鄒明迪 林 婷 劉 云

(云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 650500)

1 問題提出

在TIMSS測(cè)試中，新加坡學(xué)生的成績(jī)一直名列前茅．2016年的PISA 測(cè)試中，新加坡學(xué)生也以數(shù)學(xué)564分的成績(jī)名列第一．不同國(guó)家的教育研究者、政策制定者及公眾對(duì)新加坡的數(shù)學(xué)教育給予了極大的關(guān)注．中國(guó)與新加坡的數(shù)學(xué)教育具有鮮明而迥異的特點(diǎn)，跨國(guó)視角下的教材比較研究給數(shù)學(xué)教育研究者提供了獨(dú)特的機(jī)會(huì)．本研究所選取的Discovering Mathematics (2nd Edition)(下稱DM)版本是根據(jù)新加坡最新的2013年《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》編寫的[1].我國(guó)的初中數(shù)學(xué)人教版教材是根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》編寫的，兩版課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于中新兩國(guó)來說都是目前最新的版本．比較研究這兩版教材中數(shù)學(xué)文化的重視差異的意義是：加強(qiáng)國(guó)際間的學(xué)術(shù)交流，深化數(shù)學(xué)文化的理論研究；拓寬國(guó)際視野，為數(shù)學(xué)文化的教材編寫提供借鑒；為一線教師提供素材，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的發(fā)展．有鑒于此，本研究將對(duì)中國(guó)人教版和新加坡DM版的初中數(shù)學(xué)教材中的“數(shù)學(xué)文化”欄目進(jìn)行比較分析．

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 研究對(duì)象

跨國(guó)視角下的教材比較研究有利于促進(jìn)教育工作者理解不同的教育背景是如何影響學(xué)生思維的發(fā)展，同時(shí)有助于教育診斷和教育決策．本研究從人教版和新加坡DM版的初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容出發(fā)，確立研究?jī)?nèi)容為：兩版教材中顯性數(shù)學(xué)文化、其他側(cè)面之?dāng)?shù)學(xué)美的比較與分析．兩版教材基本信息如表1所示．

表1 教材基本信息

其中，我國(guó)初中數(shù)學(xué)教育是三年制，分為三個(gè)年級(jí)：人教版共六冊(cè)書(七年級(jí)上下冊(cè)、八年級(jí)上下冊(cè)、九年級(jí)上下冊(cè))，浙教版共六冊(cè)書(七年級(jí)上下冊(cè)、八年級(jí)上下冊(cè)、九年級(jí)上下冊(cè))．而新加坡初中數(shù)學(xué)教育是四年制，分為四個(gè)年級(jí)(中一、中二、中三、中四)，共八冊(cè)書(1A—1B，2A—2B，3A—3B，4A—4B)．

2.2 研究框架

本研究在參照國(guó)內(nèi)外研究成果的基礎(chǔ)上，采用內(nèi)容分析法分別從兩個(gè)版本的初中數(shù)學(xué)教材出發(fā)，借鑒沈春暉的顯性數(shù)學(xué)文化研究框架對(duì)教材中數(shù)學(xué)文化表征內(nèi)容進(jìn)行各維度的統(tǒng)計(jì)分析，獲得兩個(gè)版本教材在數(shù)學(xué)文化相關(guān)內(nèi)容的編寫規(guī)律和特點(diǎn)，采用案例研究法選取適合案例對(duì)教材中數(shù)學(xué)文化偏隱性的側(cè)面進(jìn)行研究分析．

3 兩版教材中的數(shù)學(xué)文化

本文將數(shù)學(xué)文化內(nèi)容分為“數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)、數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)”(借鑒于沈春輝)[2]，如表2所示．

表2 數(shù)學(xué)文化內(nèi)容分類

3.1 數(shù)學(xué)文化內(nèi)容欄目分布

結(jié)合兩版教材的欄目分布特征，將欄目分為“非正文、引入、例題、習(xí)題”四種．非正文指章頭、旁白、閱讀材料等，引入指正文中除問題以外的其他內(nèi)容，如情境活動(dòng)等，例題指含有解答的題目，習(xí)題指課后練習(xí)等無解答的題目．

