以通過優(yōu)化極小化（Majorization-Minimization，MM）方法進行求解。經(jīng)過驗證，通過上述方法，可以有效地去除振動信號中的強背景噪聲，較好地體現(xiàn)出沖擊的故障特征。

2 雙樹復(fù)小波包變換

DTCWPT 由兩個并行的離散小波包變換組成，其中，一個離散小波包變換被視為實部樹，另一個被視為虛部樹。在信號的分解和重構(gòu)的過程中，保持虛部樹的采樣位置始終位于實部樹的中間，這樣在采樣過程中就避免了信息的丟失，最后的結(jié)果就能夠綜合利用實部樹和虛部樹的信息[10]。因此，DTCWPT 具有近似平移不變性并且能夠有效抑制頻率混疊。

復(fù)小波基函數(shù)根據(jù)下式進行構(gòu)造：

式中：ψr（t）—實部；ψi（t）—虛部。如果ψr（t）和ψi（t）構(gòu)成一對希爾伯特變換對，則ψc（t）為解析信號。復(fù)尺度函數(shù)與復(fù)小波函數(shù)的構(gòu)造方法相似。

DTCWPT 實部變換的小波系數(shù)dl（k）和尺度系數(shù)cJ（k）可以通過以下內(nèi)積運算得到：

式中：l—尺度因子；J—分解層數(shù)；Ψh（t）—實部樹的小波函數(shù)；Φh（t）—實部樹的尺度函數(shù)。

同樣，對于虛部樹的小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)可以通過將式（2）、式（3）中的小波函數(shù)和尺度函數(shù)換成相應(yīng)的虛部變換的小波函數(shù)和尺度函數(shù)。這樣，通過兩個實小波變換就可以實現(xiàn)DTCWPT 的分解。

3 稀疏追蹤去噪

3.1 稀疏追蹤去噪理論

一組沖擊信號是具有稀疏特性的，其全變差很??；而如果這組沖擊信號中混入噪聲，信號相鄰點間不平滑，隨機變化較大，則其全變差就比較大?？紤]到這一特點，通過將一組含噪聲的沖擊信號的全變差最小化進行稀疏追蹤，則可以得到信號的稀疏表示。這樣做的意義在于能夠獲得信號更為簡潔的表達方式，也就是稀疏表示，實現(xiàn)消除噪聲的目的，以便獲取隱藏在信號中的有用信息[11]。

3.2 稀疏追蹤去噪模型

通常，我們觀測到含故障特征的信號可以用下式進行表示：

式中：y—觀測到的含噪聲的信號；x—被噪聲淹沒的故障特征；q—隨機噪聲。

要通過y 找到一個接近y 但全變差更小的x，求解的目標(biāo)是全變差V（x）最小，但同時還要滿足其誤差E（x，y）在一定范圍內(nèi)。

n 階全變差的定義以此類推。最小化一階全變差時可能會產(chǎn)生階梯鋸齒，所以進行全變差優(yōu)化時通常使用高階全變差，這樣可以使得優(yōu)化后得到信號相對比較平滑。

但是，由于有約束的優(yōu)化問題難以求解，因此可以將上述優(yōu)化問題升維轉(zhuǎn)化為無約束極值問題進行求解。引入一個拉格朗日乘子λ，將約束條件與原函數(shù)聯(lián)系到一起，問題轉(zhuǎn)化為求解下述方程[12]：

3.3 稀疏追蹤算法

對于式（8），可以通過優(yōu)化極小化方法進行快速求解[13]。對于函數(shù)h，可通過下述方程進行優(yōu)化[14]：

4 稀疏追蹤與SVD 去噪對比

為了對全變差稀疏追蹤方法在沖擊特征提取上的有效性進行驗證，現(xiàn)構(gòu)造一組沖擊仿真信號，其中，沖擊單元為：

設(shè)定采樣時間T=2s，采樣頻率f=1000Hz，采樣點數(shù)N=2000。為了模擬強噪聲環(huán)境，在沖擊信號上加上方差為0.1 的隨機噪聲。信號添加噪聲前后的的時域波形，如圖1 所示。其對應(yīng)的頻譜，如圖2 所示。采用全變差稀疏追蹤的方法對含噪聲信號進行處理，如圖1（b）所示。設(shè)置參數(shù)λ=0.6，可以得到消除噪聲后的信號，其時域波形與頻譜，如圖3 所示。

圖2 仿真信號頻譜Fig.2 Spectrum of Simulation Signal

圖3 全變差稀疏追蹤方法消噪結(jié)果Fig.3 Noise Elimination Result by TV Sparse Tracking Method

對信號進行消噪的方法很多，其中SVD 使用得較為普遍[3、15]。但是SVD 方法存在很多問題，比如易產(chǎn)生虛假分量等。為了展現(xiàn)所用方法的優(yōu)越性，對含噪聲信號進行SVD 消噪處理，得到消除噪聲后的信號，其時域波形與頻譜，如圖4 所示。

