劉艷

摘要：在一次建鄴區(qū)小學(xué)生學(xué)業(yè)水平調(diào)研中，有一道考查“可能性”相關(guān)知識的選擇題得分率非常低。通過分析教學(xué)內(nèi)容及誤區(qū)，查閱相關(guān)文獻資料，提出“可能性”這一內(nèi)容的教學(xué)建議：用心設(shè)計活動，強調(diào)邏輯性;精心挑選素材，體會隨機性;匠心設(shè)計問題，體現(xiàn)層次性。

關(guān)鍵詞：可能性活動素材問題

在一次建鄴區(qū)小學(xué)生學(xué)業(yè)水平調(diào)研中，有這樣一道題：

3個袋子里都裝有質(zhì)地相同的紅球和一些其他顏色的球。其中①號袋里有1個紅球，②號袋里有2個紅球，③號袋里有3個紅球。問：從幾號袋里摸到紅球的可能性最大？（）

A. ①號B. ②號

C. ③號D. 無法確定

題目考查學(xué)生對“可能性”相關(guān)知識的掌握程度。經(jīng)統(tǒng)計，本題的得分率僅為24.9%，有72.7%的學(xué)生選擇了C選項，認為紅球的數(shù)量決定了摸出紅球的可能性大小。這引發(fā)了筆者對“可能性”這一教學(xué)內(nèi)容的關(guān)注和思考。

一、教學(xué)內(nèi)容

“可能性”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊第六單元的內(nèi)容。通過本單元的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)初步了解簡單隨機現(xiàn)象的特點，感受簡單隨機事件發(fā)生的可能性的大小，發(fā)展隨機意識，增強數(shù)據(jù)分析觀念。同時，拓展解決簡單實際問題的范圍，發(fā)展分析問題和解決問題的能力，為第三學(xué)段隨機事件發(fā)生概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

二、教學(xué)誤區(qū)

筆者在實際聽課過程中發(fā)現(xiàn)，“可能性”教學(xué)看似不難，卻經(jīng)?？梢婋S意性很強的課堂，具體表現(xiàn)為武斷地得出結(jié)論和忽略隱含條件。

（一）武斷地得出結(jié)論

【片段1】

師同學(xué)們參加過抽獎活動嗎？下面我們就來現(xiàn)場抽獎：這個不透明袋子里裝了2個球，任意摸1個，摸到紅球者中獎。

（請3位學(xué)生摸球，摸出的皆為黃球。）

生袋子里2個球都是黃球。

師我們打開袋子看一看，果然是2個黃球。從這個袋子里任意摸1個球，能摸出紅球嗎？

生不可能。

師（出示裝有2個紅球的袋子和裝有1個紅球、1個黃球的袋子）從哪個袋子里摸球，一定會中獎？

生從裝有2個紅球的袋子里摸球，一定會中獎。

師從裝有1個紅球和1個黃球的袋子里任意摸1個球呢？

生可能中獎，也可能不中獎。

師也就是說，從裝有1個紅球和1個黃球的袋子里任意摸1個球，可能是紅球，也可能是黃球。下面我們進行小組活動，看是不是這樣的。

（出示活動要求：組長拿著口袋，讓4位組員按順序輪流摸球;記錄員記錄組員報的顏色，紅球用紅色水彩筆標記，黃球空白即可。學(xué)生小組活動，完成后全班交流，匯總摸球情況，如圖1所示。）

