翁玲玉 陳建國(guó)

[摘? 要] 文章以“函數(shù)圖像會(huì)說話”專題課為例進(jìn)行教學(xué)探索，以問題為驅(qū)動(dòng)，組織學(xué)生進(jìn)行指向高階思維的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷疑題引入、開放拓展、導(dǎo)學(xué)探究、變式評(píng)價(jià)的活動(dòng)過程，來激活思維、開拓思維、延伸思維、創(chuàng)造思維.

[關(guān)鍵詞] 高階思維;問題驅(qū)動(dòng);函數(shù)圖像;專題教學(xué)

根據(jù)美國(guó)著名教育家布盧姆對(duì)認(rèn)知過程的劃分，數(shù)學(xué)界將數(shù)學(xué)高階思維的初步定義如下：數(shù)學(xué)高階思維，是指在數(shù)學(xué)活動(dòng)中發(fā)生的較高認(rèn)知水平層次上的心智活動(dòng)或認(rèn)知能力. 杜威認(rèn)為反省思維是一種高階思維，并且提出了“思維五步”[1]. 鐘志賢教授指出，分析、綜合、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造是高階思維在教學(xué)目標(biāo)中的分類表現(xiàn)，認(rèn)為高階思維主要由創(chuàng)新能力、問題求解能力、批判性思維能力和決策力構(gòu)成[2]. 由此可見，數(shù)學(xué)高階思維能力分別由問題解決能力、探究能力、推理能力、構(gòu)思能力和創(chuàng)造能力等構(gòu)成.

問題驅(qū)動(dòng)課堂是以學(xué)生為中心、以思維為核心、以問題為主線的“兩心一線”三個(gè)關(guān)鍵要素，將“內(nèi)容問題化，問題思維化，思維實(shí)踐化”，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力. 筆者在“函數(shù)圖像會(huì)說話”一節(jié)的教學(xué)中，以問題為載體，不斷豐富問題背景，在問題驅(qū)動(dòng)下進(jìn)行探究，組織學(xué)生進(jìn)行指向高階思維的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷“問題思考——問題分析——導(dǎo)學(xué)交流——判斷質(zhì)疑——評(píng)價(jià)創(chuàng)造”的高階思維過程，主要從以下方面來進(jìn)行實(shí)踐：疑題引入，激活思維;開放拓展，開拓思維;導(dǎo)學(xué)探究，延伸思維;變式評(píng)價(jià)，創(chuàng)造思維. 促使學(xué)生通過問題驅(qū)動(dòng)下的課堂實(shí)踐，使學(xué)生的高階思維能力得以提升.

問題驅(qū)動(dòng)下指向高階思維的課

堂實(shí)踐

1. 疑題引入，激活思維

問題1? 某飛機(jī)著陸后進(jìn)行滑行，滑行路程s（米）與滑行時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系為s=60t-1.5t2，問：著陸后滑行多長(zhǎng)時(shí)間該飛機(jī)才能停下來

教學(xué)片段：

（學(xué)生通過畫圖，思考片刻……）

生A：畫出圖像，如圖1可知，滑行40秒后才能停下來.？搖？搖？搖

師：善于通過函數(shù)圖像來解決問題，這非常好！40秒滑行的路程s是多少米？

生A：t=40時(shí)，s=0，感覺不太對(duì)勁，呵呵.

生B：應(yīng)該是20秒后才能停下來.

師：為什么？

生B：根據(jù)實(shí)際，A同學(xué)的圖像錯(cuò)了，應(yīng)該取函數(shù)圖像對(duì)稱軸的左邊部分.

師：真棒！由此可見，函數(shù)圖像確實(shí)會(huì)說話，可以告訴我們很多信息，但圖像首先要符合實(shí)際，同學(xué)們要重視這類“易錯(cuò)題”，要加大對(duì)這類“疑題”進(jìn)行研究與反思.