圖4 SVD 消噪結(jié)果Fig.4 Noise Elimination Result by SVD

另外，將用兩種方法消除噪聲后的時域信號中的沖擊截取出來，分別計算其峭度值結(jié)果，如圖5 所示。對比上述兩種方法，從以下幾點可以看出全變差稀疏追蹤方法比SVD 的消噪效果更好：從時域波形上來看，前者得到的結(jié)果沖擊明顯，且幅值與仿真的周期性沖擊信號相差不大，而后者的沖擊不太明顯，且在消除噪聲的同時，沖擊的幅值也大幅減??；從頻域上看，前者的頻譜在去掉噪聲的同時與仿真信號的頻譜比較接近，且不存在干擾的譜線，而后者則出現(xiàn)了大量的偽頻譜成分，這樣非常容易造成對故障信息的誤判；從沖擊的峭度信息上來看，前者的峭度比后者的峭度大，這也說明前者提取出來的沖擊特征顯著，有利于進行故障診斷。

圖5 單個沖擊的峭度值對比Fig.5 Comparison of Kurtosis of Each Impact

5 軸承故障分析

為了驗證全變差稀疏追蹤算法對消除噪聲、提取沖擊特征、進行高速列車齒輪箱軸承故障診斷的有效性，搭建了齒輪箱軸承故障試驗臺，如圖6 所示。

圖6 齒輪箱軸承故障試驗臺Fig.6 Gear Box Bearing Failure Test Bed

由于實測信號中包含了不同頻率的信號成分，直接對頻率成分復(fù)雜的信號進行稀疏追蹤無法對沖擊特征進行有效地提取。為了避免其他頻段的信號對沖擊特征提取的干擾，引入具有抗頻率混疊、平移不變等特點的DTCWPT 對振動信號進行分解。信號通過DTCWPT 分解得到一系列不同尺度的信號分量。為了選擇其中沖擊最為明顯的信號分量，引入峭度指標(biāo)，對重構(gòu)回時域后的每一層信號計算峭度，選取其中峭度最大的一層作為待提取沖擊特征的目標(biāo)層。對該層信號分量進行全變差稀疏追蹤提取信號中的沖擊特征，并進行包絡(luò)分析來檢測故障。信號處理的具體流程，如圖7 所示。

進行試驗的齒輪箱軸承的具體參數(shù)，如表1 所示。該試驗中，齒輪箱軸承的轉(zhuǎn)速n=1597r/min，采樣頻率為100kHz。對存在外環(huán)故障的齒輪箱軸承做故障試驗，采集的振動信號的時域波形，如圖8 所示。

表1 軸承參數(shù)Tab.1 Bearing Parameters

圖7 信號處理流程Fig.7 Flow Diagram of Signal Processing

圖8 外環(huán)故障軸承振動信號時域波形Fig.8 Time Domain Waveform of External Ring Fault Bearing Vibration Signal

根據(jù)式（15）可以計算得到軸承外環(huán)故障頻率為144.6Hz。

選取原始數(shù)據(jù)進行DTCWPT 分解并重構(gòu)回時域后的峭度最大的目標(biāo)層數(shù)據(jù)作為示例。目標(biāo)層的重構(gòu)時域波形圖，如圖9所示。采用全變差稀疏追蹤方法對該層數(shù)據(jù)消除噪聲提取沖擊，設(shè)置參數(shù)λ=2，得到優(yōu)化后的時域波形及其包絡(luò)功率譜，如圖10所示。在圖10（a）中可以看到，含沖擊特征層的數(shù)據(jù)消噪后提取出的沖擊特征明顯，可以很清晰地發(fā)現(xiàn)周期性沖擊單元，與軸承外環(huán)故障特征頻率一致。在圖10（b）中則可以清晰地看到外圈故障特征頻率及其倍頻。同樣對圖9 中的目標(biāo)層信號進行SVD 去噪，得到消除噪聲后的時域波形和包絡(luò)功率譜，如圖11 所示。

圖9 目標(biāo)層的時域波形圖Fig.9 Time Domain Waveform of the Target Signal Component

圖10 稀疏追蹤法消噪后時域波形及包絡(luò)功率譜Fig.10 Time Domain Waveform and Spectrum of Noise Elimination Result by TV Sparse Tracking Method

圖11 SVD 法消噪后時域波形及包絡(luò)功率譜Fig.11 Time Domain Waveform and Spectrum of Noise Elimination Result by SVD

對比圖11 和圖10，可以很明顯地看出，提出的方法在消噪后沖擊更加明顯，并且故障表現(xiàn)形式更加豐富，效果更好。

介紹的方法通過使用DTCWPT 可以將信號劃分成不同頻段的信號，通過全變差稀疏追蹤方法則能夠?qū)⒛繕?biāo)層中與沖擊成分在同一頻段的噪聲去除。從處理的結(jié)果可以看出，信號時域中的周期沖擊特征更加明顯，并且譜線清晰，便于故障診斷。

6 結(jié)語

通過DTCWPT、全變差稀疏追蹤方法的有機結(jié)合，提出的方法概括起來有以下特點：

（1）充分利用了DTCWPT 劃分頻帶的平移不變形、抗頻率混疊性，充分利用了全變差稀疏追蹤方法對提取沖擊特征以及去除噪聲的獨特優(yōu)勢。

（2）兩種方法的結(jié)合提高了各個尺度信號的清晰度，有力地凸顯了故障特征。

（3）該方法能夠捕捉到故障的基頻、倍頻等特征，具有一定的工程應(yīng)用前景。