圖1

師你有什么想說的？

生第1組摸到了很多次紅球。

師第1組在摸球前能確定摸出紅球嗎？

生（第1組）能確定，我發(fā)現(xiàn)袋子里的球有的光滑、有的粗糙。

生每個組的中獎率都挺高的。

師每次都中獎嗎？可能中獎，也可能不中獎，能確定嗎？

生第4組中獎率低。

生第8組的情況有點規(guī)律，空一格出現(xiàn)2個紅球。

師但第11次并不是紅球，證明不存在這個規(guī)律。（稍停）如果一開始沒摸出紅球，一直摸下去是不是總能摸到紅球？

生如果運氣差，會一直摸出黃球。

師一直摸下去，總是能摸到紅球的。

……

用抽獎的情境導(dǎo)入，學(xué)生摸了3次沒摸到紅球，就揭曉了答案——袋子里2個球都是黃球。這其實略顯隨意和武斷了，可以看到，這也與小組活動的結(jié)果矛盾——第6組前3次摸到的都是黃球，第4次摸到了紅球。此外，抽獎的情境容易讓學(xué)生結(jié)合“運氣”去思考問題（如果運氣差，會一直摸出黃球），聚焦點不在數(shù)學(xué)上，影響了數(shù)學(xué)的思考。

（二）忽略隱含條件

【片段2】

教師在例2教學(xué)完成后，緊接著讓學(xué)生完成“練一練”（見圖2）。在學(xué)生明確從第3個口袋里不可能摸出紅球后，組織學(xué)生基于對例2的體會，討論前兩個口袋從哪個口袋里摸出紅球的可能性大。一名學(xué)生回答：從第2個口袋里摸出紅球的可能性大，因為有2個紅球，第1個口袋里只有1個紅球。其他學(xué)生表示認可。教師完成教學(xué)。

圖2

例2主要幫助學(xué)生感受簡單隨機事件發(fā)生的可能性大小。從例2過渡到“練一練”，看似順理成章，實則出現(xiàn)了引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注紅球個數(shù)的傾向。例2是同一隨機試驗不同隨機事件發(fā)生的可能性大小比較（從3張紅桃、1張黑桃撲克牌中任意摸一張），各種顏色牌數(shù)量的多少本身就決定了可能摸出它的情況總數(shù)，即如果用N表示所有可能結(jié)果的個數(shù)，用M表示摸出紅桃的可能結(jié)果的個數(shù)，那么出現(xiàn)紅桃的概率P（紅桃）=MN，兩個事件中N相同;而“練一練”是不同隨機試驗相同隨機事件發(fā)生的可能性大小比較，摸出紅球的概率P（紅球）=M′N′，兩次試驗中N′不一定相同。受例2的影響，學(xué)生在判斷“練一練”題目中的可能性大小時，只關(guān)注了紅球的數(shù)量，卻忽略了總體的數(shù)量（教師應(yīng)強調(diào)“都是3個球”的前提條件）。

三、教學(xué)建議

“可能性”教學(xué)首先需要教師了解關(guān)于概率（可能性的大?。┑谋倔w性知識。通過查閱資料發(fā)現(xiàn)，多位專家對概率及其教學(xué)進行了深入的解讀。

史寧中教授在《基本概念與運算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題》一書中指出，隨機事件發(fā)生的可能性大小即概率，通常用字母P表示，概率是一個非負的不大于1的數(shù)，即0≤P≤1。至少有兩種方法可以得到未知的概率。一種是通過樣本頻率估計概率，如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中的例40（袋中裝有4個紅球和1個白球。只告訴學(xué)生袋中球的顏色為紅色和白色，不告訴他們紅球數(shù)目與白球數(shù)目，讓學(xué)生通過多次有放回的摸球，統(tǒng)計摸出紅球和白球的數(shù)量及各自所占比例，由此估計袋中紅球和白球數(shù)目的情況）。還有一種方法就是不借助數(shù)據(jù)而直接根據(jù)背景定義概率，定義的概率實質(zhì)上就是對隨機事件發(fā)生可能性大小的一種度量，這個度量是人們在理想狀態(tài)下制訂出來的。如果用A表示所要求概率的那個事件，用m表示有利情況的數(shù)目，用n表示所有可能情況的數(shù)目，那么，定義事件A發(fā)生的概率就是P（A）=mn。這樣的定義稱為古典概率。

張奠宙教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理——核心概念的理解與呈現(xiàn)》一書中提出，由于大數(shù)定律保證“頻率趨向于概率”，但對什么意義上的“趨向”，有多種復(fù)雜的理解，小學(xué)階段無法說清，而具體實踐中，大數(shù)定律也沒有充足的時間去驗證，因此，小學(xué)生的概率學(xué)習(xí)要充分運用兒童的直覺，基于大數(shù)定律的“頻率趨向于概率”只能略微提及。

