廣東省佛山市順德區(qū)第一中學(xué)(528300) 常 艷

廣東省佛山市順德區(qū)教師發(fā)展中心(528300) 王常斌

廣東省佛山市羅定邦中學(xué)(528300) 龍 宇

2018年的高考數(shù)學(xué)試題有一個(gè)顯著的特點(diǎn)是文理同題(或相似)的比例大大增加,這是為了對(duì)接新一輪的課改不分文理所作的積極探索,為文理合卷做準(zhǔn)備.今年的1 卷文理數(shù)學(xué)的解析幾何試題是姊妹題,考察的均為等角問(wèn)題,只是載體不同而已.文科以?huà)佄锞€(xiàn)為載體,而理科以橢圓為載體.本次順德二模命題時(shí)在這方面也做了一些探索,文理相同或相近的試題的比例也有所提高.本次解析幾何的文理試題也是姊妹題,題目如下:

1 題目

(2018年高考全國(guó)卷文19) 已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p＞0) 與直線(xiàn)x=8 相交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且ΔMON為直角三角形.

(1)求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過(guò)C的焦點(diǎn)F且斜率為k的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于A,B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)D,求證:|AB|=2|DF|;

(理20) 已知橢圓C:的左、右焦點(diǎn)為F1,F2,過(guò)點(diǎn)F1(－1,0)斜率為k(k /=0)的直線(xiàn)l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),且ΔABF2的周長(zhǎng)為8.

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)設(shè)線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)D,求證|AB|=4|DF1|.

可以看出兩題也是姊妹題,文科以?huà)佄锞€(xiàn)為載體,理科以橢圓為載體,考查的是過(guò)圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)與此弦的中垂線(xiàn)之間的關(guān)系.考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

2 解法呈現(xiàn)

兩題的第(1) 問(wèn)都相對(duì)簡(jiǎn)單,答案分別為:y2=8x,過(guò)程略.兩題的第(2)問(wèn)是該題的難點(diǎn),且解法是類(lèi)似的,本文以文科題為例,將該類(lèi)問(wèn)題的相關(guān)解法展示如下:

解法一基本量法

設(shè)直線(xiàn)l:y=k(x－2),聯(lián)立拋物線(xiàn)方程得:k2x2－4(k2+2)x+4k2=0.

則有:

利用弦長(zhǎng)公式:

線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為P(xP,yP),其中

直線(xiàn)PD為:可求得點(diǎn)D為

總結(jié)該解法以直線(xiàn)的斜率作為基本量,表示出所求弦長(zhǎng),證明結(jié)論成立.結(jié)合拋物線(xiàn)的定義,焦點(diǎn)弦長(zhǎng)還可用公式x1+x2+p來(lái)表示,對(duì)應(yīng)的計(jì)算更小.再注意到直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(2,0),也可設(shè)直線(xiàn)l的表達(dá)式為x=my+2(即以m作為基本量),m的幾何意義為斜率的倒數(shù).

解法二幾何法

如圖1,過(guò)點(diǎn)A,B,P分別作準(zhǔn)線(xiàn)l的垂線(xiàn),垂足為A′,B′,P′.利用梯形的中位線(xiàn)性質(zhì)可得所以原問(wèn)題?證明|DF|=|PP′|即證明PP′FD是平行四邊形?P′F⊥AB.

圖1

設(shè)直線(xiàn)AB:x=my+2,聯(lián)立拋物線(xiàn)得:y2－8my－16=0.可得點(diǎn)P(4m2+2,4m),則有P′(－2,4m),F(2,0).驗(yàn)證可得:即有P′F⊥AB成立,所以原命題成立.

總結(jié)該解法通過(guò)幾何關(guān)系將原來(lái)的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)間的垂直關(guān)系,結(jié)合簡(jiǎn)單的計(jì)算即可證明該結(jié)論,與解法一相比,思維量更大,但運(yùn)算量小.且該解法還可獲得一個(gè)附加結(jié)論:以PP′為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)F.

解法三幾何法2

在圖1的基礎(chǔ)上過(guò)點(diǎn)B作AA′的垂線(xiàn),垂足為E,具體如圖2.容易證明ΔABE ～ΔPDF.原問(wèn)題則?證明兩三角形的相似比為2?證明結(jié)合拋物線(xiàn)的定義,|AE|=|AF|－|BF|,利用P為AB的中點(diǎn),則有:|AF|－|PF|=|BF|+|PF|即有兩式相結(jié)合即有原命題成立.

