徐德均

(江蘇省南通中學(xué) 226001)

所謂抽象，是指在認(rèn)識(shí)上把事物的規(guī)定、屬性、關(guān)系從原來有機(jī)聯(lián)系的整體中孤立地抽取出來；而具體是指尚未經(jīng)過這種抽象的感性對(duì)象，就是實(shí)實(shí)在在的．馬克思認(rèn)為人對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)是在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，由感性的具體上升為理性的抽象，進(jìn)而把各種抽象的規(guī)定通過更深刻的思維加工，達(dá)到具體的再生產(chǎn)，由理性的抽象上升到理性的具體，從而把握事物的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)的過程．

“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”是高中數(shù)學(xué)必修5 (蘇教版)第2章第2節(jié)“等差數(shù)列”的第3課時(shí)，主要包含用“倒序相加法”推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的兩個(gè)公式，結(jié)合通項(xiàng)公式揭示五個(gè)基本量的“知三求二”的思想方法．它既是前段學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式等知識(shí)內(nèi)容的延伸、鞏固和應(yīng)用，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)其他知識(shí)的基礎(chǔ)，更是為用類比的方法學(xué)習(xí)等比數(shù)列作了鋪墊，無論在知識(shí)層面還是能力層面上，都起到了承上啟下的重要作用．

本文結(jié)合2019年江蘇省中學(xué)青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)比活動(dòng)中，筆者指導(dǎo)的一位青年教師以“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”為課題獲一等獎(jiǎng)的課堂教學(xué)片段，簡(jiǎn)述由具體到抽象，再由抽象上升到具體的教學(xué)與點(diǎn)評(píng)．

1 基于感性的具體到理性的抽象，講述歷史典故引入課題

·教學(xué)片斷1

師：我國(guó)古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)故事:今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，齊去長(zhǎng)安三千里．良馬初日行一百九十三里，日增十三里……故事中，有同學(xué)們熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)嗎?

生1：根據(jù)等差數(shù)列的定義，良馬的逐日行程數(shù)193,206,219,…，是一個(gè)以首項(xiàng)為193、公差為13的等差數(shù)列．

師：對(duì)！還可知道，良馬每日的行程數(shù)，如第15日的行程數(shù)為193+(15-1)×13=375．根據(jù)你的生活經(jīng)驗(yàn)，就這則故事中的良馬問題，還想知道或研究什么？

生2：想知道良馬的日行程和，如前15天良馬總共走了多少路程？

師：很好！這是一個(gè)值得研究的問題，就是我們今天要研究學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．(教師板書課題：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和)

點(diǎn)評(píng)從講述《九章算術(shù)》中歷史數(shù)學(xué)故事開始，借助于感性具體的良馬問題，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)良馬問題中蘊(yùn)涵著熟悉的等差數(shù)列等理性的抽象，將探求前15天良馬日行程總和的具體實(shí)際，抽象為探求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的理性問題，既回顧等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式等舊知，又引發(fā)新的課題，設(shè)計(jì)巧妙自然，具有數(shù)學(xué)史、傳統(tǒng)文化傳承教育之意義．

2 基于感性的具體到理性的抽象，將不等轉(zhuǎn)化為相等求和

·教學(xué)片斷2

師：如何求良馬前15日行程的總和S15．

生3：將良馬前15日行程數(shù)逐個(gè)相加求和．

師：可以！好像繁冗了點(diǎn)．

師：這方法可以！但你知道高斯如何得到這種求和方法的嗎？(學(xué)生集體沉思)其實(shí)，早在高斯之前500多年，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》書影中，給出了良馬前15天行程總和的一種求和方法．圖1中是用條形圖表示良馬每日的行程，每一個(gè)條形的長(zhǎng)度表示良馬每日的行程數(shù)，第1天的行程數(shù)用長(zhǎng)為193的條形表示，第2天的行程數(shù)用長(zhǎng)為193+13=206的條形表示，……依此類推，第15天的行程數(shù)用長(zhǎng)為375的條形表示(圖2)．

圖1 圖2

將圖2中的“條形”合拼得圖3，15個(gè)條形的長(zhǎng)度之和則為S15．那么，如何利用圖3求S15呢？請(qǐng)學(xué)生利用分發(fā)的“良馬圖”，小組討論，合作探究、展示求S15的方法．

圖3 圖4

師：(通過動(dòng)畫展示先“割”，再“倒”，再“補(bǔ)”的過程)這種求和的方法就是楊輝在《詳解九章算法》書影中給出的方法，圖3為圖1的橫向表示．

圖5

師：這組同學(xué)是將“良馬圖”整體先“倒”過來，然后再“補(bǔ)”上去，得到15個(gè)長(zhǎng)度都為193+375的條形，是將“不等行程數(shù)”的求和轉(zhuǎn)化成“相等行程數(shù)”倍數(shù)，達(dá)到求S15之目的．這種方法就是前面一位同學(xué)所說的數(shù)學(xué)家高斯的求和方法．