圖1

由圖1可見，兩個(gè)版本中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容都十分豐厚，尤其是新加坡DM版本，多達(dá) 1 779處，是人教版的4倍左右，人教版共有449處．從橫向看，兩版的習(xí)題欄目中數(shù)學(xué)文化的數(shù)量是四個(gè)欄目中最多的，非正文數(shù)量相對(duì)最少，從上至下數(shù)量呈增長(zhǎng)的趨勢(shì)．從縱向看，比較其數(shù)量特征，人教版中數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的總含量遠(yuǎn)低于新加坡DM版本.從均衡性上看，兩版教材中數(shù)學(xué)文化在欄目分布上都不均勻．

3.2 數(shù)學(xué)文化內(nèi)容分布

文中所指的數(shù)學(xué)文化是從顯性角度出發(fā)而確立的廣義數(shù)學(xué)文化，即數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)和數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)．[2]統(tǒng)計(jì)結(jié)果見圖2．

圖2

從四個(gè)類別的數(shù)量來看，兩版教材中的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)這兩部分的數(shù)量都比較突出，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活是四類中數(shù)量最多的，新加坡DM版在這方面的數(shù)量遠(yuǎn)超過人教版，兩版中數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)的呈現(xiàn)均較少．可見數(shù)學(xué)文化與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系之緊密，也正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活．

3.3 數(shù)學(xué)文化課程內(nèi)容及年級(jí)分布

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中給初中數(shù)學(xué)安排了“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四個(gè)部分的課程內(nèi)容．[3]統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖3所示．

圖3

從圖表整體上看，兩版教材的數(shù)學(xué)文化在四個(gè)部分的分布是相對(duì)一致的，但每版教材在各個(gè)課程內(nèi)容間相差的數(shù)量較大，兩版教材中的數(shù)學(xué)文化大多數(shù)集中在數(shù)與代數(shù)部分，接著是統(tǒng)計(jì)與概率、圖形與幾何，綜合與實(shí)踐最少．從結(jié)果來看，綜合與實(shí)踐的數(shù)量還相對(duì)較少，教材中可以再擴(kuò)充此內(nèi)容.對(duì)于初中學(xué)段的學(xué)生來說，這類自主參與操作型的數(shù)學(xué)活動(dòng)會(huì)更吸引學(xué)生，同時(shí)更能鍛煉學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，進(jìn)而對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有強(qiáng)有力的推動(dòng)作用．

我國(guó)初中數(shù)學(xué)教育為三年制，分為三個(gè)年級(jí)，共六冊(cè)書，而新加坡初中數(shù)學(xué)教育是四年制，分為四個(gè)年級(jí)，共八冊(cè)書．為了研究更深入，從學(xué)段出發(fā)，對(duì)數(shù)學(xué)文化進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)(圖4)．

圖4

由圖4可知，兩版教材中的數(shù)學(xué)文化在三個(gè)年級(jí)中的數(shù)量都十分豐富，并且都呈現(xiàn)出低年級(jí)數(shù)量多、越向高年級(jí)數(shù)量越少的趨勢(shì)．每個(gè)年級(jí)的數(shù)學(xué)文化數(shù)量中，都是人教版低于新加坡DM版，并且新加坡DM版在十年級(jí)的內(nèi)容中除了一章新知識(shí)以外，其余就是總復(fù)習(xí)內(nèi)容，總復(fù)習(xí)內(nèi)容中又有許多前三個(gè)年級(jí)的知識(shí)及習(xí)題，所以呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化數(shù)量也非常豐富．

4 兩版教材中的數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平

4.1 數(shù)學(xué)史運(yùn)用水平

根據(jù)數(shù)學(xué)史運(yùn)用特征，將其運(yùn)用方式分為四類：點(diǎn)綴式、附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式．[2]分類內(nèi)容見 表3，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見圖6．

表3 數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式內(nèi)容

圖5

圖6

從圖6中可以看出，兩版教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容大部分都屬于附加式，而順應(yīng)式、復(fù)制式次之，最少的是點(diǎn)綴式．新加坡DM版本中點(diǎn)綴式數(shù)量為0，說明新加坡教材中數(shù)學(xué)史運(yùn)用水平還呈現(xiàn)單一、不均衡的特點(diǎn)，缺乏與數(shù)學(xué)相關(guān)的圖片穿插．人教版在四個(gè)運(yùn)用方式的數(shù)量上相差較小，且復(fù)制式、點(diǎn)綴式的內(nèi)容較少，多數(shù)是附加式內(nèi)容，進(jìn)一步說明人教版主要以閱讀材料呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史．總體而言，新加坡DM版的數(shù)學(xué)史運(yùn)用水平相對(duì)較低、均衡性相對(duì)較差．