圖2

總結(jié)該解法相比解法二,運(yùn)算量更小.但對(duì)于平面幾何的知識(shí)要求較高.且該解法沒(méi)有使用拋物線(xiàn)的方程,據(jù)此可得該結(jié)論對(duì)所有的拋物線(xiàn)均成立.具體如下:

定理1對(duì)于拋物線(xiàn)C:y2=2px(p＞0),過(guò)C的焦點(diǎn)F且斜率為k的直線(xiàn)l與C交于A,B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)D,則有|AB|=2|DF|.

解法四幾何法與基本量法的綜合

根據(jù)定理1 可知,該結(jié)論對(duì)一般的拋物線(xiàn)均成立,該解法便以定理1 為背景進(jìn)行證明.選擇基本量:傾斜角θ.如圖3,過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn),垂足為A1,利用拋物線(xiàn)的定義即可得:

圖3

|AF|－|AF|·cosθ=p.即有:同理可得:

|BF|=則有

總結(jié)該解法結(jié)合了基本量法與幾何法的優(yōu)點(diǎn),該解法僅涉及到焦點(diǎn)及準(zhǔn)線(xiàn),結(jié)合橢圓及雙曲線(xiàn)的第二定義,即可將該解法遷移至其他的圓錐曲線(xiàn).較解法三,該解法還獲得焦半徑及焦點(diǎn)弦公式.由此可得下面的定理2.

定理2已知橢圓的左右焦點(diǎn)為F1,F2,過(guò)點(diǎn)F1的直線(xiàn)l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),設(shè)線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)D,則有(e為橢圓的離心率).

分析上述四種解法均可遷移至該定理的證明.本文僅以最后一種解法來(lái)證明定理2.

證明如圖4,設(shè)橢圓C的左準(zhǔn)線(xiàn)為過(guò)點(diǎn)A分別作l1與x軸的垂線(xiàn),垂足為A′,A1.利用橢圓的第二定義可得:|AF1|=|AA′|·e,由圖可知:|AA′|=|AF1|·cosθ+dF1－l1.

其中

圖4

化簡(jiǎn)可得:

同理可得:

則有

設(shè)AB的中點(diǎn)為P,與上文中的解法三相同,

在直角三角形PDF1中,

與上式中的AB值相比可得:結(jié)論成立.

對(duì)比定理1 與定理2,注意到拋物線(xiàn)的離心率e=1,定理1 中的結(jié)論也可改寫(xiě)為:

根據(jù)上解法,還可將該定理推廣至雙曲線(xiàn),由此我們可得到一個(gè)關(guān)于拋物線(xiàn)、橢圓、雙曲線(xiàn)的一個(gè)統(tǒng)一結(jié)論.

定理3過(guò)圓錐曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交C于A,B兩點(diǎn),設(shè)線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)與曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)F所在的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)D,則有(e為圓錐曲線(xiàn)的離心率).

3 高考溯源

在歷年的高考中,關(guān)于焦點(diǎn)弦的考察很多,較為經(jīng)典的高考題有:

例1(2013年全國(guó)2 卷，20 題) 平面直角坐標(biāo)系xOy中,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線(xiàn)交M于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為

(1)求M的方程;(2)C,D為M上的兩點(diǎn),若四邊形ACBD的對(duì)角線(xiàn)CD⊥AB,求四邊形ACBD面積的最大值.

例2(2016年全國(guó)1 卷、20)、設(shè)圓x2+y2+2x－15=0的圓心為A,直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B做AC的平行線(xiàn)交AD于點(diǎn)E.(1)證明:|EA|+|EB|為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為C1,直線(xiàn)l交C1于M,N兩點(diǎn),過(guò)B且與l垂直的直線(xiàn)與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

例3(2007年重慶理科,22)中心在原點(diǎn)O的橢圓的右焦點(diǎn)為F(3,0),右準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為:x=12.(1)求橢圓的方程;(2)在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)P1,P2,P3,使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1,證明:為定值,并求此定值.

總結(jié)例1、例2 考察的是焦點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì),例3 考察的是焦半徑的運(yùn)算.在文[1]中,筆者從不同的角度探究過(guò)例1、例2 的相關(guān)解法,其中就包括上文中介紹的焦半徑的計(jì)算方法.在文[2]中,筆者通過(guò)極坐標(biāo)的形式探究了例3 的一般形態(tài),其本質(zhì)也是利用了上文中的焦半徑的計(jì)算方法.