設(shè)計(jì)意圖? 數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)和動(dòng)力是問題，通過易錯(cuò)問題引入，可以激活學(xué)生的思維. 由于學(xué)生平時(shí)的錯(cuò)題資源很多，我們要加以選擇. 錯(cuò)題釋疑，讓學(xué)生更容易被吸引并積極參與課堂交流. 本節(jié)課是“函數(shù)圖像會(huì)說話”的教學(xué)復(fù)習(xí)專題，繞不開發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想，圖像的正確與否將直接影響學(xué)生的思維，教學(xué)中利用疑題引入除了激活思維，更為了警醒學(xué)生利用函數(shù)圖像解題要符合實(shí)際. 另外，教師通過問題引導(dǎo)促使學(xué)生進(jìn)行反思，出現(xiàn)思維沖突，產(chǎn)生懷疑，培養(yǎng)學(xué)生批判精神. 問題解決后及時(shí)引導(dǎo)歸納提煉，還能提升學(xué)生分析、歸納、反思的能力.

2. 開放拓展，開拓思維

問題2? 如圖2，圓柱形容器內(nèi)水平放置著兩個(gè)實(shí)心圓柱體組成的“幾何體”，幾何體的下方圓柱體的底面積為15 cm2，容器的底面積為30 cm2. 現(xiàn)向容器內(nèi)勻速注水，注水過程中，水面高度h（cm）與注水時(shí)間t（s）之間的關(guān)系如圖3所示，注滿為止.

根據(jù)圖像解答下列問題：

（1）圓柱形容器高為______cm;

（2）求勻速注水的水流速度（cm3/s）的值.

教學(xué)片段：

（利用足夠的時(shí)間讓學(xué)生自主思考后……）

師：哪位同學(xué)自告奮勇來談?wù)勀愕乃伎歼^程.

生C：我觀察坐標(biāo)圖的第三段末端點(diǎn)，題中有“注滿為止”，故14 cm就是圓柱形容器的高，但不知道水流速度的公式.？搖？搖？搖

師：分析得好. C同學(xué)，注意“cm3/s”為水流速度的單位，想到了什么？

（生C似有所悟，剛要回答，被生D急切搶答）

生D：我知道了！水流速度應(yīng)該是單位時(shí)間內(nèi)流出水的體積，而且第三段圖像告訴我，水流速度為=5（cm3/s）.

師：真不錯(cuò). 根據(jù)圖像，同學(xué)們還能提出可以解決的問題嗎？

（小組合作交流，學(xué)生進(jìn)入思辨狀態(tài)……）

生E：可以求a的值.

師：哪位同學(xué)來回答？

生F：下方圓柱體的底面積為15 cm2，水流速度為5 cm3/s，所以18×5=a（30-15），得a=6.

生G：可以求“幾何體”上方圓柱的高.

生H：還可以求“幾何體”上方底面積S……

師：嗯，哪位同學(xué)來求一下“幾何體”上方圓柱的高和底面積S……

（學(xué)生躍躍欲試，很快就有了解決方法）

師：同學(xué)們真不簡(jiǎn)單！下面我們來總結(jié)一下，用函數(shù)圖像來解決問題要對(duì)函數(shù)圖像進(jìn)行三看：一看軸、二看點(diǎn)、三看線，并且要關(guān)注圖像端點(diǎn)與實(shí)際意義的“互譯”.

設(shè)計(jì)意圖? 發(fā)展高階思維的關(guān)鍵途徑是讓學(xué)生從“思考——分析——交流——判斷——評(píng)價(jià)——?jiǎng)?chuàng)造”的過程中，達(dá)到思維的碰撞、交流、內(nèi)省. 學(xué)生出現(xiàn)的“不解和疑問”或“一些困惑、混淆或懷疑”引發(fā)的暫時(shí)的思維不暢通，教師就要加以疏導(dǎo). 開放拓展，就是倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、提出問題，并通過小組合作等形式的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行思辨、評(píng)判，讓學(xué)生體驗(yàn)問題提出的多角度、多樣性，提高學(xué)生探究的積極性. 開拓思維促成學(xué)生的自我省思與策略調(diào)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷綜合分析、理解反思、創(chuàng)造評(píng)價(jià)，這是進(jìn)行探究過程的核心收獲，它將發(fā)展學(xué)生的高階思維能力.

