銀集

摘 要：線段垂直平分線性質(zhì)的學(xué)習(xí)對學(xué)生的空間觀念有一定的要求，在教學(xué)中，利用線段垂直平分線基本圖形，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，按層次鋪設(shè)腳手架，引導(dǎo)學(xué)生拾級而上，從而達(dá)成讓學(xué)生理解線段垂直平分線基本圖形、從較復(fù)雜圖形中分離出基本圖形、構(gòu)造線段基本圖形來解決問題的教學(xué)目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：線段垂直平分線;基本圖形;空間觀念

中圖分類號：G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 收稿日期：2019-12-06 文章編號：1674-120X（2020）16-0053-02

一、教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

“線段垂直平分線性質(zhì)”是新人教版數(shù)學(xué)八年級上冊第十三章第二節(jié)的內(nèi)容。本節(jié)重點(diǎn)是線段垂直平分線定理，定理是證明兩條線段相等的依據(jù);本節(jié)難點(diǎn)是線段垂直平分線性質(zhì)的靈活應(yīng)用。

本節(jié)課主要采用探究式教學(xué)模式。提出問題讓學(xué)生想，設(shè)計(jì)題目讓學(xué)生做，錯(cuò)誤原因讓學(xué)生說，方法與規(guī)律讓學(xué)生歸納。教師的作用在于組織、點(diǎn)撥、引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生主動探索，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生真正成為教學(xué)活動的主人。具體如下：①在回顧軸對稱圖形的基礎(chǔ)上引入垂直平分線的定義，由學(xué)生感興趣的游戲入手，把生活問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生探究解決問題，并完成證明，最后，由學(xué)生將上述過程用文字的形式進(jìn)行歸納，即得出線段垂直平分線定理。探究式教學(xué)使學(xué)生克服思維惰性，獲得鍛煉機(jī)會，對定理的產(chǎn)生過程真正做到心領(lǐng)神會。②采用“類比”的學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生說出線段垂直平分線性質(zhì)與角平分線性質(zhì)的相同和不同之處，加深學(xué)生對點(diǎn)到點(diǎn)的距離的理解。下文中例1利用線段垂直平分線的基本圖形可直接獲得結(jié)論，鼓勵(lì)基礎(chǔ)較差的學(xué)生完成，獲得成功體驗(yàn);例2是例1的變形，需要在較復(fù)雜圖形中準(zhǔn)確找到線段垂直平分線的基本圖形才能解決問題;例3是例2的升級，學(xué)生可構(gòu)造線段垂直平分基本圖形去解決問題。此三題層層遞進(jìn)，多角度多層次地加深了學(xué)生對線段垂直平分線基本圖形的理解與認(rèn)識。

二、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

上節(jié)課我們共同探討了軸對稱圖形，那么大家想一想，什么樣的圖形是軸對稱圖形呢？

如圖1，△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線MN對稱，點(diǎn)A'，B'，C'分別是點(diǎn)A，B，C的對稱點(diǎn)，線段AA'，BB'，CC'與直線MN有什么關(guān)系？

設(shè)AA'交對稱軸MN于點(diǎn)P，將△ABC和△A'B'C'沿MN對折后，點(diǎn)A與A'重合，于是AP=A'P，∠MPA =∠MPA'=90°。所以AA'、BB'和CC'與MN的關(guān)系除了垂直，MN還經(jīng)過線段AA'、BB'和CC'的中點(diǎn)。

對稱軸所在直線經(jīng)過對稱點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段。我們把經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線。

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的軸對稱圖形并引出線段垂直平分線的定義，強(qiáng)調(diào)垂直且平分這一條件，避免學(xué)生理解錯(cuò)誤。

（二）探究新知

活動1：小聰在A處，小明在B處，他們兩人做搶禮物的游戲，問：禮物放在何處游戲才公平？

問題：①你能否把上述問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題？②你認(rèn)為禮物應(yīng)該放在哪里？③如何快速準(zhǔn)確地找到滿足條件的所有的點(diǎn)？

如圖2，作線段AB，過AB中點(diǎn)作AB的垂直平分線l，在l上取P1，P2，P3…，連接AP1，AP2，BP1，BP2，CP1，CP2…

問題：①你能不能用自己的語言表述你的發(fā)現(xiàn)？②你能否用數(shù)學(xué)語言表述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？

探究結(jié)果：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，即AP1=BP1，AP2=BP2…

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生的空間知識來自豐富的現(xiàn)實(shí)原型，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)問題情境是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有效策略。此環(huán)節(jié)的目的是引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境中抽取空間圖形;再從復(fù)雜圖形背景中分解出簡單的、基本的圖形。

活動2：如圖3，已知直線l是線段AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)C，P是直線l上任意一點(diǎn)。

求證：PA=PB。

證法一：利用全等三角形性質(zhì)。

∴?APC≌?BPC

∴PA=PB

證法二：利用軸對稱性質(zhì)。

由于點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，將線段AB沿直線l對折，線段PA與PB是重合的，因此它們也是相等的。