點(diǎn)評(píng)借助于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝將“良馬圖”先“倒”再“補(bǔ)”通過幾何直觀求S15的思路，理性抽象出將“不等行程數(shù)”轉(zhuǎn)化成“相等行程數(shù)”的倒序求和，這是從圖形、數(shù)量關(guān)系中抽象的過程，也是發(fā)現(xiàn)“倒序求和”的數(shù)學(xué)思想方法的思維過程，更是一個(gè)沿著古人發(fā)現(xiàn)的足跡、傳承歷史先人們智慧的教育過程．

3 基于感性的具體到理性的抽象，歸納推證前n項(xiàng)和公式

·教學(xué)片斷3

師：能利用“良馬圖”的幾何求和的思想，推證等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式嗎？

生6：可以！設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]．同時(shí)Sn=an+an-1+…+a1=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d]．兩式相加，得2Sn= (a1+an) + (a1+an) + … + (a1+an) =n(a1+an)， 由此可得等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式Sn=

圖6

師：說說為什么有如此的想法？

師：很好！這樣我們就得到等差數(shù)列{an}的兩個(gè)前n項(xiàng)和公式，這兩個(gè)求和公式可以用通項(xiàng)公式聯(lián)系起來．

點(diǎn)評(píng)由“良馬圖”的先“倒”再“拼”幾何直觀求和，類比到代數(shù)中先“倒序”再“相加”，推證等差數(shù)列{an}的兩個(gè)前n項(xiàng)和公式．從解決問題的思想看這是一致的，都用了“倒”的方法．

4 基于理性的抽象到理性的具體：應(yīng)用求和公式知三求二

·教學(xué)片斷4

例1請(qǐng)?zhí)顚懹嘘P(guān)等差數(shù)列{an}的表格：

a1nanSnd3501013101232-15212

(師生集體分析與學(xué)生個(gè)性自主練習(xí)，教師黑板板書，解答填表)

師：根據(jù)等差數(shù)列{an}的兩個(gè)前n項(xiàng)和公式，可建立關(guān)于a1,d,n,an,Sn這五個(gè)基本量的兩個(gè)等式關(guān)系，較好地完成求解填表，很好！還有更進(jìn)一步的感悟嗎？說明理由．

生8：在等差數(shù)列{an}的a1,d,n,an,Sn這五個(gè)基本量中，已知其中三個(gè)，就可以求余下的兩個(gè)——“知三求二”．因?yàn)殡m然五個(gè)基本量有三個(gè)公式，可以列三個(gè)等式，但其實(shí)僅是兩個(gè)“獨(dú)立等式關(guān)系”，即只有兩個(gè)獨(dú)立的方程，所以已知其中的三個(gè)量，便能求得余下的兩個(gè)量．

師：說得很好，也很到位！現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們?cè)倏匆坏李}．

例2在等差數(shù)列{an}中，已知前10項(xiàng)的和為310，前20項(xiàng)的和為1 220，求前30項(xiàng)的和．

師：若將題變?yōu)椋?1)在等差數(shù)列{an}中，已知第1項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為310，第11項(xiàng)到第20項(xiàng)的和為910，求第21項(xiàng)到第30項(xiàng)的和．請(qǐng)用兩種方法求解．

(2)請(qǐng)課后查閱、研究《九章算術(shù)》中這則有關(guān)良馬的完整故事．

點(diǎn)評(píng)等差數(shù)列的兩個(gè)前n項(xiàng)和公式是理性抽象的結(jié)果，而“知三求二”則是理性應(yīng)用，是運(yùn)用理性抽象的結(jié)果解決具體問題總結(jié)而得的規(guī)律，也是函數(shù)與方程思想在數(shù)列問題中的理性運(yùn)用．

5 總結(jié)

2017版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出：數(shù)學(xué)抽象是指通過對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)．它反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中．

上述幾個(gè)課堂教學(xué)片斷正是循著古人的足跡，從《九章算術(shù)》中一則故事出發(fā)，引入學(xué)習(xí)與研究的課題，將探求的幾何直觀求和類比到代數(shù)中的倒序求和，歸納推證等差數(shù)列的兩個(gè)前n項(xiàng)和公式，舉例歸納“知三求二”思想的應(yīng)用與鞏固．呈現(xiàn)出的是能從歷史故事等情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，是從感性具體到理性抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累，也是在日常生活和實(shí)踐中一般性思考問題習(xí)慣的養(yǎng)成，更是把握事物的本質(zhì)，從感性的具體到理性的抽象，再從理性的抽象上升到理性具體的以簡(jiǎn)馭繁．