3. 導(dǎo)學(xué)探究，延伸思維

問題3? 對(duì)某教室內(nèi)的飲水機(jī)開機(jī)加熱，水溫每分鐘上升10 ℃，加熱到100 ℃，停止加熱，水溫開始下降，此時(shí)水溫y（℃）與開機(jī)后用時(shí)x（min）成反比例關(guān)系，下降至30 ℃進(jìn)入自動(dòng)加熱階段，重復(fù)上述自動(dòng)程序. 在水溫為30 ℃時(shí)，接通電源后，水溫y（℃）和時(shí)間x（min）的關(guān)系如圖4所示. 為了在上午第一節(jié)下課時(shí)（8：45）能喝到不超過50 ℃的水，則當(dāng)天上午的哪個(gè)時(shí)刻可以是接通電源的時(shí)刻（？搖? ? ?）

A. 7：20 B. 7：30

C. 7：45 ?D. 7：50

教學(xué)片段：

（學(xué)生思考與操作良久，沒有頭緒，于是筆者開始導(dǎo)學(xué)）

師：同學(xué)們，老師接下來幫助大家進(jìn)行思考，首先……

導(dǎo)學(xué)1：當(dāng)?shù)谝淮嗡疁貫?00 ℃時(shí)的該點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？當(dāng)水溫第一次降至30 ℃時(shí)，該點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？

生I：開機(jī)加熱時(shí)水溫每分鐘上升10 ℃，由圖像告知100-30=70（℃），70÷10=7（min），故水溫為100 ℃時(shí)的該點(diǎn)的坐標(biāo)是（7，100）. 從而得直線與反比例函數(shù)的解析式分別為y=10x+30與y=. 當(dāng)?shù)谝淮谓抵?0 ℃時(shí)，該點(diǎn)的坐標(biāo)是，30.

導(dǎo)學(xué)2：從第一次開始加熱到水溫降至30 ℃，這個(gè)過程中水溫不超過50 ℃的時(shí)間范圍是多少？大家一起小組合作交流與探究.

（經(jīng)過討論，答案逐漸明朗）

生J：如圖5，水溫不超過50 ℃的時(shí)間范圍為0≤t≤2或14≤t≤.

導(dǎo)學(xué)3：從第一次開始加熱到水溫降至30 ℃，需要多少時(shí)間？接下來是不斷循環(huán)這個(gè)過程嗎？如果從0：00開始加熱，經(jīng)過700分鐘的時(shí)刻水溫是否符合要求（不超過50 ℃）？怎么思考？大家一起小組合作交流與探究.

生K：由y=10x+30與y=可知，當(dāng)?shù)谝淮谓抵?0 ℃，點(diǎn)的坐標(biāo)為，30，得出min，為一個(gè)循環(huán)周期，700分鐘剛好為30個(gè)周期，符合要求. 但我還是不能解決原題，沒有思路.

師：好的，接下來再看看下面問題的第一問.

導(dǎo)學(xué)4：第一問，如果從0：00開始經(jīng)過701分鐘的時(shí)刻水溫是否符合要求（不超過50 ℃）？第二問，為了在上午第一節(jié)下課時(shí)（8：45）能喝到不超過50 ℃的水，則接通電源的時(shí)間可以是當(dāng)天上午的7：20嗎？

生L：明白了，701分鐘是30個(gè)周期余1分鐘，余數(shù)在0≤t≤2或14≤t≤范圍內(nèi)，所以符合要求;7：20-8：45為85分鐘，85÷=3+，3個(gè)周期余個(gè)周期，×=15分鐘，符合要求，故選A.

師：真棒！其實(shí)第三小問與第二小問的區(qū)別就在題中的條件“重復(fù)自動(dòng)程序”（周期），那么用圖像來刻畫，我們只要畫一條直線y=50， 關(guān)注圖像中的交點(diǎn)與該線上方與下方，顯然這些在直線 y=50 的下方的圖像對(duì)應(yīng)的都是水溫不超過 50 ℃. 所以，函數(shù)圖像中的交點(diǎn)與線上、線下能告訴我們解決問題的思路. 同學(xué)們，還有其他方法嗎？課外試一下……

設(shè)計(jì)意圖? “問題導(dǎo)學(xué)”是以核心問題為主線，解決問題為基石，引領(lǐng)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、生成問題、解決問題過程中掌握知識(shí)、技能、方法，形成自主學(xué)習(xí)能力，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，促進(jìn)學(xué)生高階思維發(fā)展. 通過問題導(dǎo)學(xué)，以問題解決為重心、師生圍繞“導(dǎo)學(xué)問題”而開展自主合作探究學(xué)習(xí)為主要特征的思維課堂充分得以開展. 本環(huán)節(jié)中的4個(gè)導(dǎo)學(xué)問題為學(xué)生解決問題而導(dǎo)，核心是“學(xué)”，關(guān)鍵在“導(dǎo)”. “問題導(dǎo)學(xué)”有效性不僅需要教師關(guān)注如何創(chuàng)設(shè)“問題”，引領(lǐng)學(xué)生解決問題，還要關(guān)注如何啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，表達(dá)自己的困惑，讓學(xué)生也能提出“問題”，真正使問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，問題驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí). 導(dǎo)學(xué)探究，能加大思維延伸力度，使課堂教學(xué)指向高階思維.