4.2 其他數(shù)學(xué)文化的運(yùn)用水平

其他數(shù)學(xué)文化包括數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)、數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)．本文中其他數(shù)學(xué)文化的運(yùn)用方式按照數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的關(guān)聯(lián)度分為外在型和內(nèi)在型，其中內(nèi)在型分為可分離型與不可分離型[2].分類標(biāo)準(zhǔn)如表4．

表4 其他數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的運(yùn)用方式分類標(biāo)準(zhǔn)

圖7

運(yùn)用方式為外在型的內(nèi)容如圖7(1)所示，是以新加坡魚尾獅公園開始的章頭圖.這一章節(jié)主要內(nèi)容是三角函數(shù)，利用魚尾獅噴水時(shí)所蘊(yùn)含的三角學(xué)知識(shí)引入，但我們所尋找的數(shù)學(xué)文化本身是新加坡著名的雕塑——魚尾獅，與數(shù)學(xué)知識(shí)無關(guān)．運(yùn)用方式為內(nèi)在型中可分離型的內(nèi)容如圖7(2)所示，描述的是不同容量的洗發(fā)水價(jià)格的差異，比較哪種洗發(fā)水更便宜，如果將洗發(fā)水換做飲料、洗衣液等也不會(huì)對(duì)問題的描述產(chǎn)生影響；不可分離型的內(nèi)容如圖7(3)所示，這個(gè)問題以美國(guó)猶他州拱門國(guó)家公園為背景，以拱門的跨度、高度為變量，描述其背后蘊(yùn)含的二次函數(shù)模型，其中數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)文化是密不可分的．

統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖8所示.從圖8中可得，兩個(gè)版本中關(guān)于其他數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的運(yùn)用方式存在異同點(diǎn)．

圖8

相同點(diǎn)是：兩版教材以內(nèi)在型為運(yùn)用方式的文化內(nèi)容數(shù)量占比都超過總數(shù)的80%，外在型的內(nèi)容數(shù)量很少，數(shù)量在總數(shù)的11%～15%之間．進(jìn)一步來看，占比最多的是可分離型，其次是不可分離型，最少的是外在型．這表明兩版教材中的其他數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的運(yùn)用方式的相似度很高，都側(cè)重于如何將數(shù)學(xué)文化與教材的有機(jī)融合，同時(shí)增進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)、問題的文化背景，適當(dāng)?shù)亟榻B外在型的文化內(nèi)容.總的來說，數(shù)學(xué)文化較好地融入了這兩版初中數(shù)學(xué)教材．不同點(diǎn)是：人教版中三種運(yùn)用方式的比例相對(duì)而言懸殊稍小，兩者比例比較相似和均衡，而新加坡DM版中三種運(yùn)用方式的比例懸殊較大，占比最多的可分離型與不可分離型相差31%，與外在型相差49%，這些比例差都超過了人教版．說明人教版中其他文化內(nèi)容的運(yùn)用方式較為均衡，新加坡DM版中并不均衡．

5 兩版教材數(shù)學(xué)文化內(nèi)容其他側(cè)面的案例比較與分析

5.1 教材中的數(shù)學(xué)美

結(jié)合文獻(xiàn)，我們對(duì)“數(shù)學(xué)美”的界定是：數(shù)學(xué)美作為一種科學(xué)美，是對(duì)包括數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則或數(shù)學(xué)體系、數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)等的數(shù)學(xué)內(nèi)容的一些適宜的感受．[4]數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式具有多樣性，具體外在表現(xiàn)為簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、統(tǒng)一美、奇異美，稱為外在美，內(nèi)在表現(xiàn)為數(shù)學(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)含的思想、方法，稱為內(nèi)在美．教材作為承載數(shù)學(xué)藝術(shù)的重要載體，其審美價(jià)值是不容小覷的．結(jié)合對(duì)教材文本顯性數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的比較分析以及數(shù)學(xué)文化含義的多樣性，為了研究的深入全面，繼續(xù)選取數(shù)學(xué)文化其他側(cè)面內(nèi)容進(jìn)行案例的細(xì)致比較．本著重要性、典型性的原則，以數(shù)學(xué)美側(cè)面為切入口，從數(shù)與代數(shù)模塊選取了其中的“二次函數(shù)”作為案例．