曹培英教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”教學(xué)研究（一）》一文中介紹了概率論公認的源頭是“數(shù)學(xué)家們?yōu)橘€徒解決賭博難題時形成的數(shù)學(xué)專題”，指出“古典概率必須具備兩個條件：試驗中所有可能出現(xiàn)的情況為有限個，每種情況出現(xiàn)的可能性相等。這兩個條件是古典概率區(qū)別于其他概率類型最根本、最基礎(chǔ)的要素”。

特級教師陳靜在《小學(xué)階段學(xué)生概率思維的形成與發(fā)展》一文中圍繞如何有效培養(yǎng)并發(fā)展學(xué)生的概率思維，從概率思維的內(nèi)涵與特征、概率思維的直覺與先期經(jīng)驗以及促進概率思維形成與發(fā)展的教學(xué)策略三個角度進行了深入分析。

可以看出，關(guān)于概率的由來及本體性知識已比較明朗，能指導(dǎo)課堂教學(xué)實踐。而教學(xué)時有以下幾點要格外注意：

第一，用心設(shè)計活動，強調(diào)邏輯性。

小學(xué)階段的概率都是古典概率模型，也就是定義出來的概率，是理論概率，因此，在實驗之前，概率已經(jīng)存在。教材配套的教師用書也指出，教材提供的摸球情境是先得到可能性的結(jié)果，再實驗感悟。如果像片段1中所述，根據(jù)幾次摸球的結(jié)果，就推斷出袋子里球的情況，就會出現(xiàn)邏輯性錯誤。

第二，精心挑選素材，體會隨機性。

為了使試驗中“每種情況出現(xiàn)的可能性相等”，教師需要精心挑選素材，排除人為干擾，幫助學(xué)生更好地體會這種隨機性。如：摸球活動中，球除顏色不同外，質(zhì)地、大小都應(yīng)相同，摸之前要先攪勻，摸的人不能偷看，等等;翻撲克牌活動中，撲克牌大小、質(zhì)地、背面花色都應(yīng)相同，為了避免學(xué)生盯著一張牌不放，還可以把牌放在背后洗，等等。當然，教學(xué)中可以把摸球和翻撲克牌兩種活動中的素材“合二為一”，以一種素材貫穿始終，不分散教師和學(xué)生活動時的注意力。

第三，匠心設(shè)計問題，體現(xiàn)層次性。

好的數(shù)學(xué)活動要有好的數(shù)學(xué)問題啟發(fā)學(xué)生深入思考。例如，在體會隨機事件發(fā)生的可能性的活動中，可設(shè)計如下問題：“在摸之前，能確定摸出的是什么顏色的球嗎？”“如果再摸一次，會是什么結(jié)果呢？”在體會隨機事件發(fā)生的可能性大小的活動中，可以設(shè)計如下問題：“如果袋中有10個白球、1個紅球，任意摸1個球，會是什么情況？”“如果袋中有100個白球和1個紅球呢？”“如果袋中有1000個白球和1個紅球呢？”“只要袋子里有紅球，任意摸1個球，就可能摸出紅球，但我們發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的可能性越來越——”“紅球的數(shù)量都是1個，為什么摸出紅球的可能性越來越小呢？”通過這樣一系列的問題幫助學(xué)生清晰地認識到：摸出紅球的可能性大小除了和紅球的數(shù)量有關(guān)，還與球的總數(shù)有關(guān)，也就是要看兩者之間的關(guān)系。

參考文獻：

[1] 史寧中.基本概念與運算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2] 張奠宙，鞏子坤，任敏龍，等.小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理——核心概念的理解與呈現(xiàn)[M].上海：上海教育出版社，2018.

[3] 曹培英.小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”教學(xué)研究（一）[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2019（5）.

[4] 陳靜.小學(xué)階段學(xué)生概率思維的形成與發(fā)展[J].教育視界，2019（4）.