4. 變式評(píng)價(jià)，創(chuàng)造思維

問題4? 如圖6，甲在離地2米的A處將排球發(fā)出，球沿著拋物線的一部分運(yùn)行，當(dāng)球運(yùn)行到離他站立地方的水平距離為6米的地方時(shí)達(dá)到最高高度h米. 已知球網(wǎng)與發(fā)球點(diǎn)O的水平距離為9米，高度為2.27米，球場(chǎng)對(duì)面的邊界距O點(diǎn)的水平距離為18米，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，當(dāng)h=3的時(shí)候，球能過網(wǎng)嗎？請(qǐng)說明理由.

教學(xué)片段：

（有了前面的教學(xué)，學(xué)生很快有了解決問題的辦法）

生M：根據(jù)題意，h=3，設(shè)該拋物線為y=a（x-6）2+3，且過點(diǎn)（0，2），得出拋物線y=-（x-6）2+3 . 取x=9，代入拋物線方程得y=2.75，大于2.27，故球能過網(wǎng).

師：嗯，不簡(jiǎn)單. 題干不變，對(duì)問題進(jìn)行如下變式.

變式1：若球一定能越過球網(wǎng)，求h的取值范圍.

生N：根據(jù)題意，設(shè)該拋物線為y=a（x-6）2+h，且過點(diǎn)（0，2），得出a=，拋物線為y=（x-6）2+h. 取x=9，代入得y=（9-6）2+h>2.27，故h>2.36.

變式2：若球既能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍. （小組合作交流）

生O：在h>2.36的情況下，y=·（x-6）2+h，取x=18代入y=（18-6）2+h<0.

生P：不對(duì)！應(yīng)該是y=（18-6）2+h≤0，解得h≥，在h>2.36的情況下，h的取值范圍為h≥.

變式3：在實(shí)際情況下，人發(fā)球后球的飛躍最高點(diǎn)不會(huì)超過8米，要求球既能越過球網(wǎng)，又不出邊界，則人應(yīng)該在何處發(fā)球？（課后研究）

……

設(shè)計(jì)意圖? 變式是數(shù)學(xué)的魔方，變式是創(chuàng)新的訓(xùn)練場(chǎng). 變式促進(jìn)交流與評(píng)價(jià)，是一種再創(chuàng)造，帶領(lǐng)學(xué)生在解決問題的過程中培養(yǎng)高階思維. 美國(guó)著名數(shù)學(xué)家波利亞就指出：發(fā)展學(xué)生的解決問題的能力是數(shù)學(xué)教育主要目的之一，尤其是在變換不同背景下的問題理解與分析能力. 其實(shí)變換不同背景就是“變式”. 改變就題論題的課堂，促進(jìn)學(xué)習(xí)者通過變式解決問題能力的表現(xiàn)，已經(jīng)成為學(xué)生創(chuàng)新能力強(qiáng)弱的標(biāo)準(zhǔn)之一，應(yīng)該得到數(shù)學(xué)教育工作者的高度重視. 另外，課堂的延伸需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課后研究，給出一個(gè)變式讓學(xué)生在函數(shù)圖像環(huán)境中繼續(xù)探究，讓學(xué)生對(duì)問題解決方法的再認(rèn)識(shí)和再創(chuàng)造，也是高階思維的培育的手段之一.

