王淳 郝俊奎

一、問題背景

在北京市海淀區(qū)2017-2018學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題中有這樣一道題：如圖，棱長為的正方體ABCD-A1B1C1D1繞其體對角線BD1逆時針旋轉(zhuǎn)θ（θ>0），若旋轉(zhuǎn)后三棱錐D1-DC1A1與其自身重合，則θ的最小值是;三棱錐D1-DC1A1在此旋轉(zhuǎn)過程中所形成的幾何體的體積為.

這道題的解決并不算難，只要利用旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)和正方體的性質(zhì)就可以得出旋轉(zhuǎn)后所得的幾何體為圓錐，底面半徑為2，高度為，θ的最小值是，幾何體的體積為。

二、問題提出

雖說上面的題目解決起來并不算難，但是如果將該試題研究的這個幾何體拓展到研究整個正方體旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體而言那就是另一回事了。

所以將這個問題更一般化：對于一個棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1繞其體對角線BD1旋轉(zhuǎn)一周后所形成的幾何體是什么？

三、問題分析

由于所要研究的體是一種旋轉(zhuǎn)體，對于旋轉(zhuǎn)體而言，可以看成由許多的圓“摞”在一起，所以如果要研究它的形狀不妨從它旋轉(zhuǎn)的各部分的半徑入手去研究所形成的體的特點(diǎn)。

對于正方體ABCD-A1B1C1D1繞其體對角線BD1逆時針旋轉(zhuǎn)這一問題而言，可以先將正方體的12條棱分成兩類：第一類是線段D1A1、D1C1、D1D、BB1、BC、BA，這一類線段分出的原因是：①這六條線段的一個端點(diǎn)與線段BD1的一個端點(diǎn)重合②線段的另外一個端點(diǎn)到線段BD1的最遠(yuǎn)距離為③這六條線段與線段BD1的夾角都為，所以這六條線段可以看成是“等效”的;第二類是線段B1A1、A1A、AD、DC、CC1、C1B1，這一類線段分出的原因是①這六條線段與線段BD1距離為②這六條線段的端點(diǎn)到線段BD1的距離都是③與線段BD1的夾角都為，所以這六條線段對于體對角線BD1而言在位置上是相同的。進(jìn)而可知這六條線段對于中間部分幾何體的形成是“等效”的，所以為了研究這個問題的方便，我們就來研究一下線段B1A1的旋轉(zhuǎn)特點(diǎn)。

通過分析題干不難得出三棱錐D1-A1C1D和三棱錐B-ACB1繞體對角線BD1旋轉(zhuǎn)后形成圓錐，高度均為，由于，所以由線段B1A1旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體的高度為。

所以通過上述分析，如果尋找到了圓的半徑和每一個半徑所對應(yīng)的豎直高度之間所蘊(yùn)含的聯(lián)系就可以判斷出由線段B1A1旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體到底是一個什么樣的幾何體了，也就解決了這個問題。

由此易得線段A1B1繞體對角線BD1旋轉(zhuǎn)后所得的面為雙曲面。

五、方法評析

法一主要是利用了平行投影中的平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且相等的這個性質(zhì)，利用平行投影把形成中間部分的半徑平移到同一個面上，再利用旋轉(zhuǎn)將半徑旋轉(zhuǎn)到同一條直線上，利用一個中間量去建立這兩個量之間的“橋梁”。

法二主要是利用空間直角坐標(biāo)系，利用半徑與體對角線垂直這一隱含條件，將用坐標(biāo)表示出來，直接去尋找的關(guān)系，再利用旋轉(zhuǎn)去解決問題。

作者簡介：王淳（2002.02）男，籍貫：北京市，北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校