總結(jié)歸納

（1）知識的角度。線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。用幾何語言可以表示為：

∵l是AB的垂直平分線， 點(diǎn)P為l上的任意一點(diǎn)（已知）

∴PA=PB（線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）

（2）方法的角度。證明兩條線段相等多了一種比利用三角形全等性質(zhì)更直接的方法。同時(shí)，線段垂直平分線性質(zhì)反映的是平面中一種簡潔的軸對稱圖形。

【設(shè)計(jì)意圖】對定理的學(xué)習(xí)，目的是讓學(xué)生養(yǎng)成畫示意圖的習(xí)慣，并分析基本圖形中的基本元素及其關(guān)系。對基本圖形的理解利于學(xué)生掌握概念、尋求解題思路，同時(shí)也能讓學(xué)生體會到定理在后續(xù)應(yīng)用中的重要性和學(xué)習(xí)的必要性。

思考：線段垂直平分線性質(zhì)與角平分線性質(zhì)有什么相同與不同之處？請畫圖說明。

【設(shè)計(jì)意圖】類比角平分線性質(zhì)和垂直平分線性質(zhì)的異同點(diǎn)，用圖示的方式理清概念內(nèi)涵與外延之間的關(guān)系，讓學(xué)生明白線段垂直平分線性質(zhì)指的是點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離關(guān)系。

（三）典例分析

例1? 如圖4，已知DE是線段AB的垂直平分線，若AE=7，則BE=_________ 。

【設(shè)計(jì)意圖】理解基本圖形，并初步運(yùn)用線段垂直平分線性質(zhì)解決實(shí)際問題，本題是易題，鼓勵(lì)基礎(chǔ)差的學(xué)生完成，也是為以后的學(xué)習(xí)作鋪墊。

例2? 如圖5， 在△ABC中，AB=16，DE是線段AB的垂直平分線，△BEC的周長為26，求BC的長。

問題：①圖4和圖5有什么聯(lián)系？②你認(rèn)為哪一個(gè)條件是解本題的關(guān)鍵？③圖中有相等的線段嗎？依據(jù)是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】檢驗(yàn)學(xué)生從較復(fù)雜的圖形中分解出線段垂直平分線的基本圖形的能力，引導(dǎo)學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)基本圖形不同的形態(tài)，從而鞏固對線段中垂線性質(zhì)的理解。

例3? 如圖6所示，在△ABC中，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，DM⊥BC，延長BC到E，使得ME=BM，若∠E=∠CDM，試判定△ABC的形狀，并說明理由。

問題：①猜想△ABC是什么三角形？②如何判定三角形的形狀？③本題的關(guān)鍵條件是什么？④圖中有線段垂直平分線基本圖形嗎？如果沒有怎么解決？⑤還有其他辦法證明AB=BC嗎？你認(rèn)為哪種辦法更簡便呢？

【設(shè)計(jì)意圖】本題是例2的升級，讓學(xué)生構(gòu)造線段垂直平分線性質(zhì)的基本圖形來解決問題，加深對線段垂直平分線性質(zhì)的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生從多角度認(rèn)識基本圖形及其性質(zhì)，同時(shí)讓學(xué)生認(rèn)識到利用線段垂直平分線性質(zhì)證明兩條線段相等比利用三角形全等性質(zhì)更直接。

（四）作業(yè)設(shè)計(jì)

（1）如圖7所示，l是線段AB的垂直平分線，則PA=? ? ? ? ? ，理由是_________________。

【設(shè)計(jì)意圖】回顧線段垂直平分線的性質(zhì)，鞏固對基本圖形的認(rèn)識。

（2）如圖8所示，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】匹配例2，當(dāng)堂訓(xùn)練，當(dāng)堂反饋，鞏固提升。

（3）如圖9所示，在△ABC 中，邊AB，BC的垂直平分線交于點(diǎn)P，求證：PA=PB=PC。

【設(shè)計(jì)意圖】匹配例3，檢驗(yàn)學(xué)生能否靈活運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)。

（五）課堂小結(jié)

（1）小結(jié)問題：請畫圖并用幾何語言解釋“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”的定理。

（2）談?wù)劚竟?jié)學(xué)習(xí)的收獲，說說本節(jié)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，想想本節(jié)學(xué)習(xí)中未解決的問題。

本節(jié)課旨在發(fā)展學(xué)生的空間觀念：第一，從生活實(shí)際中抽象出幾何圖形，通過語言描述、歸納猜想、畫圖操作、推理證明等一系列活動，以及“三種語言”之間的相互轉(zhuǎn)化，多角度理解基本圖形，形成圖形認(rèn)識，發(fā)展學(xué)生的空間觀念;第二，本節(jié)課在例題的選擇上遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，分“直接應(yīng)用基本圖形”“從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形”“構(gòu)造基本圖形”三個(gè)層次，逐步發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

總之，教師應(yīng)以學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)與知識為基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)基本圖形意識，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念，建立幾何直觀，達(dá)到發(fā)展學(xué)生思維、促進(jìn)學(xué)生技能提高的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳增生，劉 燕，劉智昊.幾何直觀及其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的合理應(yīng)用[J].中國數(shù)學(xué)教育，2016（11）：41-45.

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