4 教學(xué)及備考建議

根據(jù)上面的分析可知,本次考試的兩道試題難度不大,只要學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí),均能輕松解決該類(lèi)問(wèn)題.而真實(shí)情況則是:文科生有近60%的學(xué)生(2956 人)得零分,平均分:1.68;理科的平均分為3.12.這也充分暴露了我們?cè)诮馕鰩缀谓虒W(xué)中的問(wèn)題.

4.1 學(xué)生失分的原因

在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,對(duì)該解析幾何相關(guān)內(nèi)容有畏懼心理,下意識(shí)的覺(jué)得困難.在考場(chǎng)上的有限時(shí)間里面,對(duì)題目的表現(xiàn)形式感覺(jué)陌生,更增加了畏懼的心理暗示.對(duì)比兩道壓軸題、學(xué)生更愿意選擇導(dǎo)數(shù)題,因?yàn)榍髮?dǎo)和求定義域的步驟是相對(duì)固定的.解析幾何的考察方式很多,性質(zhì)也很多,解法也更多,學(xué)生在解題策略上面,也常常將該題放在最后.學(xué)生在總的答題過(guò)程沒(méi)有一個(gè)全面的規(guī)劃,在選填部分使用的時(shí)間過(guò)多,這也導(dǎo)致后面的時(shí)間不足.

4.2 教學(xué)建議

通過(guò)上文的分析,筆者認(rèn)為,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)做到以下幾點(diǎn):

(1)重視學(xué)生的基本功訓(xùn)練.比如圓錐曲線(xiàn)中各個(gè)參數(shù)的幾何意義,弦長(zhǎng)公式等等.教師在授課的過(guò)程中要注重?cái)?shù)學(xué)的基本概念、原理、方法的傳授.特別是在高三的復(fù)習(xí)階段,切忌通過(guò)題海戰(zhàn)術(shù)掩蓋基礎(chǔ)知識(shí)的訓(xùn)練.事實(shí)上,數(shù)學(xué)基本知識(shí)與基本技能對(duì)學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展具有舉足輕重的作用,是數(shù)學(xué)本質(zhì)的體現(xiàn),對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高具有不可估量作用.

(2)要注重培養(yǎng)學(xué)生一題多解、一解多題、一題多變等變式能力的訓(xùn)練,這對(duì)學(xué)生思維能力的提高具有不可替代的作用,能發(fā)散學(xué)生的思維,防止思維定勢(shì),對(duì)學(xué)生以后的學(xué)習(xí)大有裨益.同時(shí),教師要注重典型例題的分析、變式訓(xùn)練.

(3)要重視學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng),在教學(xué)中要重視學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生、生成、內(nèi)化、升華過(guò)程.解析幾何中的解析即是指通過(guò)代數(shù)的思維解決幾何的問(wèn)題,將幾何圖形的含義通過(guò)算式表達(dá)出來(lái),比如上文中提到的基本量法就是解析法的代表,該方法運(yùn)算量較大,但思維量小.既然有涉及到幾何,像橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)本身就具有豐富的幾何性質(zhì),比如上文中提到的幾何法,利用三角形相似結(jié)合第二定義即可得結(jié)論成立.幾何法的運(yùn)算量小,但思維量大,而且?guī)缀畏ㄍ槍?duì)的是特殊位置或特殊的對(duì)象.比如本文討論的焦點(diǎn)弦,如果是討論的一般弦,很可能解析法更占優(yōu).兩類(lèi)方法各有千秋,且體現(xiàn)了不同的思維方式,在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)兩種方法并重(幾何法在選填題型中更占優(yōu)勢(shì)).數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基本功中的“內(nèi)力”,并非一朝一夕能改變,教師要意識(shí)到這是細(xì)水長(zhǎng)流的過(guò)程,不能急功近利,從而讓學(xué)生在長(zhǎng)期的接觸與體會(huì)中得到升華.

(4)應(yīng)善于學(xué)習(xí),努力提高自己的業(yè)務(wù)能力,要能站在較高的角度看待和審視問(wèn)題.要適應(yīng)新一輪課改“培養(yǎng)學(xué)生立德樹(shù)人的目標(biāo),提高學(xué)生核心素養(yǎng)”的要求.通過(guò)學(xué)習(xí),不斷提高自身的基本素養(yǎng)與技能,這樣才能識(shí)別出隱藏在試題背后的核心數(shù)學(xué)思想與素養(yǎng),并發(fā)掘其中有價(jià)值的東西傳授給學(xué)生,做到“會(huì)當(dāng)凌絕頂,一覽眾山小”.