文[5]認(rèn)為數(shù)學(xué)命題包括數(shù)學(xué)中的定義、公理、定理、公式、性質(zhì)和法則．性質(zhì)雖屬于定理的一種，但本節(jié)中把它單獨(dú)歸為一部分來進(jìn)行考慮．經(jīng)過對(duì)教材中的數(shù)學(xué)原理內(nèi)容的梳理，為了表現(xiàn)更加直觀需進(jìn)行編碼整理．編碼方式為：(1)數(shù)學(xué)原理以六個(gè)類別的英文首字母進(jìn)行編碼；(2)數(shù)學(xué)美以四個(gè)類別的英文首字母進(jìn)行編碼；(3)在統(tǒng)計(jì)中對(duì)數(shù)學(xué)原理采用數(shù)學(xué)原理類別+數(shù)學(xué)原理出現(xiàn)順序編號(hào)的雙位編碼方式進(jìn)行編碼．

5.2 “二次函數(shù)”案例

(1)數(shù)學(xué)原理比較

如表5所示，只保留有數(shù)量的類別．

表5 數(shù)學(xué)定義、性質(zhì)和法則比較

在二次函數(shù)案例中，兩版教材中的數(shù)學(xué)原理在定義的內(nèi)容和數(shù)量上是一致的；在性質(zhì)上，人教版中所包含的性質(zhì)數(shù)量稍多，內(nèi)容比較集中，新加坡版則分散在2A, 3A兩本教材里；在法則上，人教版數(shù)量為1，新加坡數(shù)量為0．并且兩版教材內(nèi)容在公理、定理、公式類別上數(shù)量皆為0．

(2)數(shù)學(xué)原理所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美分布

數(shù)學(xué)美表現(xiàn)形式及含義如表6所示．

表6 數(shù)學(xué)美表現(xiàn)形式及含義

兩版教材中數(shù)學(xué)原理所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美分布統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表7所示．

表7 數(shù)學(xué)原理所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美分布

6 結(jié)論與啟示

學(xué)科教育觀在很大程度上決定了教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法乃至全部的教育過程．[6]從教育背景來說，中國(guó)和新加坡的教育背景十分相似，但反映在教材上，新加坡DM版中數(shù)學(xué)文化內(nèi)容更多是和章節(jié)知識(shí)緊密聯(lián)系，數(shù)學(xué)文化內(nèi)容都是為了更好地服務(wù)于知識(shí)，并且例題和習(xí)題中會(huì)有大量重復(fù)的數(shù)學(xué)文化背景知識(shí)，這也是新加坡DM版數(shù)學(xué)文化數(shù)量多的主要原因之一，這樣的優(yōu)勢(shì)在于可以讓學(xué)生在熟悉的背景下更輕松地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)．對(duì)比兩國(guó)教材的異同， 不應(yīng)該只是形式內(nèi)容上的比較，而是希望通過對(duì)比“取長(zhǎng)補(bǔ)短”．基于以上研究，提出以下可供參考的建議．

(1)人教版教材應(yīng)考慮學(xué)生實(shí)際，多選取學(xué)生所熟知的現(xiàn)實(shí)生活題材，從生活實(shí)例中感受數(shù)學(xué)來源于生活.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生抽象提出數(shù)學(xué)問題，并付諸實(shí)踐，多給學(xué)生創(chuàng)造與現(xiàn)實(shí)生活接觸的機(jī)會(huì)．(2)兩版教材中對(duì)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容與價(jià)值的挖掘不夠充分，沒有形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)史體系．因此，教材應(yīng)有意識(shí)地加大我國(guó)古代優(yōu)秀數(shù)學(xué)成果和著名數(shù)學(xué)家的介紹力度，同時(shí)引進(jìn)國(guó)外數(shù)學(xué)史，在增強(qiáng)民族自豪感的同時(shí)，也能感受人類文明的發(fā)展之艱辛雄厚．(3)人教版教材編寫應(yīng)充分挖掘出數(shù)學(xué)美和美育因素，課堂中創(chuàng)設(shè)美的意境，捕捉美的觀點(diǎn)，從而使學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)變化萬千的美．比如數(shù)學(xué)習(xí)題可以從不同角度分析，得出不同的解題方法， 而各種不同解答方法所表現(xiàn)出的就是簡(jiǎn)潔美、奇異美．教材可以出示具有數(shù)學(xué)美的圖案設(shè)計(jì)等閱讀材料，讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)美的同時(shí)感受知識(shí)的力量，啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)造美的愿望．