問題驅(qū)動(dòng)下指向高階思維的思考

1. 問題驅(qū)動(dòng)、問題選擇與創(chuàng)設(shè)是前提

問題驅(qū)動(dòng)是以學(xué)生為主體、以選擇與創(chuàng)設(shè)的問題為學(xué)習(xí)起點(diǎn)，圍繞問題解決推動(dòng)學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生在問題尋求解決方案的同時(shí)提升思維能力. 心理學(xué)家指出，“問題”是思維活動(dòng)進(jìn)行的原動(dòng)力和牽引力. 葉瀾教授曾提到“驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維的有效載體是好的數(shù)學(xué)問題，新基礎(chǔ)教育成功的關(guān)鍵指標(biāo)之一是老師們關(guān)注數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中的問題設(shè)置”. 為了讓學(xué)生更好地回顧舊知、更好地發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維、更好地完善自我學(xué)習(xí)品質(zhì)，就應(yīng)該選擇與創(chuàng)設(shè)“好的數(shù)學(xué)問題”. 所以我們說，初中數(shù)學(xué)專題課堂都有它的知識(shí)呈現(xiàn)與生成、數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練以及價(jià)值體現(xiàn)，這些都需要問題驅(qū)動(dòng). 數(shù)學(xué)課堂是問題的課堂，是有效學(xué)習(xí)的課堂. 正是這樣，選擇與創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題是非常關(guān)鍵的，對(duì)于學(xué)生來說，需要的是有效的問題驅(qū)動(dòng)，一堂有效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，一定是有效問題組合體的進(jìn)行曲.

2. 高階思維，過程啟發(fā)與引導(dǎo)是關(guān)鍵

高階思維能力的培養(yǎng)是一個(gè)過程，要通過學(xué)生產(chǎn)生同感、共情、猜想、探索、批判、思辨、創(chuàng)新、評(píng)價(jià)來展現(xiàn)高階思維. 它的行為表現(xiàn)也往往需要學(xué)生在問題理解與問題分析、策略探求、猜想比較、結(jié)論判斷、后期驗(yàn)證的基礎(chǔ)上更深層次地對(duì)知識(shí)理解、推廣與運(yùn)用，這需要教師的啟發(fā)與引導(dǎo). 由于問題驅(qū)動(dòng)就是“問題教學(xué)”，“問題教學(xué)”的基礎(chǔ)在于思維活動(dòng)的啟發(fā)與引導(dǎo). 因此，教師就是思維的“喚醒者”，喚醒的過程就是學(xué)生思維能力不斷提升的過程，伴隨著高階思維能力的發(fā)展. 本案例教學(xué)證明，通過啟發(fā)與引導(dǎo)助力問題解決、利于學(xué)生思維生長(zhǎng).

3. 專題課堂，注重內(nèi)化與反思是期待

在專題課的教育教學(xué)中，教師要注重內(nèi)化與反思，舍得留出一定時(shí)間讓學(xué)生大膽嘗試解決問題，適時(shí)引導(dǎo)，期待找到問題的核心內(nèi)容與方法所在，挖掘思維深度. 這需要進(jìn)行學(xué)習(xí)方式的變革，提倡探究式、問題解決式、自主學(xué)習(xí)、合作交流等學(xué)習(xí)方式. 特別是探究式，因?yàn)樘骄繃L試的過程，就是發(fā)展高階思維的過程. 解決問題后應(yīng)留時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行內(nèi)化，因?yàn)閮?nèi)化的過程，就是自我提升的過程，要將探究策略與經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 學(xué)生學(xué)習(xí)能力發(fā)展是專題課的著眼點(diǎn)，讓學(xué)生通過課堂學(xué)習(xí)，創(chuàng)新數(shù)學(xué)思維方式，積累解決問題的方法，并不斷進(jìn)行反思. 反思是一種學(xué)習(xí)品質(zhì)，它將促成優(yōu)化意識(shí)的提升[3].

高階思維能力的培養(yǎng)是細(xì)水長(zhǎng)流、潛移默化的過程. 本文僅僅以“函數(shù)圖像會(huì)說話”的專題教學(xué)為例，在問題驅(qū)動(dòng)下指向高階思維的課堂實(shí)踐進(jìn)行了一次整理與反思，希望起到拋磚引玉的作用，期待更多的數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作者進(jìn)一步深入研究.

參考文獻(xiàn)：

[1]任樟輝. 數(shù)學(xué)思維理論[M]. 桂林：廣西教育出版社，2003.

[2]林崇德，胡衛(wèi)平. 思維型課堂教學(xué)的理論與實(shí)踐[J]. 北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2010（01）.

[3]夏培培. 以問題為“驅(qū)動(dòng)”發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維能力——以“幾何最值問題”的專題探究為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（06）.