蔡海濤

(福建省莆田第二中學(xué)，351131)

已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，這類高考題在近幾年高考中頻頻出現(xiàn)，成為高考的熱點(diǎn).如2014全國(guó)卷Ⅰ理科第11題，2016全國(guó)卷Ⅰ理科第21題，2017全國(guó)卷Ⅰ理科第21題，2017全國(guó)卷Ⅲ理科第11題，2018全國(guó)卷Ⅰ理科第9題，2018全國(guó)卷Ⅱ第21題等.本文舉例探討解決這類問題常用策略.

一、直接分離參數(shù)

(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(1,4)上有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

二、部分分離參數(shù)

例2(2020年泉州市高三質(zhì)檢題)已知函數(shù)f(x)=(x2+ax+1)ex.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)g(x)=(x2+1)ex-mx-1在[-1,+∞)有兩個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍.

評(píng)注本題對(duì)參數(shù)部分分離,轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)=(x2+1)ex與函數(shù)φ(x)=mx+1圖象的交點(diǎn)問題.一個(gè)函數(shù)不含參數(shù)容易求導(dǎo),另一個(gè)含參函數(shù)的圖象是一條直線,觀察它們圖象的變化趨勢(shì),找到臨界的位置,易求得參數(shù)的取值范圍,使得運(yùn)算簡(jiǎn)化.一般地,分離參數(shù)究竟是全部分離還是部分分離,要視分離后函數(shù)哪個(gè)更簡(jiǎn)單而定.

三、不分離參數(shù)

例3(2020年福州市高三質(zhì)檢題)已知函數(shù)f(x)=cosx+ax2-1.

(2)若f(x)在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

解(1)略.(2)① 當(dāng)a=0時(shí),f(x)=cosx-1.令cosx-1=0,解得x=2kπ(k∈Ζ),所以函數(shù)f(x)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn),不符合題意.

② 當(dāng)a<0時(shí),f(x)=cosx+ax2-1≤ax2≤0.當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立,故a<0符合題意.

③ 因?yàn)閒(-x)=f(x),所以f(x)是偶函數(shù),又因?yàn)閒(0)=0,故x=0是f(x)的零點(diǎn).

當(dāng)a>0時(shí),f′(x)=-sinx+2ax,記g(x)=f′(x)=-sinx+2ax,則g′(x)=-cosx+2a.

因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x)在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

總之,處理已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍問題,基本思路都是一樣的,通過判斷函數(shù)單調(diào)性,利用數(shù)形結(jié)合思想,將函數(shù)的趨勢(shì)圖象作出來,然后根據(jù)題意作出合適的函數(shù)圖象，得到關(guān)于參數(shù)的不等式.運(yùn)算過程中,需要思考的是研究哪個(gè)函數(shù)比較簡(jiǎn)單,從而選擇對(duì)參數(shù)分離，還是部分分離，還是不分離，做到以上這些,解決這類問題就不難了.